Qu'appelle-t-on l'ensemble-image d'une relation définie dans ℝ ?
L'ensemble des valeurs prises par cette relation.
Que désigne im f quand la relation est une fonction ?
L'ensemble-image de la fonction f.
Que fait la fonction réciproque de f définie par y = f(x) ?
Elle associe à chaque y obtenu par f les x dont y est l’image.
Quand la réciproque d'une fonction est-elle une fonction ?
Lorsque la fonction de départ est injective.
Que signifie qu'une fonction est injective ?
Aucun réel n’est l’image de deux réels distincts de son domaine.
Quelle égalité vérifie la fonction réciproque pour tout x de dom f ?
Quelle égalité vérifie la fonction réciproque pour tout y de im f ?
Quelle propriété garantit qu'une fonction admet une fonction réciproque ?
Être strictement monotone et continue sur son domaine.
Qu'impose l'injectivité d'une fonction f sur ses éléments x₁ et x₂ ?
Si f(x₁)=f(x₂), alors x₁=x₂.
Quand une fonction f est-elle surjective dans un ensemble Y ?
Quand son ensemble-image est égal à Y.
Qu'est-ce qu'une fonction bijective ?
Une fonction à la fois injective et surjective.
Quelle relation existe entre le domaine de f et l’image de f⁻¹ ?
Le domaine de f est l’image de f⁻¹.
Quelle relation existe entre l’image de f et le domaine de f⁻¹ ?
L’image de f est le domaine de f⁻¹.
Comment sont les graphes d’une fonction et de sa réciproque ?
Ils sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation y = x.
Pourquoi f(x)=x² sur ℝ n’est-elle pas injective ?
Parce que 2 et −2 ont la même image.
Pourquoi la réciproque de f(x)=x² sur ℝ n’est-elle pas une fonction ?
Car sa réciproque y=±√x n’attribue pas une seule image à chaque x.
Quelle formule donne la dérivée d'une fonction réciproque ?
Quand la formule de la dérivée d'une fonction réciproque est-elle valable ?
Lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies.
Qu'est-ce que l'arcsinus en termes de fonction sinus?
L'arcsinus est la fonction réciproque de la restriction du sinus à [−π/2;π/2].
Quelle est l'image de la fonction sinus restreinte à [−π/2;π/2]?
L'image est l'intervalle [−1;1].
Que signifie arcsin x = y pour x∈[−1;1] et y∈[−π/2;π/2]?
Cela équivaut à x = sin y.
Quelle est la valeur de pour x∈[−1;1]?
Elle vaut x.
Quelle est la valeur de pour x∈[−π/2;π/2]?
Elle vaut x.
Qu'est-ce que l'arccosinus en relation avec le cosinus ?
C'est la fonction réciproque de la restriction du cosinus à [0;π].
Que signifie arccos x = y pour x∈[−1;1] et y∈[0;π] ?
Cela équivaut à x = cos y.
Quelle est la valeur de pour x∈[−1;1] ?
Elle est égale à x.
Quelle est la valeur de pour ?
Elle est égale à x.
Qu'est-ce que l'arctangente en relation avec la tangente ?
L'arctangente est la fonction réciproque de la tangente restreinte à ]−π/2;π/2[.
Que signifie arctan x = y pour x réel et y dans ]−π/2;π/2[ ?
Cela équivaut à x = tan y.
Quelles sont les équations des asymptotes horizontales de la courbe de arctan ?
Elles sont y = −π/2 et y = π/2.
Quelle est la dérivée de la fonction arctan x ?
La dérivée est .
Quelle est la dérivée de la fonction arcsin x ?
La dérivée est .
Quelle est la dérivée de la fonction arccos x ?
La dérivée est .
Qu'impose la détermination d'une fonction réciproque ?
Il faut vérifier l'injectivité.
Que fait-on si nécessaire pour déterminer une fonction réciproque ?
On choisit une restriction du domaine.
Quelle étape suit la décomposition en fonctions élémentaires pour la réciproque ?
Préciser les conditions d'existence et le domaine de la réciproque.
Quels objectifs inclut le chapitre sur les fonctions réciproques ?
Vérifier injectivité, surjectivité, bijectivité, calculer domaines et dérivées, tracer fonctions cyclométriques, apparier graphiques et expressions.
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1. Comment définit-on l’ensemble-image d’une fonction ?
2. Que fait la réciproque d’une fonction définie par ?
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