Fiche de révision : Fonctions réciproques et cyclométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une fonction réciproque
2. Injectivité surjectivité et bijectivité
3. Propriétés et exemples de réciproques
4. Dérivée d’une fonction réciproque
5. Fonction arcsinus
6. Fonction arccosinus
7. Fonction arctangente et dérivées
8. Objectifs et méthodes d’application

📖 1. Définition d’une fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble-image : Ensemble des valeurs prises par une relation définie dans ℝ, noté im f lorsque la relation est une fonction.
• Réciproque d’une fonction : Relation qui associe à chaque valeur y obtenue par f le ou les nombres x dont elle est l’image.

★ À maîtriser

📌 La réciproque d’une fonction est une fonction lorsque la fonction de départ est injective, c’est-à-dire lorsqu’aucun réel n’est l’image de deux réels distincts de son domaine.

📐 Formule — Pour une fonction injective, on a $f^{-1}(f(x))=x$ pour tout x de dom f et $f(f^{-1}(y))=y$ pour tout y de im f.

Compléments

📌 Une fonction strictement monotone et continue sur son domaine est injective et admet donc une fonction réciproque.

💡 Astuce mémo

Fonction injective → réciproque fonctionnelle

📖 2. Injectivité surjectivité et bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une fonction f est injective si, pour tous x₁ et x₂ de son domaine, f(x₁)=f(x₂) implique x₁=x₂.
• Surjectivité : Une fonction f est surjective dans Y lorsque son ensemble-image est égal à Y.
• Bijectivité : Propriété d’une fonction qui est à la fois injective et surjective.

💡 Astuce mémo

Injective : images distinctes ; surjective : image égale à l’ensemble d’arrivée

📖 3. Propriétés et exemples de réciproques

📝 Points essentiels

📌 Le domaine de f est l’image de f⁻¹ et l’image de f est le domaine de f⁻¹.

• Les graphes cartésiens d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation y = x.

• La fonction f(x)=x² définie sur ℝ n’est pas injective, car 2 et −2 ont la même image, et sa réciproque y=±√x n’est donc pas une fonction.

💡 Astuce mémo

Le graphe de la réciproque se reflète dans le miroir y = x

📖 4. Dérivée d’une fonction réciproque

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dérivée d’une fonction réciproque vérifie $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies.

📖 5. Fonction arcsinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : Fonction réciproque de la restriction de la fonction sinus à [−π/2;π/2], laquelle est une bijection vers [−1;1].

📝 Points essentiels

📌 Pour x∈[−1;1] et y∈[−π/2;π/2], arcsin x=y équivaut à x=sin y.

📐 Formule — On a $\sin(\arcsin x)=x$ pour x∈[−1;1] et $\arcsin(\sin x)=x$ pour x∈[−π/2;π/2].

💡 Astuce mémo

Sinus restreint → bijection → arcsinus

📖 6. Fonction arccosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Arccosinus : Fonction réciproque de la restriction de la fonction cosinus à [0;π], laquelle est une bijection vers [−1;1].

📝 Points essentiels

📌 Pour x∈[−1;1] et y∈[0;π], arccos x=y équivaut à x=cos y.

📐 Formule — On a $\cos(\arccos x)=x$ pour x∈[−1;1] et $\arccos(\cos x)=x$ pour x∈[0;π].

💡 Astuce mémo

Cosinus sur [0, π] → bijection → arccosinus

📖 7. Fonction arctangente et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Arctangente : Fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à ]−π/2;π/2[, laquelle est une bijection vers ℝ.

★ À maîtriser

• Pour x∈ℝ et y∈]−π/2;π/2[, arctan x=y équivaut à x=tan y.

📐 Formule — Les dérivées des fonctions cyclométriques sont $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}.$

Compléments

• La courbe de la fonction arctan possède deux asymptotes horizontales d’équations y=−π/2 et y=π/2.

💡 Astuce mémo

Tangente restreinte → arctangente → asymptotes horizontales

📖 8. Objectifs et méthodes d’application

★ À maîtriser

• 🔄 La détermination d’une fonction réciproque suit plusieurs étapes:
  1. Vérifier l’injectivité
  2. Choisir si nécessaire une restriction du domaine
  3. Déterminer la réciproque après décomposition en fonctions élémentaires
  4. Préciser les conditions d’existence et le domaine de la réciproque

Compléments

• Les objectifs du chapitre comprennent la vérification de l’injectivité, de la surjectivité et de la bijectivité, le calcul des domaines et dérivées, le tracé des fonctions cyclométriques et l’appariement de graphiques avec leurs expressions analytiques.

💡 Astuce mémo

Vérifier → restreindre → inverser → dériver → représenter

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions cyclométriques