Fiche de révision : Systèmes de coordonnées et repérage

📋 Plan du Cours

1. Repère du plan
2. Coordonnées cartésiennes planes
3. Coordonnées polaires planes
4. Repérage cartésien dans l’espace
5. Coordonnées cylindriques

📖 1. Repère du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement : Changement de position d’un objet dans l’espace au fil du temps.
• Repère du plan : Système physique de référence permettant de déterminer la position d’un objet dans le plan.

★ À maîtriser

• Un repère cartésien du plan est défini par une base (⃗ex,⃗ey) et une origine O, et se note (O;⃗ex,⃗ey).

Compléments

📌 Un repère est orthonormé lorsque ses axes sont perpendiculaires et que les vecteurs de base ont une norme correspondant à une unité de longueur.

💡 Astuce mémo

Origine O, axes OI et OJ, puis base vectorielle

📖 2. Coordonnées cartésiennes planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Couple de réels (x,y), où x est l’abscisse et y l’ordonnée de M dans le repère (O;⃗ex,⃗ey).
• Composantes d’un vecteur : Dans la base (⃗ex,⃗ey), un vecteur ⃗v s’écrit de manière unique $\vec v=v_x\vec e_x+v_y\vec e_y$, où vx et vy sont ses composantes.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le vecteur position d’un point M de coordonnées cartésiennes (x,y) vérifie $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y$.

💡 Astuce mémo

Une grille carrée où chaque point projette ses coordonnées sur deux axes

📖 3. Coordonnées polaires planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Couple (r,θ), où r est la distance OM et θ l’angle orienté entre ⃗ex et ⃗OM.
• Base mobile polaire : La base mobile polaire associée à M est la base orthonormée directe (⃗er,⃗eθ), où ⃗er est radial et ⃗eθ est tangent aux cercles centrés en O.

★ À maîtriser

📌 En coordonnées polaires, r est positif et l’angle θ varie généralement dans l’intervalle [0,2π[.

Compléments

📐 Formule — En coordonnées polaires, le vecteur position vérifie $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$.

💡 Astuce mémo

Cartésien = deux distances projetées ; polaire = une distance r et un angle θ

📖 4. Repérage cartésien dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Base (⃗ex,⃗ey,⃗ez) et origine O, les trois vecteurs de base déterminant trois axes non coplanaires.
• Coordonnées cartésiennes spatiales : Triplet (x,y,z), où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la hauteur ou côte.

📝 Points essentiels

• Les systèmes de coordonnées couramment utilisés dans l’espace sont:
  • les coordonnées cartésiennes
  • les coordonnées cylindriques
  • les coordonnées sphériques

💡 Astuce mémo

x, y, z : abscisse, ordonnée, hauteur

📖 5. Coordonnées cylindriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Triplet (r,θ,z), où r est la distance à l’axe (Oz), θ l’angle autour de cet axe et z la hauteur.
• Base mobile cylindrique : La base mobile cylindrique associée à M est la base orthonormée directe (⃗er,⃗eθ,⃗ez), formée des directions radiale, orthoradiale et verticale.

★ À maîtriser

📌 En coordonnées cylindriques, r est positif, θ appartient généralement à [0,2π[ et z est un réel potentiellement négatif.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, le vecteur position vérifie $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$.

Compléments

• La base mobile cylindrique est construite en faisant varier successivement r, θ ou z tandis que les deux autres coordonnées restent fixes.

💡 Astuce mémo

Un point tourne autour de l’axe Oz, s’en écarte de r et monte de z

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des systèmes de coordonnées