QCM : Systèmes de coordonnées et repérage — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la différence entre le mouvement d’un objet et son repérage dans le plan ?

Le mouvement décrit une variation de position, tandis que le repérage décrit une position
Le mouvement attribue des coordonnées, tandis que le repérage mesure une vitesse
Le mouvement indique une direction fixe, tandis que le repérage décrit une durée
Le mouvement définit une origine, tandis que le repérage définit une trajectoire

Le mouvement décrit une variation de position, tandis que le repérage décrit une position

Explication

Le mouvement correspond au changement de position au cours du temps, alors que le repérage sert à décrire la position elle-même. L’attribution de coordonnées relève du repérage et non de la définition du mouvement.

2. Quel élément constitue un repère du plan ?

Une trajectoire suivie par un point au cours du temps
Un système physique de référence pour déterminer une position
Une mesure de distance entre deux points quelconques
Un ensemble de nombres décrivant la vitesse d’un objet

Un système physique de référence pour déterminer une position

Explication

Un repère du plan est un système physique de référence qui permet de déterminer la position d’un objet. Un ensemble de nombres correspond plutôt aux coordonnées d’un point dans ce repère.

3. Comment note-t-on un repère cartésien du plan défini par une origine et deux vecteurs de base ?

(x,y;e⃗x,e⃗y)\left(x,y;\vec e_x,\vec e_y\right)
(O;e⃗r,e⃗θ)\left(O;\vec e_r,\vec e_\theta\right)
(O;e⃗x,e⃗y)\left(O;\vec e_x,\vec e_y\right)
(M;e⃗x,e⃗y)\left(M;\vec e_x,\vec e_y\right)

$$\left(O;\vec e_x,\vec e_y\right)$$

Explication

Un repère cartésien du plan est défini par l’origine OO et la base (e⃗x,e⃗y)\left(\vec e_x,\vec e_y\right), d’où la notation indiquée. Les vecteurs radiaux et tangentiels appartiennent à la base polaire mobile.

4. Dans les coordonnées cartésiennes (x,y)\left(x,y\right) d’un point MM, que représentent xx et yy ?

xx est l’ordonnée sur (Oy)\left(Oy\right) et yy l’abscisse sur (Ox)\left(Ox\right)
xx est la composante radiale et yy la composante tangentielle
xx est la distance à l’origine et yy l’angle orienté
xx est l’abscisse sur (Ox)\left(Ox\right) et yy l’ordonnée sur (Oy)\left(Oy\right)

$$x$$ est l’abscisse sur $$\left(Ox\right)$$ et $$y$$ l’ordonnée sur $$\left(Oy\right)$$

Explication

Dans un repère cartésien, la première coordonnée xx est l’abscisse associée à l’axe (Ox)\left(Ox\right) et la seconde yy est l’ordonnée associée à (Oy)\left(Oy\right). La distance et l’angle caractérisent plutôt les coordonnées polaires.

5. Un point MM a pour coordonnées cartésiennes (3,−2)\left(3,-2\right). Quelle expression donne son vecteur position ?

OM→=3e⃗r−2e⃗θ\overrightarrow{OM}=3\vec e_r-2\vec e_\theta
OM→=3e⃗x−2e⃗y\overrightarrow{OM}=3\vec e_x-2\vec e_y
OM→=3e⃗y−2e⃗x\overrightarrow{OM}=3\vec e_y-2\vec e_x
OM→=3e⃗x+2e⃗y\overrightarrow{OM}=3\vec e_x+2\vec e_y

$$\overrightarrow{OM}=3\vec e_x-2\vec e_y$$

Explication

La relation cartésienne est OM→=xe⃗x+ye⃗y\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y ; avec x=3x=3 et y=−2y=-2, on obtient 3e⃗x−2e⃗y3\vec e_x-2\vec e_y. Les vecteurs e⃗r\vec e_r et e⃗θ\vec e_\theta appartiennent à la description polaire.

6. Comment s’écrit un vecteur quelconque v⃗\vec v dans la base (e⃗x,e⃗y)\left(\vec e_x,\vec e_y\right) ?

v⃗=xe⃗x+ye⃗y\vec v=x\vec e_x+y\vec e_y
v⃗=vxe⃗y+vye⃗x\vec v=v_x\vec e_y+v_y\vec e_x
v⃗=vxe⃗x+vye⃗y\vec v=v_x\vec e_x+v_y\vec e_y
v⃗=vxe⃗r+vye⃗θ\vec v=v_x\vec e_r+v_y\vec e_\theta

$$\vec v=v_x\vec e_x+v_y\vec e_y$$

Explication

Dans la base cartésienne, tout vecteur s’écrit de manière unique comme vxe⃗x+vye⃗yv_x\vec e_x+v_y\vec e_y, où vxv_x et vyv_y sont ses composantes. L’expression avec xx et yy désigne spécifiquement le vecteur position d’un point.

7. Que représentent les deux coordonnées polaires rr et θ\theta d’un point MM ?

rr est la distance OMOM et θ\theta l’angle orienté entre e⃗x\vec e_x et OM→\overrightarrow{OM}
rr est l’angle orienté et θ\theta la distance entre OO et MM
rr est la composante tangentielle et θ\theta la composante radiale
rr est l’abscisse et θ\theta l’ordonnée du point dans le repère cartésien

$$r$$ est la distance $$OM$$ et $$\theta$$ l’angle orienté entre $$\vec e_x$$ et $$\overrightarrow{OM}$$

Explication

Les coordonnées polaires associent à un point sa distance à l’origine et l’angle orienté de sa direction par rapport à e⃗x\vec e_x. Les notions d’abscisse et d’ordonnée appartiennent aux coordonnées cartésiennes.

8. Quelles contraintes caractérisent généralement les coordonnées polaires (r,θ)\left(r,\theta\right) ?

r∈[0,2π[r\in[0,2\pi[ et θ>0\theta>0
r>0r>0 et θ∈[0,2π[\theta\in[0,2\pi[
r<0r<0 et θ∈[0,2π[\theta\in[0,2\pi[
r>0r>0 et θ∈[−1,1]\theta\in[-1,1]

$$r>0$$ et $$\theta\in[0,2\pi[$$

Explication

En coordonnées polaires, rr représente une distance positive et θ\theta est généralement choisi dans l’intervalle [0,2π[[0,2\pi[. La valeur de rr ne peut donc pas être négative, tandis que l’intervalle indiqué concerne l’angle.

9. Quelle description correspond à la base mobile polaire associée à un point MM ?

Une base orthonormée directe formée d’un vecteur radial et d’un vecteur tangent
Une base non orthogonale formée d’un vecteur radial et d’un vecteur tangent
Une base cartésienne fixe formée de deux vecteurs parallèles aux axes
Une base orthonormée formée de deux vecteurs tangents aux cercles centrés en OO

Une base orthonormée directe formée d’un vecteur radial et d’un vecteur tangent

Explication

La base polaire mobile (e⃗r,e⃗θ)\left(\vec e_r,\vec e_\theta\right) est orthonormée et directe, avec un vecteur radial et un vecteur tangent aux cercles centrés en OO. Les deux vecteurs ne sont donc pas tous deux tangents, et cette base n’est pas la base cartésienne fixe.

10. Comment se définit un repère de l’espace ?

Par un point et deux vecteurs de base perpendiculaires
Par une origine et trois vecteurs de base coplanaires
Par une origine et trois vecteurs de base non coplanaires
Par trois origines et un vecteur directeur commun

Par une origine et trois vecteurs de base non coplanaires

Explication

Un repère spatial associe une origine O à une base de trois vecteurs non coplanaires, qui déterminent les axes. Deux vecteurs ou des vecteurs coplanaires ne suffisent pas à repérer les trois directions de l’espace.

11. Quelles informations représentent les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (x,y,z) d’un point M de l’espace ?

La distance à l’axe vertical, l’angle et la hauteur
L’abscisse, l’ordonnée et la hauteur du point
L’abscisse, la distance à l’origine et la direction
La longueur, la largeur et l’angle du point

L’abscisse, l’ordonnée et la hauteur du point

Explication

Dans l’espace, xx désigne l’abscisse, yy l’ordonnée et zz la hauteur ou la côte. La distance à l’axe et l’angle autour de cet axe correspondent plutôt aux coordonnées cylindriques.

12. Que représentent les trois coordonnées cylindriques (r,θ,z) (r,\theta,z) d’un point M ?

Sa distance à l’origine, son angle avec l’horizontale et sa largeur
Son abscisse, son ordonnée et sa hauteur dans un repère fixe
Son rayon, sa pente et sa distance au plan horizontal
Sa distance à l’axe (Oz)(Oz), son angle autour de cet axe et sa hauteur

Sa distance à l’axe $$(Oz)$$, son angle autour de cet axe et sa hauteur

Explication

En coordonnées cylindriques, rr mesure la distance à l’axe (Oz)(Oz), θ\theta repère la direction angulaire autour de cet axe et zz indique la hauteur. Les coordonnées cartésiennes utilisent plutôt les composantes xx, yy et zz.

13. Laquelle de ces valeurs peut être négative pour un point décrit en coordonnées cylindriques ?

La distance radiale rr
La hauteur orientée zz
La longueur du vecteur radial
La distance à l’axe vertical

La hauteur orientée $$z$$

Explication

La coordonnée zz est une hauteur orientée et peut donc être négative, tandis que rr est une distance et reste positive. Les autres grandeurs proposées comme distances ou longueurs ne changent pas de signe.

14. Quelle propriété caractérise la base mobile cylindrique associée à un point M ?

Elle est orthonormée directe et comprend les directions radiale, orthoradiale et verticale
Elle est orthonormée directe et comprend trois directions tangentes aux cercles horizontaux
Elle est formée de deux directions radiales et d’une direction horizontale
Elle est fixe et comprend les directions des axes cartésiens usuels

Elle est orthonormée directe et comprend les directions radiale, orthoradiale et verticale

Explication

La base cylindrique (e⃗r,e⃗θ,e⃗z) (\vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_z) est une base orthonormée directe composée des directions radiale, orthoradiale et verticale. Les directions e⃗r\vec e_r et e⃗θ\vec e_\theta varient avec la position, contrairement à une base cartésienne fixe.

15. Quelle expression donne le vecteur position d’un point M en coordonnées cylindriques ?

OM→=re⃗r+θe⃗θ+ze⃗z\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+\theta\vec e_\theta+z\vec e_z
OM→=re⃗θ+ze⃗z\overrightarrow{OM}=r\vec e_\theta+z\vec e_z
OM→=re⃗r+ze⃗z\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z
OM→=xe⃗r+ye⃗θ+ze⃗z\overrightarrow{OM}=x\vec e_r+y\vec e_\theta+z\vec e_z

$$\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$$

Explication

Le vecteur position comporte une composante radiale de norme rr et une composante verticale de valeur zz, d’où OM→=re⃗r+ze⃗z\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z. La coordonnée angulaire θ\theta fixe la direction de e⃗r\vec e_r mais n’apparaît pas comme une composante vectorielle.

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Qu'est-ce que le mouvement en physique ?

Le changement de position d’un objet dans l’espace au fil du temps.

Qu'est-ce qu'un repère du plan ?

Un système physique de référence pour déterminer la position dans le plan.

Comment se définit un repère cartésien du plan ?

Par une base (⃗ex,⃗ey) et une origine O, noté (O;⃗ex,⃗ey).

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