QCM : Fonctions réciproques et cyclométriques — 23 questions

Question 1

1. Comment définit-on l’ensemble-image d’une fonction $f$ ?

L’ensemble des antécédents appartenant au domaine

L’ensemble d’arrivée fixé avant de définir

f

L’ensemble des valeurs prises par

f

L’ensemble des couples formant le graphe de

f

Explication

L’ensemble-image regroupe toutes les valeurs effectivement obtenues par la fonction et se note $\operatorname{im} f$ . L’ensemble d’arrivée peut contenir des valeurs qui ne sont pas atteintes, donc il ne coïncide pas nécessairement avec l’image.

Answer

L’ensemble des valeurs prises par $$f$$

Question 2

2. Que fait la réciproque d’une fonction définie par $y=f(x)$ ?

Elle associe à chaque

x

la valeur

y

obtenue par la fonction

Elle associe à

y

le ou les nombres

x

dont elle est l’image

Elle associe à chaque

y

toutes les valeurs possibles de l’ensemble d’arrivée

Elle transforme chaque antécédent en une nouvelle valeur indépendante de

f

Explication

La réciproque inverse la relation en associant à une valeur obtenue $y$ les antécédents $x$ correspondants. Elle peut associer plusieurs antécédents à une même valeur, et n’est alors pas une fonction.

Answer

Elle associe à $$y$$ le ou les nombres $$x$$ dont elle est l’image

Question 3

3. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction est-elle elle-même une fonction ?

Lorsque la fonction de départ est injective

Lorsque l’ensemble d’arrivée contient plusieurs valeurs

Lorsque la fonction de départ est définie sur

\mathbb{R}

Lorsque la fonction de départ possède un graphe symétrique

Explication

L’injectivité garantit qu’une valeur de l’image possède au plus un antécédent, ce qui rend la réciproque fonctionnelle. Le seul fait d’avoir un domaine réel ou un graphe particulier ne suffit pas à assurer cette propriété.

Answer

Lorsque la fonction de départ est injective

Question 4

4. Pour une fonction injective, quelle égalité est valable pour tout $x$ appartenant à $\operatorname{dom} f$ ?

f(f(x))=x

f^{-1}(f(x))=x

f^{-1}(x)=f(x)

f(f^{-1}(x))=x

pour tout

x\in\operatorname{dom} f

Explication

La composition de la fonction réciproque avec la fonction de départ restitue l’antécédent initial, donc $f^{-1}(f(x))=x$ sur le domaine de $f$ . L’égalité avec $f(f^{-1}(y))$ concerne plutôt les valeurs $y$ de l’image de $f$ .

Answer

$$f^{-1}(f(x))=x$$

Question 5

5. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction $f$ ?

Chaque valeur de l’ensemble d’arrivée possède un antécédent

La fonction est à la fois croissante et continue

f(x_1)=f(x_2)

implique

x_1=x_2

L’ensemble-image est égal à l’ensemble d’arrivée

Explication

Une fonction est injective lorsque deux éléments du domaine ayant la même image sont nécessairement égaux. L’atteinte de toutes les valeurs de l’ensemble d’arrivée relève de la surjectivité, et non de l’injectivité.

Answer

$$f(x_1)=f(x_2)$$ implique $$x_1=x_2$$

Question 6

6. Quand une fonction $f$ est-elle surjective dans un ensemble $Y$ ?

Lorsque chaque valeur de

Y

possède au plus un antécédent

Lorsque deux antécédents distincts ont des images distinctes

Lorsque le domaine de

f

est égal à

Y

Lorsque

\operatorname{im} f=Y

Explication

La surjectivité dans $Y$ signifie que toutes les valeurs de $Y$ sont atteintes, ce qui s’écrit $\operatorname{im} f=Y$ . La condition portant sur le nombre d’antécédents correspond à l’injectivité.

Answer

Lorsque $$\operatorname{im} f=Y$$

Question 7

7. Quelle combinaison de propriétés définit une fonction bijective ?

Elle possède un ensemble-image non vide et un domaine non vide

Elle est continue et strictement monotone

Elle est injective et surjective

Elle est définie sur

\mathbb{R}

et à valeurs réelles

Explication

Une fonction bijective possède simultanément l’injectivité et la surjectivité. Chacune de ces propriétés prise séparément ne garantit pas la bijectivité.

Answer

Elle est injective et surjective

Question 8

8. Quelle relation relie les domaines et les images d’une fonction injective $f$ et de sa réciproque $f^{-1}$ ?

\operatorname{dom} f=\operatorname{im} f^{-1}

et

\operatorname{im} f=\operatorname{dom} f^{-1}

\operatorname{dom} f=\operatorname{dom} f^{-1}

et

\operatorname{im} f^{-1}=\operatorname{im} f

\operatorname{dom} f=\operatorname{dom} f^{-1}

et

\operatorname{im} f=\operatorname{im} f^{-1}

\operatorname{dom} f=\operatorname{im} f

et

\operatorname{dom} f^{-1}=\operatorname{im} f^{-1}

Explication

La réciproque échange les rôles des antécédents et des images : le domaine de $f$ devient l’image de $f^{-1}$ , tandis que l’image de $f$ devient le domaine de $f^{-1}$ . Les domaines et les images ne restent donc pas associés au même type d’ensemble.

Answer

$$\operatorname{dom} f=\operatorname{im} f^{-1}$$ et $$\operatorname{im} f=\operatorname{dom} f^{-1}$$

Question 9

9. Par quelle transformation géométrique obtient-on le graphe de la réciproque d’une fonction injective à partir de son graphe ?

Par une symétrie par rapport à la droite

y=x

Par une rotation autour de l’origine d’un angle de

90^\circ

Par une symétrie par rapport à l’axe des abscisses

Par une translation suivant la droite

y=x

Explication

Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation $y=x$ . Une symétrie par rapport à un axe ou une translation ne permute pas correctement les coordonnées $x$ et $y$ .

Answer

Par une symétrie par rapport à la droite $$y=x$$

Question 10

10. Pourquoi la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ n’a-t-elle pas une réciproque qui soit une fonction ?

Parce que

x^2

ne prend aucune valeur positive

Parce que sa réciproque devrait être définie pour toutes les valeurs réelles

Parce que

2

et

-2

ont la même image

Parce que

x^2

est strictement décroissante sur

\mathbb{R}

Explication

Les nombres $2$ et $-2$ ont tous deux pour image $4$ , donc $x^2$ n’est pas injective sur $\mathbb{R}$ . Sa relation réciproque associe alors à une valeur positive deux antécédents, ce qui empêche d’obtenir une fonction.

Answer

Parce que $$2$$ et $$-2$$ ont la même image

Question 11

11. Quelle expression donne la dérivée de la fonction réciproque $f^{-1}$ lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies ?

f'(f^{-1}(x))

\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

\frac{1}{f'(x)}

\frac{1}{f^{-1}(f'(x))}

Explication

La dérivée de la fonction réciproque en $x$ est l’inverse de la dérivée de $f$ évaluée en $f^{-1}(x)$ . Utiliser $f'(x)$ directement néglige l’évaluation au point réciproque.

Answer

$$\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

Question 12

12. Si $f^{-1}(a)=b$ et $f'(b)=4$ , quelle est la valeur de $(f^{-1})'(a)$ ?

\frac{1}{a}

4

\frac{1}{4}

\frac{1}{b}

Explication

La formule donne $(f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}=\frac{1}{f'(b)}=\frac{1}{4}$ . La valeur de $f'(b)$ doit être inversée, et non conservée telle quelle.

Answer

$$\frac{1}{4}$$

Question 13

13. Comment définir l’arcsinus sur son domaine réel ?

Comme la réciproque du cosinus restreint à

[0,\pi]

Comme la réciproque du sinus défini sur toute

\mathbb{R}

Comme la réciproque du sinus restreint à

[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Comme la restriction du sinus à

[-1,1]

Explication

L’arcsinus est la fonction réciproque du sinus restreint à $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ , où celui-ci réalise une bijection vers $[-1,1]$ . Le sinus sur $\mathbb{R}$ n’est pas injectif, ce qui empêche d’y définir directement une fonction réciproque.

Answer

Comme la réciproque du sinus restreint à $$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$

Question 14

14. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arcsin x=y\Longleftrightarrow x=\sin y$ est-elle valable ?

x\in[-1,1]

et

y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

x\in\mathbb{R}

et

y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

et

y\in[-1,1]

x\in[-1,1]

et

y\in[0,\pi]

Explication

L’entrée de l’arcsinus appartient à $[-1,1]$ et sa valeur appartient à $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . L’intervalle $[-1,1]$ ne décrit donc pas les valeurs possibles de $y$ .

Answer

$$x\in[-1,1]$$ et $$y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$

Question 15

15. Quelle identité est valable pour tout $x\in[-1,1]$ ?

\arcsin(\sin x)=\sin x

\sin(\arcsin x)=\arcsin x

\sin(\arcsin x)=x

\arcsin(\sin x)=x

Explication

La composition du sinus avec l’arcsinus restitue l’entrée pour $x\in[-1,1]$ . L’identité réciproque $\arcsin(\sin x)=x$ exige, elle, que $x$ appartienne à $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ .

Answer

$$\sin(\arcsin x)=x$$

Question 16

16. Comment définir l’arccosinus sur son domaine réel ?

Comme la restriction du cosinus à

[-1,1]

Comme la réciproque du sinus restreint à

[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Comme la réciproque du cosinus restreint à

[0,\pi]

Comme la réciproque du cosinus défini sur toute

\mathbb{R}

Explication

L’arccosinus est la fonction réciproque du cosinus restreint à $[0,\pi]$ , intervalle sur lequel il réalise une bijection vers $[-1,1]$ . Le cosinus défini sur $\mathbb{R}$ n’est pas injectif et ne possède donc pas de réciproque fonctionnelle sur cet ensemble.

Answer

Comme la réciproque du cosinus restreint à $$[0,\pi]$$

Question 17

17. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arccos x=y\Longleftrightarrow x=\cos y$ est-elle valable ?

x\in[-1,1]

et

y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

x\in[-1,1]

et

y\in[0,\pi]

x\in\mathbb{R}

et

y\in[0,\pi]

x\in[0,\pi]

et

y\in[-1,1]

Explication

L’entrée de l’arccosinus appartient à $[-1,1]$ , tandis que sa valeur appartient à $[0,\pi]$ . L’intervalle $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ correspond au choix de valeurs de l’arcsinus, pas de l’arccosinus.

Answer

$$x\in[-1,1]$$ et $$y\in[0,\pi]$$

Question 18

18. Quelle identité est valable pour tout $x\in[0,\pi]$ ?

\arccos(\cos x)=x

\cos(\arccos x)=\arccos x

\arccos(\cos x)=\cos x

\cos(\arccos x)=x

Explication

Sur l’intervalle $[0,\pi]$ , l’arccosinus est bien la réciproque du cosinus, donc $\arccos(\cos x)=x$ . L’identité $\cos(\arccos x)=x$ porte plutôt sur une entrée $x\in[-1,1]$ .

Answer

$$\arccos(\cos x)=x$$

Question 19

19. Pourquoi la fonction tangente doit-elle être restreinte à l’intervalle $] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ pour définir sa fonction réciproque arctangente ?

Parce que cette restriction rend la tangente périodique sur

\mathbb{R}

Parce que cette restriction impose à la tangente des valeurs positives

Parce que cette restriction rend la tangente bijective vers

\mathbb{R}

Parce que cette restriction transforme la tangente en fonction polynomiale

Explication

Sur cet intervalle, la tangente est injective et atteint toutes les valeurs réelles, donc elle est bijective vers $\mathbb{R}$ . Sur $\mathbb{R}$ , sa périodicité empêche l’injectivité, ce qui interdit d’y définir une réciproque fonctionnelle.

Answer

Parce que cette restriction rend la tangente bijective vers $$\mathbb{R}$$

Question 20

20. Quelle égalité caractérise correctement la relation entre $\arctan x$ et la fonction tangente ?

Pour

x\in\mathbb{R}

,

\arctan x=y

équivaut à

x=\tan y

avec

y\in\left]0;\frac{\pi}{2}\right[

Pour

x\in\mathbb{R}

,

\arctan x=y

équivaut à

x=\tan y

avec

y\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[

Pour

x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[

,

\arctan x=y

équivaut à

x=\tan y

avec

y\in\mathbb{R}

Pour

y\in\mathbb{R}

,

\arctan y=x

équivaut à

y=\tan x

avec

x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[

Explication

La définition impose que l’argument $x$ soit réel et que la valeur $y=\arctan x$ appartienne à l’intervalle où la tangente est bijective. Les autres formulations échangent les rôles des variables ou restreignent incorrectement l’un des domaines.

Answer

Pour $$x\in\mathbb{R}$$, $$\arctan x=y$$ équivaut à $$x=\tan y$$ avec $$y\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$$

Question 21

21. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\arctan x$ ?

f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f'(x)=\frac{1}{1-x^2}

f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

Explication

La dérivée de l’arctangente est $\frac{1}{1+x^2}$ pour tout réel $x$ . La formule contenant $\sqrt{1-x^2}$ correspond à l’arcsinus, tandis que le signe négatif caractérise l’arccosinus.

Answer

$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

Question 22

22. Quelle démarche convient pour déterminer une fonction réciproque lorsqu’une fonction donnée n’est pas injective sur son domaine initial ?

Vérifier l’injectivité, restreindre le domaine si nécessaire, puis calculer la réciproque et ses conditions d’existence

Calculer une dérivée, conserver le domaine initial, puis inverser les expressions sans examiner les valeurs possibles

Déterminer l’image, remplacer les variables, puis accepter la réciproque sans préciser son domaine

Tracer la courbe, supprimer les points discontinus, puis définir la réciproque à partir des seules asymptotes

Explication

La construction exige d’abord l’injectivité, éventuellement obtenue par une restriction du domaine, puis la détermination de la réciproque et la précision de ses conditions d’existence. Conserver un domaine non injectif ne permet pas d’obtenir une fonction réciproque bien définie.

Answer

Vérifier l’injectivité, restreindre le domaine si nécessaire, puis calculer la réciproque et ses conditions d’existence

Question 23

23. Lequel de ces ensembles d’objectifs correspond à l’étude des fonctions cyclométriques ?

Analyser limites et continuité, calculer aires, puis factoriser des polynômes

Vérifier injectivité, surjectivité et bijectivité, calculer domaines et dérivées, puis relier graphiques et expressions

Déterminer extrema et convexité, développer en séries, puis comparer des suites numériques

Étudier périodicité et parité, calculer primitives et intégrales, puis résoudre des équations différentielles

Explication

L’étude vise notamment les propriétés d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité, les domaines et dérivées, ainsi que le tracé et l’appariement des graphiques. Les autres ensembles proposent des objectifs mathématiques pertinents dans d’autres chapitres, mais ils ne correspondent pas à cette liste.

Answer

Vérifier injectivité, surjectivité et bijectivité, calculer domaines et dérivées, puis relier graphiques et expressions

QCM : Fonctions réciproques et cyclométriques — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on l’ensemble-image d’une fonction $f$ ?

2. Que fait la réciproque d’une fonction définie par $y=f(x)$ ?

3. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction est-elle elle-même une fonction ?

4. Pour une fonction injective, quelle égalité est valable pour tout $x$ appartenant à $\operatorname{dom} f$ ?

5. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction $f$ ?

6. Quand une fonction $f$ est-elle surjective dans un ensemble $Y$ ?

7. Quelle combinaison de propriétés définit une fonction bijective ?

8. Quelle relation relie les domaines et les images d’une fonction injective $f$ et de sa réciproque $f^{-1}$ ?

9. Par quelle transformation géométrique obtient-on le graphe de la réciproque d’une fonction injective à partir de son graphe ?

10. Pourquoi la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ n’a-t-elle pas une réciproque qui soit une fonction ?

11. Quelle expression donne la dérivée de la fonction réciproque $f^{-1}$ lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies ?

12. Si $f^{-1}(a)=b$ et $f'(b)=4$ , quelle est la valeur de $(f^{-1})'(a)$ ?

13. Comment définir l’arcsinus sur son domaine réel ?

14. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arcsin x=y\Longleftrightarrow x=\sin y$ est-elle valable ?

15. Quelle identité est valable pour tout $x\in[-1,1]$ ?

16. Comment définir l’arccosinus sur son domaine réel ?

17. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arccos x=y\Longleftrightarrow x=\cos y$ est-elle valable ?

18. Quelle identité est valable pour tout $x\in[0,\pi]$ ?

19. Pourquoi la fonction tangente doit-elle être restreinte à l’intervalle $] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ pour définir sa fonction réciproque arctangente ?

20. Quelle égalité caractérise correctement la relation entre $\arctan x$ et la fonction tangente ?

21. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\arctan x$ ?

22. Quelle démarche convient pour déterminer une fonction réciproque lorsqu’une fonction donnée n’est pas injective sur son domaine initial ?

23. Lequel de ces ensembles d’objectifs correspond à l’étude des fonctions cyclométriques ?

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QCM : Fonctions réciproques et cyclométriques — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on l’ensemble-image d’une fonction fff ?

2. Que fait la réciproque d’une fonction définie par y=f(x)y=f(x)y=f(x) ?

3. Dans quelle situation la réciproque d’une fonction est-elle elle-même une fonction ?

4. Pour une fonction injective, quelle égalité est valable pour tout xxx appartenant à dom⁡f\operatorname{dom} fdomf ?

5. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction fff ?

6. Quand une fonction fff est-elle surjective dans un ensemble YYY ?

7. Quelle combinaison de propriétés définit une fonction bijective ?

8. Quelle relation relie les domaines et les images d’une fonction injective fff et de sa réciproque f−1f^{-1}f−1 ?

9. Par quelle transformation géométrique obtient-on le graphe de la réciproque d’une fonction injective à partir de son graphe ?

10. Pourquoi la fonction f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 définie sur R\mathbb{R}R n’a-t-elle pas une réciproque qui soit une fonction ?

11. Quelle expression donne la dérivée de la fonction réciproque f−1f^{-1}f−1 lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies ?

12. Si f−1(a)=bf^{-1}(a)=bf−1(a)=b et f′(b)=4f'(b)=4f′(b)=4, quelle est la valeur de (f−1)′(a)(f^{-1})'(a)(f−1)′(a) ?

13. Comment définir l’arcsinus sur son domaine réel ?

14. Pour quelles valeurs de xxx et de yyy l’équivalence arcsin⁡x=y⟺x=sin⁡y\arcsin x=y\Longleftrightarrow x=\sin yarcsinx=y⟺x=siny est-elle valable ?

15. Quelle identité est valable pour tout x∈[−1,1]x\in[-1,1]x∈[−1,1] ?

16. Comment définir l’arccosinus sur son domaine réel ?

17. Pour quelles valeurs de xxx et de yyy l’équivalence arccos⁡x=y⟺x=cos⁡y\arccos x=y\Longleftrightarrow x=\cos yarccosx=y⟺x=cosy est-elle valable ?

18. Quelle identité est valable pour tout x∈[0,π]x\in[0,\pi]x∈[0,π] ?

19. Pourquoi la fonction tangente doit-elle être restreinte à l’intervalle ]−π2;π2[] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[]−2π​;2π​[ pour définir sa fonction réciproque arctangente ?

20. Quelle égalité caractérise correctement la relation entre arctan⁡x\arctan xarctanx et la fonction tangente ?

21. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan xf(x)=arctanx ?

22. Quelle démarche convient pour déterminer une fonction réciproque lorsqu’une fonction donnée n’est pas injective sur son domaine initial ?

23. Lequel de ces ensembles d’objectifs correspond à l’étude des fonctions cyclométriques ?

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1. Comment définit-on l’ensemble-image d’une fonction $f$ ?

2. Que fait la réciproque d’une fonction définie par $y=f(x)$ ?

4. Pour une fonction injective, quelle égalité est valable pour tout $x$ appartenant à $\operatorname{dom} f$ ?

5. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une fonction $f$ ?

6. Quand une fonction $f$ est-elle surjective dans un ensemble $Y$ ?

8. Quelle relation relie les domaines et les images d’une fonction injective $f$ et de sa réciproque $f^{-1}$ ?

10. Pourquoi la fonction $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ n’a-t-elle pas une réciproque qui soit une fonction ?

11. Quelle expression donne la dérivée de la fonction réciproque $f^{-1}$ lorsque les conditions de dérivabilité sont réunies ?

12. Si $f^{-1}(a)=b$ et $f'(b)=4$ , quelle est la valeur de $(f^{-1})'(a)$ ?

14. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arcsin x=y\Longleftrightarrow x=\sin y$ est-elle valable ?

15. Quelle identité est valable pour tout $x\in[-1,1]$ ?

17. Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ l’équivalence $\arccos x=y\Longleftrightarrow x=\cos y$ est-elle valable ?

18. Quelle identité est valable pour tout $x\in[0,\pi]$ ?

19. Pourquoi la fonction tangente doit-elle être restreinte à l’intervalle $] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ pour définir sa fonction réciproque arctangente ?

20. Quelle égalité caractérise correctement la relation entre $\arctan x$ et la fonction tangente ?

21. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\arctan x$ ?