Fonctions réciproques et cyclométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une fonction réciproque
2. Injectivité surjectivité et bijectivité
3. Propriétés et exemples de réciproques
4. Dérivée d’une fonction réciproque
5. Fonction arcsinus
6. Fonction arccosinus
7. Fonction arctangente et dérivées
8. Objectifs et méthodes d’application

📖 1. Définition d’une fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble-image : Ensemble des valeurs prises par une relation définie dans ℝ, noté im f lorsque la relation est une fonction.
• Réciproque d’une fonction : Relation qui associe à chaque valeur y obtenue par f le ou les nombres x dont elle est l’image.

★ À maîtriser

📌 La réciproque d’une fonction est une fonction lorsque la fonction de départ est injective, c’est-à-dire lorsqu’aucun réel n’est l’image de deux réels distincts de son domaine.

📐 Formule — Pour une fonction injective, on a $f^{-1}(f(x))=x$ pour tout x de dom f et $f(f^{-1}(y))=y$ pour tout y de im f.

Compléments

📌 Une fonction strictement monotone et continue sur son domaine est injective et admet donc une fonction réciproque.

💡 Astuce mémo

Fonction injective → réciproque fonctionnelle