QCM : Fonctions trigonométriques usuelles — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Combien mesure un tour complet exprimé en radians ?

2π2\pi radians
4π4\pi radians
π2\frac{\pi}{2} radians
π\pi radians

$$2\pi$$ radians

Explication

Un tour complet correspond à 360 degrés, soit 2π2\pi radians. La valeur π\pi représente un demi-tour, et non un tour complet.

2. Sur un cercle de rayon R=5R=5, quelle longueur d’arc est interceptée par un angle de x=2x=2 radians ?

5 unités
2,5 unités
10 unités
7 unités

10 unités

Explication

La longueur d’arc se calcule avec ℓ=Rx\ell=Rx, donc ℓ=5×2=10\ell=5\times2=10 unités. Multiplier par RR est nécessaire, car la mesure en radians seule ne donne pas la longueur de l’arc.

3. Dans la convention utilisée, comment interpréter l’angle écrit « 3 » sans symbole de degré ?

Comme un angle de 3 tours
Comme un angle de 3 degrés
Comme un angle de 3 radians
Comme un angle de 3π3\pi radians

Comme un angle de 3 radians

Explication

Un angle écrit sans symbole ° est exprimé en radians dans cette convention. L’absence du symbole de degré ne transforme pas 3 en degrés ni en tours complets.

4. Quelle différence obtient-on entre sin⁡(30∘)\sin(30^\circ) en mode DEG et sin⁡(30)\sin(30) en mode RAD ?

Le premier vaut environ −0,988-0,988, tandis que le second vaut 12\frac{1}{2}.
Les deux valent 12\frac{1}{2}, car l’écriture numérique est identique.
Le premier vaut 12\frac{1}{2}, tandis que le second vaut environ −0,988-0,988.
Les deux valent environ −0,988-0,988, car les deux calculs utilisent des radians.

Le premier vaut $$\frac{1}{2}$$, tandis que le second vaut environ $$-0,988$$.

Explication

En mode DEG, 30 désigne 30 degrés et sin⁡(30∘)=12\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}, tandis qu’en mode RAD, 30 désigne 30 radians et le sinus vaut environ −0,988-0,988. Confondre les deux modes conduit à attribuer la valeur en degrés au calcul en radians.

5. Quelle propriété définit le cercle trigonométrique ?

C’est le cercle unité où l’angle xx correspond au point (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x).
C’est une droite graduée où l’angle xx correspond au point (cos⁡x,x)(\cos x,x).
C’est le cercle de rayon π\pi où l’angle xx correspond au point (x,sin⁡x)(x,\sin x).
C’est un cercle de rayon variable où l’angle xx correspond au point (sin⁡x,cos⁡x)(\sin x,\cos x).

C’est le cercle unité où l’angle $$x$$ correspond au point $$(\cos x,\sin x)$$.

Explication

Le cercle trigonométrique est le cercle unité, donc de rayon 1, et le point associé à xx a pour coordonnées (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x). Un cercle de rayon quelconque ne constitue pas la définition retenue.

6. Dans le point M=(cos⁡x,sin⁡x)M=(\cos x,\sin x), quelle coordonnée représente sin⁡x\sin x ?

L’ordonnée de MM
La distance de MM à l’origine
L’abscisse de MM
La mesure de l’angle xx

L’ordonnée de $$M$$

Explication

Dans un couple de coordonnées, le second terme est l’ordonnée ; ainsi sin⁡x\sin x est l’ordonnée de MM. L’abscisse correspond à cos⁡x\cos x, ce qui constitue la confusion fréquente entre les deux fonctions.

7. Quel est le couple (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x) pour x=3π2x=\frac{3\pi}{2} ?

(0,1)(0,1)
(−1,0)(-1,0)
(0,−1)(0,-1)
(1,0)(1,0)

$$(0,-1)$$

Explication

À l’angle 3π2\frac{3\pi}{2}, le point du cercle trigonométrique est situé en bas, donc ses coordonnées sont (0,−1)(0,-1). Le couple (−1,0)(-1,0) correspond à l’angle π\pi.

8. Quelle est la valeur de sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) ?

11
32\frac{\sqrt{3}}{2}
22\frac{\sqrt{2}}{2}
12\frac{1}{2}

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Explication

Pour les angles remarquables, le sinus de π3\frac{\pi}{3} vaut 32\frac{\sqrt{3}}{2}. La valeur 22\frac{\sqrt{2}}{2} appartient à l’angle π4\frac{\pi}{4}, tandis que 1 correspond à π2\frac{\pi}{2}.

9. Lors de la méthode « 0, 1, 2, 3, 4 » pour retrouver les valeurs remarquables, dans quel sens lit-on la ligne du cosinus ?

Des extrémités vers le centre
De gauche à droite
Du centre vers les extrémités
De droite à gauche

De droite à gauche

Explication

La méthode associe les valeurs du sinus aux angles dans l’ordre de gauche à droite, tandis que le cosinus se lit de droite à gauche. Lire le cosinus dans le sens direct donnerait les valeurs du sinus plutôt que leur ordre inversé.

10. Quelle propriété borne les valeurs du sinus et du cosinus pour tout réel xx ?

Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle [0,1][0,1].
Leur somme appartient toujours à l’intervalle [−1,1][-1,1].
Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle [−1,1][-1,1].
Elles peuvent prendre toute valeur réelle lorsque xx varie.

Elles appartiennent toutes deux à l’intervalle $$[-1,1]$$.

Explication

Le sinus et le cosinus sont des coordonnées d’un point du cercle unité, donc leurs valeurs restent comprises entre −1-1 et 11. La tangente, contrairement à ces deux fonctions, peut prendre des valeurs de grande amplitude près de ses asymptotes.

11. Quelle égalité traduit la périodicité commune du sinus et du cosinus ?

Pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}, sin⁡(x+kπ)=sin⁡x\sin(x+k\pi)=\sin x et cos⁡(x+kπ)=cos⁡x\cos(x+k\pi)=\cos x.
Pour tout $$k":[?]
Pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}, sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x et cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x.
Pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}, sin⁡(x+π)=cos⁡x\sin(x+\pi)=\cos x et cos⁡(x+π)=sin⁡x\cos(x+\pi)=\sin x.

Pour tout $$k\in\mathbb{Z}$$, $$\sin(x+2k\pi)=\sin x$$ et $$\cos(x+2k\pi)=\cos x$$.

Explication

Ajouter un nombre entier de tours, soit 2kπ2k\pi, laisse inchangées les valeurs du sinus et du cosinus. Une translation de π\pi inverse leurs signes au lieu de conserver leurs valeurs.

12. Quelle relation décrit correctement les parités du sinus et du cosinus ?

Le sinus est impair et le cosinus est pair.
Les deux fonctions sont impaires par rapport à l’axe des ordonnées.
Les deux fonctions sont paires par rapport à l’origine.
Le sinus est pair et le cosinus est impair.

Le sinus est impair et le cosinus est pair.

Explication

La relation sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x caractérise une fonction impaire, tandis que cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x caractérise une fonction paire. Les symétries des deux fonctions ne sont donc pas de même nature.

13. Quelle transformation conserve la valeur du sinus tout en changeant le signe de celui-ci dans l’autre cas ?

sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x et sin⁡(π+x)=cos⁡x\sin(\pi+x)=\cos x.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x et sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x.
sin⁡(π−x)=cos⁡x\sin(\pi-x)=\cos x et sin⁡(π+x)=−cos⁡x\sin(\pi+x)=-\cos x.
sin⁡(π−x)=−sin⁡x\sin(\pi-x)=-\sin x et sin⁡(π+x)=sin⁡x\sin(\pi+x)=\sin x.

$$\sin(\pi-x)=\sin x$$ et $$\sin(\pi+x)=-\sin x$$.

Explication

La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées du cercle donne sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x, tandis qu’un décalage de π\pi inverse l’ordonnée et donne sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x. Les autres relations confondent ces transformations avec celles du cosinus.

14. Quelle coordonnée du cercle trigonométrique le graphe du sinus reproduit-il en fonction de l’angle ?

La distance du point à l’origine.
La longueur de l’arc parcouru depuis l’origine.
L’ordonnée du point associé à l’angle.
L’abscisse du point associé à l’angle.

L’ordonnée du point associé à l’angle.

Explication

Le sinus correspond à l’ordonnée du point du cercle trigonométrique, et son graphe reproduit cette coordonnée quand l’angle varie. Le cosinus correspond, lui, à l’abscisse.

15. Pour f(t)=Asin⁡(ωt)+mf(t)=A\sin(\omega t)+m, quelles sont l’amplitude et la période ?

L’amplitude est ∣m∣|m| et la période vaut T=∣ω∣2πT=\frac{|\omega|}{2\pi}.
L’amplitude est ∣ω∣|\omega| et la période vaut T=2π∣A∣T=\frac{2\pi}{|A|}.
L’amplitude est ∣A+m∣|A+m| et la période vaut T=2π∣ω∣T=2\pi|\omega|.
L’amplitude est ∣A∣|A| et la période vaut T=2π∣ω∣T=\frac{2\pi}{|\omega|}.

L’amplitude est $$|A|$$ et la période vaut $$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$$.

Explication

Le coefficient AA règle l’écart maximal autour de la valeur moyenne, d’où l’amplitude ∣A∣|A|, tandis que ω\omega règle la vitesse de répétition, d’où T=2π∣ω∣T=\frac{2\pi}{|\omega|}. La constante mm translate la courbe verticalement sans modifier ces deux grandeurs.

16. Quelle identité fondamentale relie le carré du cosinus et le carré du sinus d’un même angle ?

cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1
cos⁡2x×sin⁡2x=1\cos^2 x\times\sin^2 x=1
cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1
cos⁡2x−sin⁡2x=1\cos^2 x-\sin^2 x=1

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Explication

Les coordonnées d’un point du cercle unité vérifient la relation de Pythagore cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1. Cette identité porte sur les carrés des deux fonctions, et non sur leur somme simple.

17. Si cos⁡x=35\cos x=\frac{3}{5} et 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}, quelle valeur prend sin⁡x\sin x ?

45\frac{4}{5}
54\frac{5}{4}
−45-\frac{4}{5}
35\frac{3}{5}

$$\frac{4}{5}$$

Explication

L’identité fondamentale donne sin⁡2x=1−925=1625\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}, donc ∣sin⁡x∣=45|\sin x|=\frac45. Comme l’angle est dans le premier quadrant, le sinus est positif.

18. Quelle méthode permet de résoudre sin⁡x=a\sin x=a sur l’ensemble des réels à l’aide du cercle trigonométrique ?

Repérer l’ordonnée aa, trouver les deux angles correspondants sur un tour, puis ajouter les tours entiers.
Repérer l’abscisse aa, trouver un angle sur un tour, puis ajouter des demi-tours.
Repérer l’abscisse aa, trouver deux angles sur un tour, puis ajouter des tours entiers.
Repérer l’ordonnée aa, conserver un seul angle sur un tour, puis ajouter des quarts de tour.

Repérer l’ordonnée $$a$$, trouver les deux angles correspondants sur un tour, puis ajouter les tours entiers.

Explication

Résoudre sin⁡x=a\sin x=a revient à chercher les points du cercle dont l’ordonnée vaut aa, généralement deux angles par tour, puis à ajouter 2kπ2k\pi. Utiliser l’abscisse correspondrait à une équation portant sur le cosinus.

19. Quelles sont les solutions générales de sin⁡x=12\sin x=\frac12 ?

x=π6+kπx=\frac{\pi}{6}+k\pi ou x=5π6+kπx=\frac{5\pi}{6}+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.
x=π3+2kπx=\frac{\pi}{3}+2k\pi ou x=5π3+2kπx=\frac{5\pi}{3}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.
x=π6+2kπx=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=5π6+2kπx=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.
x=π4+2kπx=\frac{\pi}{4}+2k\pi ou x=3π4+2kπx=\frac{3\pi}{4}+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}.

$$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$$ ou $$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$.

Explication

Le sinus vaut 12\frac12 aux angles π6\frac\pi6 et 5π6\frac{5\pi}6 sur un tour, puis ces solutions se répètent après chaque ajout de 2kπ2k\pi. Les angles π3\frac\pi3 et 5π3\frac{5\pi}3 correspondent plutôt à une équation de cosinus égale à 12\frac12.

20. Comment la tangente d’un angle xx est-elle définie lorsque le quotient existe ?

Par le quotient cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}
Par la somme sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x
Par la différence sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x
Par le quotient sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}

Par le quotient $$\frac{\sin x}{\cos x}$$

Explication

La tangente est définie comme le rapport du sinus au cosinus lorsque le dénominateur n’est pas nul. La confusion fréquente consiste à inverser ce rapport, ce qui correspond à une autre relation trigonométrique.

21. Quelle est la valeur de tan⁡(π3)\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) ?

La valeur n’est pas définie
3\sqrt{3}
33\frac{\sqrt{3}}{3}
11

$$\sqrt{3}$$

Explication

Pour l’angle π3\frac{\pi}{3}, la tangente vaut 3\sqrt{3} dans le tableau des valeurs remarquables. La valeur 33\frac{\sqrt{3}}{3} correspond à tan⁡(π6)\tan\left(\frac{\pi}{6}\right), et non à cet angle.

22. Quelles droites sont les asymptotes verticales du graphe de la tangente ?

x=kπx=k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
y=π2+kπy=\frac{\pi}{2}+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
y=kπy=k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Explication

Les asymptotes verticales apparaissent lorsque le cosinus s’annule, c’est-à-dire pour x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi. Les équations en yy décrivent des droites horizontales, tandis que x=kπx=k\pi correspond aux zéros de la tangente.

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Quelle mesure en degrés correspond à un tour complet ?

Un tour complet mesure 360°.

Quelle mesure en radians correspond à un tour complet ?

Un tour complet mesure 2π2\pi radians.

Quelle est la mesure d'un angle droit en degrés ?

Un angle droit mesure 90°.

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