Fiche de révision : Fonctions trigonométriques usuelles

📋 Plan du Cours

1. Mesure des angles et radians
2. Cercle trigonométrique et coordonnées
3. Valeurs remarquables de sinus cosinus
4. Symétries signes et propriétés
5. Graphes et modèles périodiques
6. Identité fondamentale et équations
7. Tangente et asymptotes

📖 1. Mesure des angles et radians

★ À maîtriser

• Un tour complet mesure 360° en degrés et 2π en radians.

• Un angle droit mesure 90° en degrés et π/2 en radians.

📐 Formule — Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc de longueur $\ell = Rx$.

📌 Dans ce cours, un angle écrit sans symbole ° est exprimé en radians.

Compléments

• En mode DEG, sin(30°) = 1/2, tandis qu’en mode RAD, sin(30) ≈ −0,988 car 30 signifie alors 30 radians.

💡 Astuce mémo

Degrés : 360° par tour ; radians : 2π par tour.

📖 2. Cercle trigonométrique et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle unité auquel on associe, pour un angle x, le point M = (cos x, sin x).

📝 Points essentiels

📌 Dans M = (cos x, sin x), cos x est l’abscisse de M et sin x est son ordonnée.

• Pour les angles 0, π/2, π et 3π/2, les couples (cos x, sin x) sont respectivement (1,0), (0,1), (−1,0) et (0,−1).

💡 Astuce mémo

Un point M tourne sur le cercle unité : son abscisse est cos x et son ordonnée sin x.

📖 3. Valeurs remarquables de sinus cosinus

★ À maîtriser

• Pour x = 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les valeurs de sin x sont 0, 1/2, √2/2, √3/2 et 1.

Compléments

• La méthode 0, 1, 2, 3, 4 consiste à écrire les cinq angles, placer 0 à 4 sous ces angles, prendre les racines carrées, puis diviser par 2 pour obtenir le sinus ; le cosinus se lit de droite à gauche.

💡 Astuce mémo

Pour le sinus, √0 à √4 divisés par 2 ; pour le cosinus, la même lecture de droite à gauche.

📖 4. Symétries signes et propriétés

★ À maîtriser

📐 Formule — Le sinus et le cosinus vérifient $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $-1 \leq \cos x \leq 1$.

📐 Formule — Le sinus et le cosinus sont de période 2π : $\sin(x+2k\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2k\pi)=\cos x$, pour $k\in\mathbb{Z}$.

📐 Formule — Le sinus est impair, car $\sin(-x)=-\sin x$, tandis que le cosinus est pair, car $\cos(-x)=\cos x$.

📐 Formule — Les symétries donnent $\sin(\pi-x)=\sin x$, $\sin(\pi+x)=-\sin x$ et $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)=-\cos x$.

Compléments

📌 Sur le cercle, cos x est positif à droite et négatif à gauche, tandis que sin x est positif en haut et négatif en bas.

💡 Astuce mémo

Sinus lit la hauteur ; cosinus lit la largeur, avec des signes déterminés par le quadrant.

📖 5. Graphes et modèles périodiques

★ À maîtriser

• Le graphe du sinus répète le long de l’axe des angles l’ordonnée du point du cercle trigonométrique, tandis que le graphe du cosinus répète son abscisse.

📐 Formule — Une fonction sinusoïdale s’écrit $f(t)=A\sin(\omega t)+m$, avec une amplitude $|A|$ et une période $T=\frac{2\pi}{|\omega|}$.

Compléments

📐 Formule — Pour un système masse–ressort, $\omega=\sqrt{\frac{k}{M}}$ et $T=2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}$, avec M en kg, k en N·m⁻¹ et T en s.

💡 Astuce mémo

Le cercle fournit les coordonnées → leur répétition produit les graphes périodiques.

📖 6. Identité fondamentale et équations

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’identité fondamentale est $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

• Si cos x = 3/5 et 0 < x < π/2, alors sin² x = 16/25 et sin x = 4/5.

• 🔄 Pour résoudre sin x = a avec le cercle:

  1. Chercher l’ordonnée a
  2. Repérer les deux angles sur un tour
  3. Ajouter tous les tours possibles

• Les solutions de sin x = 1/2 sont $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$.

• Sur [0,2π[, les solutions de cos x = 1/2 sont x = π/3 ou x = 5π/3.

💡 Astuce mémo

Identifier l’angle de référence, déterminer le quadrant, puis ajouter les tours.

📖 7. Tangente et asymptotes

★ À maîtriser

📐 Formule — La tangente est le quotient $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ lorsqu’il est défini.

• Pour x = 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les valeurs de tan x sont 0, √3/3, 1, √3 et une valeur non définie.

• Les droites $x=\pi/2+k\pi$ sont les asymptotes verticales du graphe de la tangente.

Compléments

• Sur [0,π/2[, la tangente part de 0 et devient arbitrairement grande.

💡 Astuce mémo

Quand cos x s’annule, le quotient sin x/cos x devient non défini et crée une asymptote.

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs remarquables