Fiche de révision : Ensembles, fonctions et calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et appartenance
2. Opérations sur les ensembles
3. Définition et vocabulaire des fonctions
4. Représentation et extrema
5. Lecture graphique d’une fonction
6. Puissances et propriétés
7. Fractions et calculs

📖 1. Ensembles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Groupement d’objets distincts appelés ses éléments.
• Appartenance : Un élément e appartient à un ensemble E lorsque E contient e, ce qui se note e ∈ E ; sinon, e ∉ E.
• Inclusion : Un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tous les éléments de A sont aussi des éléments de B, ce qui se note A ⊂ B.
• Ensemble vide : L’ensemble vide ne comporte aucun élément et se note Ø, avec Ø = { }.

📝 Points essentiels

• L’ensemble A = {a ; b ; c ; d ; e} contient cinq éléments, donc Card(A) = 5.

💡 Astuce mémo

Appartenance : un élément dans E ; inclusion : un ensemble A dans B.

📖 2. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre d’éléments contenus dans un ensemble fini E.
• Intersection : Ensemble des éléments contenus à la fois dans A et dans B.
• Réunion : La réunion A ∪ B est l’ensemble des éléments contenus dans A ou dans B, le « ou » étant inclusif et comprenant donc les éléments communs.
• Différence d’ensembles : La différence A \ B est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

📝 Points essentiels

• Pour A = {a ; b ; c ; d ; e} et V l’ensemble des voyelles, A ∩ V = {a ; e}, A ∪ V = {a ; b ; c ; d ; e ; i ; o ; u ; y}, A \ V = {b ; c ; d} et A \ {e ; b} = {a ; c ; d}.

💡 Astuce mémo

Deux cercles de Venn qui se recouvrent : le chevauchement est l’intersection.

📖 3. Définition et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Objet mathématique qui représente l’évolution conjointe de deux grandeurs en modélisant une grandeur y en fonction d’une grandeur x.
• Image : Pour une fonction f définie sur D et un nombre x ∈ D, f(x) est l’image de x par f.
• Antécédent : Pour une fonction f définie sur D et un nombre x ∈ D, x est un antécédent de f(x) par f.

★ À maîtriser

📌 Pour définir correctement une fonction, il faut donner son domaine de définition et la relation qui lie x et y, aussi notée f(x).

Compléments

• Pour f définie sur [2 ; 5] par f(x) = x² − 1, 8 est l’image de 3 et 3 est un antécédent de 8, car f(3) = 3² − 1 = 8.

💡 Astuce mémo

Domaine + relation x-y → fonction correctement définie.

📖 4. Représentation et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Une fonction admet un maximum en x₀ lorsque ses variations passent de croissantes à décroissantes en x₀, et sa valeur est f(x₀).
• Minimum : Une fonction admet un minimum en x₀ lorsque ses variations passent de décroissantes à croissantes en x₀, et sa valeur est f(x₀).

📝 Points essentiels

📌 Un point M appartient à la courbe C_f d’une fonction f si et seulement si son ordonnée vérifie y_M = f(x_M).

📌 Un maximum ou un minimum est un extremum, qui est global si la valeur domine ou est inférieure à toutes les valeurs de l’intervalle, et local si cette condition globale n’est pas remplie.

💡 Astuce mémo

Maximum : croissante puis décroissante ; minimum : décroissante puis croissante.

📖 5. Lecture graphique d’une fonction

★ À maîtriser

• La fonction h admet un maximum local non global en 1,5, dont la valeur est environ 1,2.

• Le minimum global de h vaut −2 et est atteint en x = −2, tandis que la fonction possède aussi deux minima locaux.

Compléments

• La fonction h est définie sur [-4 ; 3] et possède des valeurs négatives sur [-4 ; 0] ainsi que des valeurs positives sur [0 ; 3].

• Pour lire une courbe, on peut déterminer successivement son signe, ses extrema, ses zéros, ses variations et les images de valeurs données.

💡 Astuce mémo

Signe, extrema, zéros, variations, images : les lectures successives de la courbe.

📖 6. Puissances et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre réel a et un entier positif n, la puissance a^n est le produit de n facteurs égaux à a, soit $a^n = a \times \cdots \times a$.

★ À maîtriser

📌 Par convention, $a^0 = 1$ pour toute valeur de a, y compris $0^0 = 1$, et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour des réels a et b et des entiers relatifs m et n, $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ et $a^m \times b^m = (ab)^m$.

Compléments

📌 Une somme de puissances d’un même nombre ne se simplifie pas comme un produit, par exemple $x^5(x^2+x^6)=x^7+x^{11}$.

💡 Astuce mémo

M-D-P : multiplier additionne les exposants, diviser les soustrait, puissance multiplie.

📖 7. Fractions et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction simplifiée : Fraction dont le numérateur a et le dénominateur b sont premiers entre eux.
• Inverse : L’inverse d’un nombre réel non nul x est 1/x ; si x = a/b, son inverse est b/a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=bc$ et $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

• Pour additionner ou soustraire deux fractions, on choisit le PPCM des dénominateurs, on transforme les fractions par produits en croix, puis on additionne ou soustrait les numérateurs.

Compléments

📌 Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse, par exemple $\frac{2}{7}\div\frac{4}{3}=\frac{2}{7}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{14}$.

💡 Astuce mémo

Additionner : PPCM, produits en croix, calcul des numérateurs.