Fiche de révision : Repérage et cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et bases locales
2. Transformations de coordonnées
3. Dérivation des bases mobiles
4. Vitesse et accélération
5. Repères et composition des mouvements
6. Vitesses et accélérations composées
7. Applications de la composition

📖 1. Coordonnées et bases locales

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Repérage d’un point par trois longueurs orientées dans une base orthonormée directe fixe.
• Coordonnées cylindriques : Repérage d’un point par un angle $\varphi$ et deux longueurs $\rho$ et z.
• Coordonnées sphériques : Repérage d’un point par une longueur r et deux angles $\varphi$ et $\theta$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans la base cartésienne, $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ et $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

💡 Astuce mémo

Base cartésienne fixe, bases cylindrique et sphérique mobiles

📖 2. Transformations de coordonnées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques vérifie $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ et $z=z$, tandis que $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\varphi=\arctan(y/x)$.

📐 Formule — Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques vérifie $\rho=r\sin\theta$, $z=r\cos\theta$ et $r=\sqrt{\rho^2+z^2}$.

📐 Formule — Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques vérifie $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$ et $z=r\cos\theta$.

💡 Astuce mémo

Cartésien → cylindrique → sphérique

📖 3. Dérivation des bases mobiles

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, $d\vec e_\rho=d\varphi\,\vec e_\varphi$ et $d\vec e_\varphi=-d\varphi\,\vec e_\rho$.

📌 La base cartésienne est globale et fixe, alors que les bases cylindrique et sphérique sont locales et leurs vecteurs changent lorsque les angles varient.

Compléments

📐 Formule — En coordonnées sphériques, $d\vec e_r=d\theta\,\vec e_\theta+\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$ et $d\vec e_\theta=-d\theta\,\vec e_r+\cos\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$.

💡 Astuce mémo

Variation angulaire → rotation des vecteurs de base

📖 4. Vitesse et accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Étude du mouvement indépendamment des causes qui le produisent.
• Référentiel : Solide de référence auquel sont associés un repère d’espace et un repère de temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse d’un point M dans un référentiel R est $\vec v(M)(R)=\left(\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right)_R$ et son accélération est $\vec a(M)(R)=\left(\frac{d\vec v(M)(R)}{dt}\right)_R$.

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, $\vec v=\dot x\vec e_x+\dot y\vec e_y+\dot z\vec e_z$ et $\vec a=\ddot x\vec e_x+\ddot y\vec e_y+\ddot z\vec e_z$.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, $\vec v=\dot\rho\vec e_\rho+\rho\dot\varphi\vec e_\varphi+\dot z\vec e_z$ et $\vec a=(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\vec e_\rho+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\vec e_\varphi+\ddot z\vec e_z$.

Compléments

📐 Formule — Dans la base de Frenet, $\vec a=\dot v\vec e_t+\frac{v^2}{R_c}\vec e_n$, avec une composante tangentielle et une composante normale.

💡 Astuce mémo

Position décrit où, vitesse comment, accélération comment cela change

📖 5. Repères et composition des mouvements

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée relative : La dérivée d’un vecteur dépend du référentiel d’observation lorsque les bases des référentiels ne sont pas identiques.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un référentiel R en rotation par rapport à $R_0$, la dérivée d’un vecteur vérifie $\left(\frac{d\vec U}{dt}\right)_{R_0}=\left(\frac{d\vec U}{dt}\right)_R+\vec\Omega(R/R_0)\wedge\vec U$.

Compléments

📐 Formule — La vitesse angulaire de deux rotations simultanées se compose selon $\vec\Omega(R^*/R_0)=\vec\Omega(R^*/R)+\vec\Omega(R/R_0)$.

💡 Astuce mémo

Translation ou rotation du repère → dérivées relatives et absolues différentes

📖 6. Vitesses et accélérations composées

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse absolue d’un point est la somme de sa vitesse relative et de sa vitesse d’entraînement : $\vec V(M)(R_0)=\vec V(M)(R)+\vec V_e$, avec $\vec V_e=\vec V(O)(R_0)+\vec\Omega(R/R_0)\wedge\overrightarrow{OM}$.

📐 Formule — L’accélération absolue vérifie $\vec a(M)(R_0)=\vec a(M)(R)+\vec a_e+\vec a_c$, où $\vec a_c=2\vec\Omega(R/R_0)\wedge\vec V(M)(R)$ est l’accélération complémentaire ou de Coriolis.

Compléments

📐 Formule — L’accélération d’entraînement vaut $\vec a_e=\vec a(O)(R_0)+\left(\frac{d\vec\Omega(R/R_0)}{dt}\right)_{R_0}\wedge\overrightarrow{OM}+\vec\Omega(R/R_0)\wedge(\vec\Omega(R/R_0)\wedge\overrightarrow{OM})$.

💡 Astuce mémo

Absolue = relative + entraînement ; accélération = relative + entraînement + Coriolis

📖 7. Applications de la composition

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le système bielle-biellette, la vitesse absolue est $\vec V(M)(R)=-\frac{3}{2}L\omega\sin(2\omega t)\vec e_{x1}+L\omega\left(1+\frac{3}{2}\cos(2\omega t)\right)\vec e_{y1}$.

Compléments

📐 Formule — Pour le système bielle-biellette, la vitesse relative est $\vec V(M)(R_1)=-L\omega\sin(2\omega t)\vec e_{x1}+L\omega\cos(2\omega t)\vec e_{y1}$.

• Dans le système bielle-biellette, la position du point M dans le repère tournant $R_1$ est $\overrightarrow{OM}=[L+0{,}5L\cos(2\omega t)]\vec e_{x1}+0{,}5L\sin(2\omega t)\vec e_{y1}$.