Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. PGCD et PPCM
4. Nombres premiers et factorisation

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Opération entre un entier a et un entier b non nul qui consiste à trouver deux entiers q et r tels que $a=bq+r$, avec un reste r inférieur à b.
• Divisibilité : Un entier a est divisible par un entier b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul ; a est alors un multiple de b et b est un diviseur de a.

📝 Points essentiels

• Dans la division euclidienne de 337 par 12, le quotient est 28, le reste est 1 et $337=12\times28+1$.

• Comme $42=6\times7+0$, 42 est un multiple de 6 et 6 est un diviseur de 42.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité ; reste non nul → division euclidienne complète

📖 2. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Un entier est divisible par 2 s’il est pair, par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : pair, somme, deux derniers, terminaison

📖 3. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux entiers naturels non nuls a et b, noté PGCD(a ; b).
• PPCM : Plus petit multiple commun strictement positif de deux entiers naturels a et b, noté PPCM(a ; b).

📝 Points essentiels

• Les diviseurs communs de 45 et de 60 ont pour plus grand élément 15, donc $PGCD(45;60)=15$.

• Les premiers multiples communs de 12 et de 15 commencent par 60, donc $PPCM(12;15)=60$.

💡 Astuce mémo

PGCD = plus grand diviseur commun ; PPCM = plus petit multiple commun positif

📖 4. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 peut être décomposé en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique.

Compléments

• Pour décomposer 180 en facteurs premiers, on écrit successivement $180=18\times10=2\times9\times10=2\times3\times3\times2\times5=2^2\times3^2\times5$.

💡 Astuce mémo

Décomposer 180 : 2² × 3² × 5

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM