Fiche de révision : Fonctions trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition d’un trinôme
2. Forme canonique et complétion du carré
3. Sommet et axe de symétrie
4. Variations selon le coefficient directeur
5. Lire les différentes formes
6. Déterminer un trinôme avec sa courbe

📖 1. Définition d’un trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ dont l’expression peut s’écrire f(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme, et son écriture ax² + bx + c est sa forme développée.

💡 Astuce mémo

ABC : a, b et c sont les coefficients

📖 2. Forme canonique et complétion du carré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, la forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

• 🔄 Pour obtenir la forme canonique, on:
  1. factorise par a
  2. complète le carré
  3. regroupe la constante

Compléments

• La forme canonique de f(x) = x² + 6x + 7 est f(x) = (x + 3)² − 2.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 3. Sommet et axe de symétrie

★ À maîtriser

• La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole dont le sommet est S(α ; β) et dont l’axe de symétrie a pour équation x = α.

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour f(x) = x² − 2x − 8, la forme factorisée est f(x) = (x − 4)(x + 2) et la forme canonique est f(x) = (x − 1)² − 9.

💡 Astuce mémo

Une parabole posée sur son sommet S(α ; β), avec une droite verticale x = α

📖 4. Variations selon le coefficient directeur

★ À maîtriser

📌 Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[, et elle admet un minimum β atteint en α.

Compléments

• 🔄 La preuve du minimum repose sur:
  1. (x − α)² ≥ 0
  2. a(x − α)² ≥ 0 puisque a > 0
  3. f(x) ≥ β
  4. f(α) = β

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 5. Lire les différentes formes

★ À maîtriser

📌 La forme développée ax² + bx + c permet notamment de lire f(0) = c, la forme factorisée permet de trouver les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses, et la forme canonique permet de déterminer le sommet et les variations.

Compléments

• Pour f(x) = x² − 2x − 8, la forme factorisée f(x) = (x − 4)(x + 2) donne les abscisses 4 et −2 des intersections avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Développée : ordonnée à l’origine ; factorisée : intersections ; canonique : sommet

📖 6. Déterminer un trinôme avec sa courbe

★ À maîtriser

• Pour déterminer un trinôme à partir de son sommet S(α ; β) et d’un point connu de sa courbe, on écrit f(x) = a(x − α)² + β, puis on utilise les coordonnées du point pour calculer a.

Compléments

• Si la courbe a pour sommet S(2 ; 5) et passe par A(0 ; 2), alors f(x) = a(x − 2)² + 5 et l’utilisation de f(0) = 2 donne a = −3/4.

💡 Astuce mémo

Sommet → forme canonique → point connu → coefficient a

📊 Tableaux de synthèse

Rôle des formes d’un trinôme