QCM : Fonctions trinômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’un trinôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les coefficients aa, bb et cc appartiennent à l’ensemble des réels.
Une fonction de degré inférieur possède nécessairement un coefficient a≠0a\neq0 dans cette écriture.
Une fonction polynôme de degré 2 peut avoir a=0a=0 lorsque b≠0b\neq0.
Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur l’ensemble des réels positifs.
Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0.

Les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ appartiennent à l’ensemble des réels. · Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\neq0$$.

Explication

Les coefficients aa, bb et cc sont réels. Une fonction de degré inférieur à 2 n’exige pas un coefficient bb non nul. Pour une fonction polynôme de degré 2, le coefficient aa doit être non nul ; s’il vaut zéro, le degré devient inférieur à 2. Cette fonction est définie sur R\mathbb{R}, et non sur le seul ensemble des réels positifs. Son écriture est f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la définition d’un trinôme, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le terme « trinôme » désigne une fonction polynôme de degré inférieur à 2.
Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme.
L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée du trinôme.
La forme factorisée et la forme canonique désignent la même écriture.
L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c constitue la forme canonique d’une fonction trinôme.

Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme. · L’écriture $$ax^2+bx+c$$ est la forme développée du trinôme.

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée fonction trinôme. L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est sa forme développée. La forme factorisée et la forme canonique correspondent à des écritures distinctes de la forme développée.

3. Concernant la forme canonique d’un trinôme, quelles sont les réponses exactes au sujet de f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

La valeur β\beta correspond à l’abscisse du sommet.
La quantité α\alpha représente l’ordonnée du sommet de la parabole.
On obtient β\beta en évaluant la fonction en β\beta.
La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec a≠0a\neq0.
On calcule α\alpha par la formule α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

La forme canonique s’écrit $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$ avec $$a\neq0$$. · On calcule $$\alpha$$ par la formule $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha). Ainsi, α\alpha est une abscisse et β\beta une ordonnée ; l’évaluation correcte est f(α)f(\alpha).

4. Pour transformer un trinôme en forme canonique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La constante est regroupée après la complétion du carré.
La première étape consiste à factoriser l’expression par le coefficient aa.
La constante est regroupée avant toute factorisation par aa.
Une factorisation incorrecte modifie nécessairement la forme canonique sans modifier la fonction.
La complétion du carré permet de conserver la même fonction représentée.

La constante est regroupée après la complétion du carré. · La première étape consiste à factoriser l’expression par le coefficient $$a$$. · La complétion du carré permet de conserver la même fonction représentée.

Explication

La méthode consiste à factoriser d’abord par aa, puis à compléter le carré et enfin à regrouper la constante. La complétion du carré réalise une transformation algébrique équivalente, tandis qu’une factorisation incorrecte peut modifier la fonction.

5. À propos du sommet et de l’axe de symétrie d’une parabole, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α ; β)S(\alpha\,;\,\beta).
L’axe de symétrie possède pour équation y=αy=\alpha.
La courbe représentative d’un trinôme est une droite passant par son sommet.
Le sommet est représenté par la droite d’équation x=αx=\alpha.
L’axe de symétrie est le point de coordonnées S(α ; β)S(\alpha\,;\,\beta).

Le sommet de la parabole a pour coordonnées $$S(\alpha\,;\,\beta)$$.

Explication

La courbe d’un trinôme est une parabole dont le sommet est le point S(α ; β)S(\alpha\,;\,\beta). Son axe de symétrie est la droite d’équation x=αx=\alpha, et non un point, une droite horizontale ou une droite représentant la courbe.

6. Pour une fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La valeur β\beta désigne une ordonnée dans les coordonnées du sommet.
L’ordonnée du sommet est calculée par β=f(α)\beta=f(\alpha).
La valeur α\alpha désigne une abscisse dans les coordonnées du sommet.
La valeur α\alpha correspond à l’ordonnée et β\beta à l’abscisse du sommet.
L’abscisse du sommet est donnée par α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

La valeur $$\beta$$ désigne une ordonnée dans les coordonnées du sommet. · L’ordonnée du sommet est calculée par $$\beta=f(\alpha)$$. · La valeur $$\alpha$$ désigne une abscisse dans les coordonnées du sommet. · L’abscisse du sommet est donnée par $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Pour un trinôme, α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} est l’abscisse du sommet et β=f(α)\beta=f(\alpha) son ordonnée. La dernière association inverse ces deux rôles : α\alpha n’est pas une ordonnée et β\beta n’est pas une abscisse.

7. Concernant les variations d’une fonction du second degré selon le signe de son coefficient directeur, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour a>0a>0, la fonction est croissante sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha].
Lorsque a>0a>0, la fonction décroît jusqu’à α\alpha puis croît ensuite.
Pour a>0a>0, la fonction atteint un maximum en x=αx=\alpha.
Lorsque a>0a>0, la fonction admet un minimum égal à β\beta.
Lorsque a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut.

Lorsque $$a>0$$, la fonction décroît jusqu’à $$\alpha$$ puis croît ensuite. · Lorsque $$a>0$$, la fonction admet un minimum égal à $$\beta$$. · Lorsque $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut.

Explication

Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et la fonction décroît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis croît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[. Elle atteint donc un minimum β\beta en α\alpha, et non un maximum.

8. Pour justifier le minimum d’une fonction écrite sous forme canonique avec a>0a>0, quelles propositions sont exactes ?

L’inégalité (x−α)2≥0(x-\alpha)^2\geq 0 intervient dans la démonstration.
La démonstration commence par établir (x−α)2≤0(x-\alpha)^2\leq 0.
La conclusion de la preuve est f(x)≤βf(x)\leq\beta pour tout réel xx.
La multiplication par a>0a>0 donne a(x−α)2≥0a(x-\alpha)^2\geq 0.
L’égalité donnant le minimum est obtenue pour x=βx=\beta.

L’inégalité $$(x-\alpha)^2\geq 0$$ intervient dans la démonstration. · La multiplication par $$a>0$$ donne $$a(x-\alpha)^2\geq 0$$.

Explication

Un carré est positif ou nul, donc (x−α)2≥0(x-\alpha)^2\geq0 puis a(x−α)2≥0a(x-\alpha)^2\geq0 lorsque a>0a>0. Ainsi f(x)=a(x−α)2+β≥βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\geq\beta, avec égalité pour x=αx=\alpha.

9. Concernant les informations lisibles dans les différentes formes d’un trinôme, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La forme développée donne directement les coordonnées du sommet de la parabole.
La forme développée permet de lire la valeur f(0)f(0) grâce au coefficient constant.
La forme canonique permet de lire directement les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses.
La forme factorisée permet de déterminer les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses.
La forme factorisée permet de connaître les variations sans calcul supplémentaire.

La forme développée permet de lire la valeur $$f(0)$$ grâce au coefficient constant. · La forme factorisée permet de déterminer les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses.

Explication

Dans la forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c, on lit f(0)=cf(0)=c. La forme factorisée donne les racines, donc les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses, tandis que la forme canonique renseigne sur le sommet et les variations.

10. Pour la fonction f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8, quelles propositions décrivent correctement l’exploitation de sa forme factorisée ?

Les nombres 44 et −2-2 sont les ordonnées des points d’intersection.
Les intersections avec l’axe des abscisses ont pour abscisses 44 et −2-2.
L’intersection avec l’axe des ordonnées a pour ordonnée 88.
La factorisation s’écrit f(x)=(x−4)(x+2)f(x)=(x-4)(x+2).
La forme factorisée s’écrit f(x)=(x−2)(x+4)f(x)=(x-2)(x+4).

Les intersections avec l’axe des abscisses ont pour abscisses $$4$$ et $$-2$$. · La factorisation s’écrit $$f(x)=(x-4)(x+2)$$.

Explication

On a f(x)=(x−4)(x+2)f(x)=(x-4)(x+2), donc les racines sont 44 et −2-2. Elles correspondent aux abscisses des intersections avec l’axe des abscisses. La forme développée donne aussi f(0)=−8f(0)=-8, donc l’intersection avec l’axe des ordonnées a pour ordonnée −8-8. La factorisation n’est pas f(x)=(x−2)(x+4)f(x)=(x-2)(x+4).

11. Pour déterminer un trinôme à partir de son sommet et d’un point de sa courbe, quelles propositions sont exactes ?

Le sommet S(α;β)S(\alpha;\beta) conduit à écrire f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
Un point connu sert à déterminer directement les coordonnées du sommet.
Le sommet suffit à déterminer la valeur numérique de aa sans autre information.
La forme utilisée à partir du sommet est f(x)=a(x+α)2−βf(x)=a(x+\alpha)^2-\beta.
Les coordonnées d’un point connu permettent de calculer le coefficient aa.

Le sommet $$S(\alpha;\beta)$$ conduit à écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$. · Les coordonnées d’un point connu permettent de calculer le coefficient $$a$$.

Explication

Le sommet impose la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta. Les coordonnées d’un point de la courbe sont ensuite remplacées dans cette expression afin de calculer aa; le sommet seul ne suffit pas.

12. Une parabole a pour sommet S(2;5)S(2;5) et passe par le point A(0;2)A(0;2). Quelles propositions sont exactes ?

Le sommet S(2;5)S(2;5) permet de conclure que a=−34a=-\frac{3}{4} sans utiliser le point AA.
Le point A(0;2)A(0;2) impose directement la forme f(x)=a(x−2)2+2f(x)=a(x-2)^2+2.
La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−2)2+5f(x)=a(x-2)^2+5.
Le coefficient obtenu avec le point AA vaut a=34a=\frac{3}{4}.
L’utilisation de f(0)=2f(0)=2 conduit à a=−34a=-\frac{3}{4}.

La forme canonique s’écrit $$f(x)=a(x-2)^2+5$$. · L’utilisation de $$f(0)=2$$ conduit à $$a=-\frac{3}{4}$$.

Explication

Le sommet S(2;5)S(2;5) donne f(x)=a(x−2)2+5f(x)=a(x-2)^2+5. Comme f(0)=2f(0)=2, on obtient 4a+5=24a+5=2, donc a=−34a=-\frac{3}{4}; le point sert à calculer aa et non à remplacer l’ordonnée du sommet.

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Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme de degré 2 ?

f(x) = ax² + bx + c avec a, b, c réels et a ≠ 0.

Comment appelle-t-on aussi une fonction polynôme de degré 2 ?

Une fonction trinôme.

Comment s'appelle la forme ax² + bx + c d'une fonction polynôme de degré 2 ?

La forme développée.

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