Fiche de révision : Fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Fonction exponentielle
2. Fonction logarithme népérien
3. Logarithmes et exponentielles de base
4. Fonctions puissances et racines
5. Équations et inéquations
6. Comparaisons de croissances

📖 1. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : L’unique fonction définie sur R telle que f′(x)=f(x) et f(0)=1.

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, e^x>0, la fonction exponentielle est strictement croissante, et ses limites sont 0 en −∞ et +∞ en +∞.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^x e^y=e^{x+y}$, $\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ et $(e^x)^n=e^{nx}$ pour tout entier n.

Compléments

• Le nombre d’Euler vérifie e ≃ 2.71828182846.

💡 Astuce mémo

Dérivée égale à la fonction → croissance stricte et positivité

📖 2. Fonction logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : L’unique fonction dérivable sur ]0,+∞[ telle que (ln x)′=1/x et ln 1=0.

📝 Points essentiels

• Le logarithme est strictement croissant sur ]0,+∞[, négatif sur ]0,1[, positif sur ]1,+∞[, et ses limites sont −∞ en 0+ et +∞ en +∞.

📐 Formule — Pour a>0, b>0 et n entier, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln a$.

📐 Formule — Pour tout réel x et tout y>0, $y=e^x\Longleftrightarrow x=\ln y$, $e^{\ln x}=x$ pour x>0 et $\ln(e^x)=x$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle sur R, logarithme sur ]0,+∞[

📖 3. Logarithmes et exponentielles de base

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour a>0 avec a≠1 et x>0, le logarithme de base a est défini par $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.

📐 Formule — Pour a>0 avec a≠1, l’exponentielle de base a est définie par $a^x=e^{x\ln a}$ et sa dérivée vaut $(a^x)'=\ln(a)a^x$.

💡 Astuce mémo

Base a → logarithme par changement de base → exponentielle ax

📖 4. Fonctions puissances et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour tout réel α, définie sur ]0,+∞[ par $x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$.
• Racine n-ième : Pour a≥0 et n≥2, la racine n-ième de a est le réel positif r tel que $r^n=a$, et pour x≥0 on a $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour x>0 et α réel, $\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$ et $\ln(x^\alpha)=\alpha\ln x$.

📐 Formule — Pour x,y>0 et a,b réels, $x^a x^b=x^{a+b}$, $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$, $\frac{x^a}{y^a}=\left(\frac{x}{y}\right)^a$, $\frac1{x^a}=x^{-a}$ et $(x^a)^b=x^{ab}$.

💡 Astuce mémo

Une puissance quelconque se construit avec exp et ln

📖 5. Équations et inéquations

★ À maîtriser

📌 Pour tous réels a et b, $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$ et $e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b$; pour a,b>0, $\ln a=\ln b\Longleftrightarrow a=b$ et $\ln a<\ln b\Longleftrightarrow a<b$.

📌 Pour résoudre une équation ax=b avec a>0, a≠1 et b>0, on obtient $x=\frac{\ln b}{\ln a}$; si 0<a<1, l’inégalité ax<b donne $x>\frac{\ln b}{\ln a}$, tandis que si a>1 elle donne $x<\frac{\ln b}{\ln a}$.

• Pour résoudre une équation contenant une exponentielle, il faut isoler l’exponentielle puis se ramener à e^X=B avec B>0, avant d’utiliser X=ln B.

Compléments

• L’équation $e^{2x}-e^x-6=0$ admet pour unique solution $x=\ln 3$ après la substitution X=e^x>0.

💡 Astuce mémo

Domaine → transformation → résolution → vérification

📖 6. Comparaisons de croissances

★ À maîtriser

• Pour tout réel α, $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^\alpha e^x=0$.

• Pour tout β>0, $\lim_{x\to0^+}x^\beta\ln x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\beta}=0$.

Compléments

• On a $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^7}=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^7e^{-x}=0$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, l’exponentielle domine les puissances, qui dominent le logarithme

📊 Tableaux de synthèse

Domaines des fonctions usuelles