Fiche de révision : Généralités mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et intervalles
2. Quantificateurs et logique
3. Calcul algébrique
4. Équations et inéquations
5. Applications et compositions
6. Propriétés générales des fonctions
7. Continuité et opérations
8. Fonctions de référence

📖 1. Ensembles et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets tous distincts appelés ses éléments.
• Nombres usuels : Les ensembles de nombres usuels vérifient les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, avec $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\setminus\{0\}$ et $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
• Intervalle : Un intervalle décrit un sous-ensemble de R au moyen de bornes incluses ou exclues, par exemple $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$.

📝 Points essentiels

• Les intervalles particuliers vérifient $]a,a[=\varnothing$, $[a,a]=\{a\}$ et $\mathbb{R}=]-\infty,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Quantificateurs et logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Les quantificateurs expriment la portée d’une proposition : $\exists$ signifie qu’au moins un élément convient, $\forall$ signifie que tout élément convient et $\exists!$ signifie qu’un unique élément convient.

★ À maîtriser

📌 L’implication $A\Rightarrow B$ signifie que A suffit pour obtenir B, tandis que l’équivalence $A\Leftrightarrow B$ signifie que A et B s’impliquent réciproquement.

Compléments

📌 Des quantificateurs de même nature peuvent être permutés, tandis que des quantificateurs de natures différentes ne peuvent pas l’être.

💡 Astuce mémo

∃ signifie au moins un, ∀ signifie tous

📖 3. Calcul algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a, et $\sqrt{a^2}=|a|$ pour tout réel a.

📝 Points essentiels

📌 Une fraction $\frac{a}{b}$ n’a un sens que si $b\ne0$, et deux fractions vérifient $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc$ lorsque b et d sont non nuls.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — Pour des bases non nulles, les puissances vérifient $a^n a^m=a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, $a^n b^n=(ab)^n$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

📖 4. Équations et inéquations

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation du premier degré $ax+b=0$ avec $a\ne0$ admet l’unique solution $x=-\frac{b}{a}$.

• Pour étudier le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ puis on distingue les cas $\Delta>0$, $\Delta=0$ et $\Delta<0$.

📌 Pour une équation fractionnaire, il faut d’abord imposer que chaque dénominateur soit non nul avant toute simplification.

Compléments

📌 Une expression $\sqrt{u(x)}$ est définie seulement lorsque u(x) est définie et vérifie $u(x)\ge0$.

💡 Astuce mémo

Domaine valide → transformation → solutions

📖 5. Applications et compositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Association à chaque élément x d’un ensemble de départ E d’un unique élément f(x) d’un ensemble d’arrivée F.
• Domaine de définition : Ensemble des réels pour lesquels son expression est définie.
• Image : L’image d’une application f:E→F est l’ensemble $\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}$, et y appartient à cette image si et seulement s’il existe x∈E tel que y=f(x).
• Composition : Pour f:E→F et g:F→G, la composée g∘f:E→G est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

💡 Astuce mémo

Départ → application → arrivée

📖 6. Propriétés générales des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : Une fonction est croissante sur I si $x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$ et décroissante si $x_1\le x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$.
• Périodicité : Une fonction est T-périodique si, pour tout x de son domaine, x+T appartient au domaine et $f(x+T)=f(x)$.
• Fonction bornée : Une fonction est bornée sur I s’il existe M≥0 tel que, pour tout x∈I, $|f(x)|\le M$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction paire vérifie $f(-x)=f(x)$ et possède une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, tandis qu’une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)$ et possède une symétrie par rapport à l’origine.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie axiale ; impaire : symétrie centrale

📖 7. Continuité et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction f est continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, et elle est continue sur son domaine si elle est continue en tout point de celui-ci.

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors λf, f+g et f×g sont continues sur I, et f/g est continue si g ne s’annule pas sur I.

Compléments

📌 La composée g∘f de deux fonctions continues f:I→J et g:J→R est continue sur I.

📖 8. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction $f(x)=ax+b$, dont le graphe est une droite de pente a passant par le point (0,b).
• Fonction inverse : La fonction inverse est définie sur R* par $f(x)=\frac{1}{x}$ et sa dérivée est $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur [0,+∞[ par $r(x)=\sqrt{x}$ et est dérivable sur ]0,+∞[ avec $r'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction puissance est $p_n(x)=x^n$ pour n∈N, et sa dérivée est $p_n'(x)=nx^{n-1}$.

📊 Tableaux de synthèse

Quantificateurs et connecteurs logiques