QCM : Généralités mathématiques — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les ensembles et les intervalles :

L’ensemble N∗\mathbb{N}^* est obtenu en retirant zéro de N\mathbb{N}.
Les entiers relatifs appartiennent à l’ensemble des rationnels.
Les rationnels appartiennent à l’ensemble des réels.
Un ensemble est une collection d’objets tous distincts appelés ses éléments.
L’ensemble R∗\mathbb{R}^* est obtenu en retirant zéro de R\mathbb{R}.

L’ensemble $$\mathbb{N}^*$$ est obtenu en retirant zéro de $$\mathbb{N}$$. · Les entiers relatifs appartiennent à l’ensemble des rationnels. · Les rationnels appartiennent à l’ensemble des réels. · Un ensemble est une collection d’objets tous distincts appelés ses éléments. · L’ensemble $$\mathbb{R}^*$$ est obtenu en retirant zéro de $$\mathbb{R}$$.

Explication

Un ensemble est formé d’objets distincts appelés éléments. Les inclusions numériques sont N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, et N∗\mathbb{N}^* et R∗\mathbb{R}^* excluent zéro.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la définition d’un intervalle, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un intervalle est défini comme une collection d’objets tous distincts.
L’écriture [a,b][a,b] contient les nombres vérifiant a≤x≤ba\le x\le b.
L’écriture [a,b][a,b] exclut la borne gauche et inclut la borne droite.
Un intervalle décrit un sous-ensemble de R\mathbb{R} au moyen de bornes.
L’écriture ]a,b[ ]a,b[\, contient les deux bornes lorsque a<ba<b.

L’écriture $$[a,b]$$ contient les nombres vérifiant $$a\le x\le b$$. · Un intervalle décrit un sous-ensemble de $$\mathbb{R}$$ au moyen de bornes.

Explication

Un intervalle est un sous-ensemble de R\mathbb{R} défini par des bornes incluses ou exclues. L’écriture [a,b][a,b] signifie que les deux bornes appartiennent à l’intervalle, tandis que ]a,b[ ]a,b[\, les exclut.

3. Les intervalles particuliers comprennent :

L’intervalle ]a,a[ ]a,a[\, contient exactement le nombre aa.
L’intervalle [a,a][a,a] est égal à l’ensemble vide.
L’ensemble R\mathbb{R} s’écrit ]−∞,+∞[ ]-\infty,+\infty[\,.
L’intervalle [a,a][a,a] contient exactement le nombre aa.
L’intervalle ]a,a[ ]a,a[\, est égal à l’ensemble vide.

L’ensemble $$\mathbb{R}$$ s’écrit $$]-\infty,+\infty[\,$$. · L’intervalle $$[a,a]$$ contient exactement le nombre $$a$$. · L’intervalle $$]a,a[\,$$ est égal à l’ensemble vide.

Explication

L’intervalle ouvert ]a,a[ ]a,a[\, est vide, alors que l’intervalle fermé [a,a][a,a] contient le seul nombre aa. Enfin, l’ensemble des réels s’écrit ]−∞,+∞[ ]-\infty,+\infty[\,.

4. Concernant les quantificateurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

∃\exists signifie qu’au moins un élément possède la propriété considérée.
∀\forall signifie que la propriété est vraie pour tout élément concerné.
∀\forall exprime l’existence d’un élément unique.
∃!\exists! signifie qu’au moins deux éléments conviennent.
∃\exists exige que la propriété soit vraie pour chaque élément.

$$\exists$$ signifie qu’au moins un élément possède la propriété considérée. · $$\forall$$ signifie que la propriété est vraie pour tout élément concerné.

Explication

Le quantificateur ∃\exists indique qu’au moins un élément convient, tandis que ∀\forall impose que la propriété soit vraie pour tout élément. Le symbole ∃!\exists! exprime l’existence d’un élément unique.

5. Quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) au sujet de l’implication et de l’équivalence ?

Une équivalence A⇔BA\Leftrightarrow B signifie que seule AA entraîne BB.
Dans A⇔BA\Leftrightarrow B, les deux propositions s’impliquent réciproquement.
Dans A⇒BA\Rightarrow B, la proposition AA suffit pour obtenir BB.
L’implication A⇒BA\Rightarrow B et l’équivalence A⇔BA\Leftrightarrow B ont la même portée logique.
Une implication A⇒BA\Rightarrow B exprime nécessairement la réciprocité avec BB.

Dans $$A\Leftrightarrow B$$, les deux propositions s’impliquent réciproquement. · Dans $$A\Rightarrow B$$, la proposition $$A$$ suffit pour obtenir $$B$$.

Explication

Une implication A⇒BA\Rightarrow B indique que AA suffit pour obtenir BB. Une équivalence A⇔BA\Leftrightarrow B ajoute la réciprocité : chacune des deux propositions implique l’autre.

6. Concernant les fractions algébriques, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Si b≠0b\ne0 et d≠0d\ne0, alors ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d} équivaut à ad=bcad=bc.
La condition d≠0d\ne0 suffit à définir la fraction ab\frac{a}{b}.
La fraction ab\frac{a}{b} est définie lorsque b=0b=0.
L’égalité ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d} équivaut à ab=cdab=cd lorsque les dénominateurs sont non nuls.
La fraction ab\frac{a}{b} est définie lorsque b≠0b\ne0.

Si $$b\ne0$$ et $$d\ne0$$, alors $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ équivaut à $$ad=bc$$. · La fraction $$\frac{a}{b}$$ est définie lorsque $$b\ne0$$.

Explication

Une fraction ab\frac{a}{b} est définie lorsque b≠0b\ne0. Pour deux dénominateurs non nuls, l’égalité ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d} équivaut à ad=bcad=bc.

7. Les identités remarquables permettent d’écrire :

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
(a−b)(a+b)=a2+b2(a-b)(a+b)=a^2+b^2.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
(a+b)2=a2−2ab+b2(a+b)^2=a^2-2ab+b^2.

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$. · $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$. · $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$.

Explication

Le carré d’une somme contient le terme +2ab+2ab, tandis que le carré d’une différence contient −2ab-2ab. Le produit des conjugués donne a2−b2a^2-b^2.

8. Concernant les règles de calcul sur les puissances, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour une base non nulle, anam=an+ma^n a^m=a^{n+m}.
Pour des bases non nulles, anbm=(ab)n+ma^n b^m=(ab)^{n+m}.
Pour des bases non nulles, anbn=(ab)na^n b^n=(ab)^n.
Pour une base non nulle, (an)m=an+m(a^n)^m=a^{n+m}.
Pour des bases non nulles, anam=an−m\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}.

Pour une base non nulle, $$a^n a^m=a^{n+m}$$. · Pour des bases non nulles, $$a^n b^n=(ab)^n$$. · Pour des bases non nulles, $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$.

Explication

Pour des bases non nulles, le produit de puissances de même base additionne les exposants et le quotient les soustrait. La puissance d’un produit et la puissance d’une puissance donnent respectivement (ab)n(ab)^n et anma^{nm}.

9. Concernant la racine carrée, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

La racine carrée de aa désigne un nombre dont le carré vaut −a-a.
La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre.
Le nombre a2a^2 peut être négatif lorsque aa est un réel négatif.
Pour tout réel aa, on a a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.
Pour tout réel aa, on a a2=a\sqrt{a^2}=a.

La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre. · Pour tout réel $$a$$, on a $$\sqrt{a^2}=|a|$$.

Explication

La racine carrée de aa, pour a≥0a\ge0, est le nombre positif dont le carré vaut aa. Ainsi, pour tout réel aa, a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| et non nécessairement aa.

10. Concernant les équations du premier degré et les trinômes, quelles sont les propositions exactes ?

Lorsque Δ=0\Delta=0, l’étude du trinôme fait partie des trois cas du discriminant.
Lorsque Δ<0\Delta<0, le trinôme possède deux racines réelles distinctes.
L’équation ax+b=0ax+b=0, avec a≠0a\ne0, possède deux solutions réelles distinctes.
Le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c vaut Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
L’équation ax+b=0ax+b=0, avec a≠0a\ne0, admet la solution x=−bax=-\frac{b}{a}.

Lorsque $$\Delta=0$$, l’étude du trinôme fait partie des trois cas du discriminant. · Le discriminant du trinôme $$ax^2+bx+c$$ vaut $$\Delta=b^2-4ac$$. · L’équation $$ax+b=0$$, avec $$a\ne0$$, admet la solution $$x=-\frac{b}{a}$$.

Explication

L’équation ax+b=0ax+b=0 possède une solution unique lorsque a≠0a\ne0, donnée par x=−bax=-\frac{b}{a}. Le discriminant d’un trinôme vaut b2−4acb^2-4ac et le cas Δ<0\Delta<0 ne fournit aucune racine réelle.

11. À propos des conditions de définition dans les équations fractionnaires et radicales :

L’expression u(x)\sqrt{u(x)} est définie dès que u(x)u(x) est une expression réelle.
La condition u(x)>0u(x)>0 suffit pour définir u(x)\sqrt{u(x)}, même si u(x)u(x) n’est pas définie.
Chaque dénominateur doit être non nul avant toute simplification d’une équation fractionnaire.
Une équation fractionnaire peut être simplifiée avant de vérifier les dénominateurs.
L’expression u(x)\sqrt{u(x)} exige que u(x)u(x) soit définie et vérifie u(x)≥0u(x)\ge0.

Chaque dénominateur doit être non nul avant toute simplification d’une équation fractionnaire. · L’expression $$\sqrt{u(x)}$$ exige que $$u(x)$$ soit définie et vérifie $$u(x)\ge0$$.

Explication

Une équation fractionnaire doit être étudiée sur les valeurs qui rendent chaque dénominateur non nul, avant toute simplification. Pour une racine carrée, le radicand doit être défini et positif ou nul.

12. Pour étudier le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le discriminant se calcule avec la formule Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
Le cas Δ=0\Delta=0 est exclu de l’étude du discriminant.
L’étude distingue les situations Δ>0\Delta>0, Δ=0\Delta=0 et Δ<0\Delta<0.
Le cas Δ>0\Delta>0 correspond à deux racines réelles distinctes.
Le cas Δ<0\Delta<0 correspond à une racine réelle double.

Le discriminant se calcule avec la formule $$\Delta=b^2-4ac$$. · L’étude distingue les situations $$\Delta>0$$, $$\Delta=0$$ et $$\Delta<0$$. · Le cas $$\Delta>0$$ correspond à deux racines réelles distinctes.

Explication

Pour étudier un trinôme avec a≠0a\ne0, on calcule d’abord Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis on distingue les signes positif, nul et négatif. Le signe négatif correspond à l’absence de racines réelles.

13. Concernant les applications, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un élément du domaine peut posséder plusieurs images dans une application.
Le domaine de définition regroupe les valeurs obtenues par la fonction.
L’image d’une application regroupe les valeurs f(x)f(x) obtenues pour xx dans le domaine.
L’ensemble d’arrivée et l’ensemble de départ désignent nécessairement le même ensemble.
Une application associe à chaque élément de l’ensemble de départ un unique élément d’arrivée.

L’image d’une application regroupe les valeurs $$f(x)$$ obtenues pour $$x$$ dans le domaine. · Une application associe à chaque élément de l’ensemble de départ un unique élément d’arrivée.

Explication

Une application associe à chaque élément du départ un unique élément de l’arrivée. Le domaine regroupe les réels où l’expression est définie, tandis que l’image regroupe les valeurs obtenues.

14. À propos du domaine de définition et de l’image d’une fonction, quelles sont les propositions exactes ?

L’image regroupe les valeurs f(x)f(x) associées aux éléments du domaine.
L’image d’une fonction contient les antécédents autorisés par son expression.
Un réel appartient au domaine dès que cette valeur est atteinte par la fonction.
Le domaine de définition est constitué des valeurs obtenues par la fonction.
Le domaine de définition contient les réels pour lesquels l’expression est définie.

L’image regroupe les valeurs $$f(x)$$ associées aux éléments du domaine. · Le domaine de définition contient les réels pour lesquels l’expression est définie.

Explication

Le domaine de définition est l’ensemble des réels pour lesquels l’expression est définie. L’image est constituée des valeurs obtenues, et non des antécédents autorisés.

15. Concernant l’image d’une application f:E→Ff:E\to F, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’image est formée des valeurs xx utilisées comme antécédents.
Un élément yy appartient à l’image s’il existe x∈Ex\in E tel que y=f(x)y=f(x).
Tout élément de l’ensemble d’arrivée appartient nécessairement à l’image.
L’image rassemble les éléments de l’ensemble de départ autorisés.
On écrit Im⁡(f)={f(x)∣x∈E}\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}.

Un élément $$y$$ appartient à l’image s’il existe $$x\in E$$ tel que $$y=f(x)$$. · On écrit $$\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}$$.

Explication

L’image est l’ensemble des valeurs f(x)f(x) obtenues lorsque xx parcourt l’ensemble de départ. Un élément yy appartient à cette image s’il existe un antécédent xx tel que y=f(x)y=f(x).

16. Les propriétés de la composée de deux applications comprennent :

Pour f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, la composée g∘fg\circ f va de EE vers GG.
La composée g∘fg\circ f est définie par g(f(x))g(f(x)).
La composée g∘fg\circ f associe les éléments de FF directement aux éléments de EE.
La valeur (g∘f)(x) (g\circ f)(x) se calcule par f(g(x))f(g(x)).
La fonction ff est appliquée avant la fonction gg dans g∘fg\circ f.

Pour $$f:E\to F$$ et $$g:F\to G$$, la composée $$g\circ f$$ va de $$E$$ vers $$G$$. · La composée $$g\circ f$$ est définie par $$g(f(x))$$. · La fonction $$f$$ est appliquée avant la fonction $$g$$ dans $$g\circ f$$.

Explication

Si f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G, la composée va de EE vers GG et s’évalue en appliquant d’abord ff, puis gg. Ainsi, (g∘f)(x)=g(f(x)) (g\circ f)(x)=g(f(x)).

17. À propos de la parité et de la périodicité des fonctions, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une fonction T-périodique vérifie f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) pour tout xx de son domaine.
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
Une fonction impaire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
La courbe d’une fonction impaire possède une symétrie par rapport à l’origine.

Une fonction T-périodique vérifie $$f(x+T)=f(x)$$ pour tout $$x$$ de son domaine. · La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. · Une fonction paire vérifie $$f(-x)=f(x)$$. · La courbe d’une fonction impaire possède une symétrie par rapport à l’origine.

Explication

Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) et possède une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) et possède une symétrie par rapport à l’origine.

18. Concernant les propriétés générales des fonctions, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une fonction décroissante vérifie des valeurs toujours positives sur son intervalle.
Une fonction T-périodique présente une répétition après un décalage de TT.
La condition de fonction bornée doit être satisfaite pour tout x∈Ix\in I.
Une fonction bornée sur II vérifie ∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M pour un certain M≥0M\ge0.
Une fonction croissante vérifie f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2) dès que x1≤x2x_1\le x_2.

Une fonction T-périodique présente une répétition après un décalage de $$T$$. · La condition de fonction bornée doit être satisfaite pour tout $$x\in I$$. · Une fonction bornée sur $$I$$ vérifie $$|f(x)|\le M$$ pour un certain $$M\ge0$$.

Explication

Une fonction est bornée sur II s’il existe un réel M≥0M\ge0 tel que ∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M pour tout x∈Ix\in I. La croissance et la décroissance décrivent l’ordre des valeurs, tandis que la périodicité décrit leur répétition.

19. Concernant la continuité et les opérations sur les fonctions :

Le quotient de deux fonctions continues est continu lorsque le dénominateur ne s’annule pas.
Une fonction continue en un point possède une limite égale à sa valeur en ce point.
La somme de deux fonctions continues est continue sur leur intervalle commun.
Le produit de deux fonctions continues exige que chaque fonction soit non nulle.
L’existence d’une limite en un point suffit à assurer la continuité de la fonction.

Le quotient de deux fonctions continues est continu lorsque le dénominateur ne s’annule pas. · Une fonction continue en un point possède une limite égale à sa valeur en ce point. · La somme de deux fonctions continues est continue sur leur intervalle commun.

Explication

La continuité en un point impose que la limite existe et soit égale à la valeur de la fonction. Pour les opérations, le quotient requiert que le dénominateur ne s’annule pas, contrairement à la somme et au produit.

20. Parmi les propositions suivantes concernant les opérations et la composition de fonctions continues, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le quotient f/gf/g est continu sur II lorsque gg s’annule en un point de cet intervalle.
La somme f+gf+g est continue sur II lorsque ff et gg y sont continues.
La composée g∘fg\circ f est continue sur II si f:I→Jf:I\to J et g:J→Rg:J\to\mathbb{R} sont continues.
La fonction λf\lambda f est continue sur II lorsque ff y est continue.
Le produit f×gf\times g est continu sur II lorsque ff et gg y sont continues.

La somme $$f+g$$ est continue sur $$I$$ lorsque $$f$$ et $$g$$ y sont continues. · La composée $$g\circ f$$ est continue sur $$I$$ si $$f:I\to J$$ et $$g:J\to\mathbb{R}$$ sont continues. · La fonction $$\lambda f$$ est continue sur $$I$$ lorsque $$f$$ y est continue. · Le produit $$f\times g$$ est continu sur $$I$$ lorsque $$f$$ et $$g$$ y sont continues.

Explication

La composée de fonctions continues est continue lorsque les domaines s’enchaînent correctement, avec une fonction définie de II vers JJ et l’autre de JJ vers R\mathbb{R}. La multiplication par une constante et la somme préservent aussi la continuité, tandis que le quotient dépend de la non-annulation du dénominateur.

21. À propos des fonctions affines, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
Le coefficient aa correspond à l’ordonnée à l’origine de la droite.
Le coefficient bb détermine la pente de la droite représentative.
Le coefficient aa représente la pente de la droite représentative.
Le graphe d’une fonction affine est une droite passant par (0,b)\left(0,b\right).

Une fonction affine s’écrit sous la forme $$f(x)=ax+b$$. · Le coefficient $$a$$ représente la pente de la droite représentative. · Le graphe d’une fonction affine est une droite passant par $$\left(0,b\right)$$.

Explication

Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+bf(x)=ax+b et son graphe est une droite. Le coefficient aa représente la pente, tandis que bb est l’ordonnée à l’origine correspondant au point (0,b)\left(0,b\right).

22. Les caractéristiques de la fonction puissance comprennent :

La fonction puissance est définie sur R∗\mathbb{R}^* comme la fonction inverse.
Sa dérivée s’écrit pn′(x)=nxn−1p_n'(x)=nx^{n-1}.
La fonction puissance est définie sur R\mathbb{R}.
La fonction puissance s’écrit pn(x)=xnp_n(x)=x^n pour n∈Nn\in\mathbb{N}.
La fonction puissance s’écrit pn(x)=1xnp_n(x)=\frac{1}{x^n} pour n∈Nn\in\mathbb{N}.

Sa dérivée s’écrit $$p_n'(x)=nx^{n-1}$$. · La fonction puissance est définie sur $$\mathbb{R}$$. · La fonction puissance s’écrit $$p_n(x)=x^n$$ pour $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

La fonction puissance est définie par pn(x)=xnp_n(x)=x^n pour n∈Nn\in\mathbb{N} et sa dérivée vaut nxn−1nx^{n-1}. La fonction inverse ne correspond pas à cette définition et son domaine exclut zéro.

23. Au sujet de la fonction racine carrée :

Elle est dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ , y compris en zéro.
Sa dérivée vaut r′(x)=12xr'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0,+∞[]0,+\infty[ .
Elle est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ , sans inclure zéro.
Elle est définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ par r(x)=xr(x)=\sqrt{x}.
Elle est dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ .

Sa dérivée vaut $$r'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ sur $$]0,+\infty[ $$. · Elle est définie sur $$[0,+\infty[ $$ par $$r(x)=\sqrt{x}$$. · Elle est dérivable sur $$]0,+\infty[ $$.

Explication

La racine carrée est définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ et dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ , avec la dérivée 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}. Le point zéro appartient au domaine de définition mais pas à l’intervalle de dérivabilité.

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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’objets tous distincts appelés ses éléments.

Quelle inclusion relie les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R} ?

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Que représente N∗\mathbb{N}^* dans les nombres usuels ?

N∗\mathbb{N}^* est N\mathbb{N} privé de zéro.

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