Flashcards : Généralités mathématiques — 51 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Réponse

Une collection d’objets tous distincts appelés ses éléments.

2Question

Quelle inclusion relie les ensembles $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ?

Réponse

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

3Question

Que représente $\mathbb{N}^*$ dans les nombres usuels ?

Réponse

$\mathbb{N}^*$ est $\mathbb{N}$ privé de zéro.

4Question

Comment définit-on un intervalle $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ ?

Réponse

$[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ .

5Question

Que vaut l'intervalle $]a,a[$ ?

Réponse

L'intervalle $]a,a[$ est vide.

6Question

Que contient l'intervalle $[a,a]$ ?

Réponse

L'intervalle $[a,a]$ contient uniquement $a$ .

7Question

Comment s'exprime $\mathbb{R}$ comme intervalle ?

Réponse

$\mathbb{R} = ]-\infty,+\infty[$ .

8Question

Que signifie le quantificateur $\exists$ en logique ?

Réponse

Il signifie qu'au moins un élément convient.

9Question

Que signifie le quantificateur $\forall$ en logique ?

Réponse

Il signifie que tout élément convient.

10Question

Peut-on permuter des quantificateurs de même nature ?

Réponse

Oui, ils peuvent être permutés.

11Question

Peut-on permuter des quantificateurs de natures différentes ?

Réponse

Non, ils ne peuvent pas être permutés.

12Question

Que signifie l'implication $A\Rightarrow B$ ?

Réponse

A suffit pour obtenir B.

13Question

Que signifie l'équivalence $A\Leftrightarrow B$ ?

Réponse

A et B s'impliquent réciproquement.

14Question

Quelle condition doit vérifier le dénominateur d'une fraction $\frac{a}{b}$ ?

Réponse

Le dénominateur $b$ doit être différent de zéro.

15Question

Quelle équivalence caractérise l'égalité de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ ?

Réponse

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc$ lorsque $b$ et $d$ sont non nuls.

16Question

Quelle est la formule de l'identité remarquable pour $(a-b)(a+b)$ ?

Réponse

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

17Question

Quelle est la formule de l'identité remarquable pour $(a+b)^2$ ?

Réponse

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

18Question

Quelle règle de puissance exprime $a^n a^m$ ?

Réponse

$a^n a^m = a^{n+m}$ pour $a \neq 0$ .

19Question

Quelle est la définition de la racine carrée d'un nombre positif $a$ ?

Réponse

C'est le nombre positif dont le carré vaut $a$ .

20Question

Quelle est la valeur de $\sqrt{a^2}$ pour tout réel $a$ ?

Réponse

$\sqrt{a^2} = |a|$ .

21Question

Quelle est la solution unique de l'équation $ax+b=0$ avec $a\ne0$ ?

Réponse

La solution est $x=-\frac{b}{a}$ .

22Question

Quelle quantité calcule-t-on pour étudier le trinôme $ax^2+bx+c$ ?

Réponse

On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ .

23Question

Quels cas distingue-t-on selon la valeur du discriminant $\Delta$ ?

Réponse

On distingue $\Delta>0$ , $\Delta=0$ et $\Delta<0$ .

24Question

Que faut-il imposer avant de simplifier une équation fractionnaire ?

Réponse

Il faut que chaque dénominateur soit non nul.

25Question

Quand une expression $\sqrt{u(x)}$ est-elle définie ?

Réponse

Elle est définie si $u(x)$ est définie et $u(x)\ge0$ .

26Question

Qu'est-ce qu'une application entre deux ensembles E et F ?

Réponse

Une application associe à chaque élément de E un unique élément de F.

27Question

Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction ?

Réponse

C'est l'ensemble des réels pour lesquels son expression est définie.

28Question

Comment se définit l'image d'une application f:E→F ?

Réponse

L'image est l'ensemble des valeurs f(x) pour x dans E.

29Question

Quand un élément y appartient-il à l'image d'une application f ?

Réponse

Si et seulement s'il existe x dans E tel que y = f(x).

30Question

Comment se définit la composée g∘f de deux applications f:E→F et g:F→G ?

Réponse

Par (g∘f)(x) = g(f(x)) pour tout x dans E.

31Question

Qu'impose la monotonie croissante d'une fonction sur I ?

Réponse

Pour $x_1 \le x_2$ , $f(x_1) \le f(x_2)$ .

32Question

Qu'impose la monotonie décroissante d'une fonction sur I ?

Réponse

Pour $x_1 \le x_2$ , $f(x_1) \ge f(x_2)$ .

33Question

Quelle relation caractérise une fonction paire ?

Réponse

$f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ .

34Question

Quelle symétrie possède une fonction paire ?

Réponse

Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

35Question

Quelle relation caractérise une fonction impaire ?

Réponse

$f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ .

36Question

Quelle symétrie possède une fonction impaire ?

Réponse

Une symétrie par rapport à l’origine.

37Question

Qu'impose la périodicité T d'une fonction ?

Réponse

Pour tout $x$ , $f(x+T) = f(x)$ et $x+T$ est dans le domaine.

38Question

Quand une fonction est-elle bornée sur un intervalle I ?

Réponse

S'il existe $M \ge 0$ tel que $|f(x)| \le M$ pour tout $x \in I$ .

39Question

Quelle est la condition de continuité d'une fonction f en un point a ?

Réponse

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

40Question

Quand une fonction est-elle continue sur son domaine ?

Réponse

Quand elle est continue en tout point de ce domaine.

41Question

Quelles opérations préservent la continuité sur un intervalle I ?

Réponse

La multiplication par λ, la somme et le produit de fonctions continues.

42Question

Sous quelle condition le quotient f/g est-il continu sur un intervalle I ?

Réponse

Si g ne s'annule pas sur I.

43Question

Quelle propriété a la composée g∘f si f et g sont continues ?

Réponse

Elle est continue sur l'intervalle de définition de f.

44Question

Qu'est-ce qu'une fonction affine ?

Réponse

Une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ .

45Question

Quelle est la formule de la fonction puissance $p_n$ ?

Réponse

$p_n(x)=x^n$ pour $n \,\in\, \mathbb{N}$ .

46Question

Quelle est la dérivée de la fonction puissance $p_n$ ?

Réponse

$p_n'(x)=nx^{n-1}$ .

47Question

Comment est définie la fonction inverse ?

Réponse

Par $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

48Question

Quelle est la dérivée de la fonction inverse ?

Réponse

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ .

49Question

Sur quel intervalle est définie la fonction racine carrée ?

Réponse

Sur $$[0,+\infty[\,$.

50Question

Quelle est la formule de la fonction racine carrée ?

Réponse

$r(x)=\sqrt{x}$ .

51Question

Quelle est la dérivée de la fonction racine carrée sur $]0,+\infty[$ ?

Réponse

$r'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 23 questions sur Généralités mathématiques.

1. Concernant les ensembles et les intervalles :

2. Parmi les propositions suivantes concernant la définition d’un intervalle, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Faire le QCM →

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