QCM : Fondements et propriétés des espaces vectoriels — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’exige la structure d’un espace vectoriel sur un corps K pour la multiplication par les scalaires ?

Une loi interne sur E uniquement, sans intervention de K
Une application E×E→E distributive sur les vecteurs
Une application K×E→E compatible avec l’addition et l’élément neutre
Une opération définie seulement pour les vecteurs non nuls

Une application K×E→E compatible avec l’addition et l’élément neutre

Explication

La multiplication par un scalaire est une loi externe K×E→E, compatible avec l’addition et les axiomes usuels. Ce n’est pas une loi interne sur E seule.

2. Dans un espace vectoriel, que vaut l’opposé d’un vecteur x ?

Le vecteur obtenu en multipliant x par 0
Le vecteur nul uniquement si x est nul
Le vecteur qui annule x seulement dans certains cas
Le vecteur obtenu en multipliant x par −1

Le vecteur obtenu en multipliant x par −1

Explication

L’opposé de x est donné par (−1)·x. Cette relation vaut pour tout vecteur d’un espace vectoriel.

3. Comment sont définies l’addition et la multiplication scalaire dans un produit E1×…×En de K-espaces vectoriels ?

En mélangeant les coordonnées par permutation
Par addition globale des composantes seulement
Coordonnée par coordonnée
En appliquant les opérations uniquement à la première coordonnée

Coordonnée par coordonnée

Explication

Dans un produit d’espaces vectoriels, les opérations se font coordonnée par coordonnée. C’est ce qui permet de conserver la structure d’espace vectoriel.

4. Que signifie la restriction des scalaires d’un L-espace vectoriel à un sous-corps K ?

On supprime la multiplication scalaire
On garde les mêmes vecteurs en n’autorisant que les scalaires de K
On transforme l’espace en anneau
On remplace les vecteurs par des scalaires

On garde les mêmes vecteurs en n’autorisant que les scalaires de K

Explication

La restriction des scalaires consiste à considérer le même ensemble avec seulement les scalaires appartenant à K. Les opérations restent valables, mais pour un corps plus petit.

5. Quel critère caractérise un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel ?

Être non vide et fermé pour l’addition seulement
Contenir le vecteur nul et être stable par combinaison linéaire
Être stable uniquement par multiplication scalaire
Contenir une base de l’espace ambient

Contenir le vecteur nul et être stable par combinaison linéaire

Explication

Un sous-espace vectoriel contient 0 et reste stable par combinaison linéaire. Cela suffit pour hériter de la structure vectorielle.

6. Pourquoi l’ensemble des solutions d’un système linéaire non homogène AX=B n’est-il pas en général un sous-espace vectoriel ?

Parce qu’il est forcément égal à l’espace entier
Parce qu’il ne contient pas forcément le vecteur nul
Parce qu’il n’est pas stable par multiplication scalaire
Parce qu’il est toujours vide

Parce qu’il ne contient pas forcément le vecteur nul

Explication

Un système non homogène ne contient pas forcément la solution nulle, donc l’ensemble des solutions n’est pas en général un sous-espace. Le cas homogène AX=0, lui, en forme un.

7. Quand deux sous-espaces affines sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils passent tous deux par l’origine
Lorsqu’ils ont le même nombre de points
Lorsqu’ils ont la même direction et un point commun
Lorsqu’ils ont des directions orthogonales

Lorsqu’ils ont la même direction et un point commun

Explication

Deux sous-espaces affines sont égaux s’ils ont la même direction et partagent au moins un point. La présence de l’origine n’est pas nécessaire.

8. Que représente Vect(X) pour une partie X d’un espace vectoriel ?

L’ensemble de tous les sous-espaces disjoints de X
L’ensemble des vecteurs orthogonaux à X
Le sous-ensemble de X formé des vecteurs non nuls
Le plus petit sous-espace vectoriel contenant X

Le plus petit sous-espace vectoriel contenant X

Explication

Vect(X) est le sous-espace engendré par X, donc l’intersection de tous les sous-espaces contenant X. C’est le plus petit sous-espace vectoriel qui contient cette partie.

9. Que désigne une combinaison linéaire de vecteurs ?

Une somme de vecteurs sans coefficients
Une opération qui conserve seulement les vecteurs de base
Une somme infinie de tous les vecteurs d’un espace
Une somme finie de vecteurs pondérés par des scalaires

Une somme finie de vecteurs pondérés par des scalaires

Explication

Une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs multipliés par des scalaires. Les coefficients peuvent être nuls, mais la somme reste finie.

10. Que peut-on dire si une famille X engendre un espace E et qu’un vecteur x de X est combinaison linéaire des autres vecteurs de X ?

La famille devient libre
On peut supprimer x sans perdre le fait d’engendrer E
La famille cesse d’être génératrice
On doit forcément ajouter un nouveau vecteur

On peut supprimer x sans perdre le fait d’engendrer E

Explication

Si un vecteur d’une famille génératrice est combinaison linéaire des autres, il est redondant. On peut donc l’enlever sans perdre la propriété de génération.

11. Que signifie qu’une famille soit génératrice d’un espace vectoriel ?

Ses vecteurs sont tous non nuls
Ses vecteurs sont deux à deux distincts
Elle contient forcément une famille libre maximale
Tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de ses éléments

Tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de ses éléments

Explication

Une famille génératrice permet d’écrire n’importe quel vecteur de l’espace comme combinaison linéaire de ses éléments. C’est la propriété centrale de génération.

12. Que se passe-t-il si une famille X engendre E et si on ajoute à X un vecteur supplémentaire ?

Elle cesse d’être génératrice
Elle ne change pas de sous-espace engendré
La famille reste génératrice
Elle devient forcément libre

La famille reste génératrice

Explication

Ajouter des vecteurs à une famille génératrice ne peut pas faire perdre la propriété de génération. Le sous-espace engendré reste E.

13. Quelle est la définition d’une famille libre ?

La seule combinaison linéaire qui donne 0 est la combinaison triviale
Un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres
Elle engendre nécessairement tout l’espace
Toute combinaison linéaire donne 0

La seule combinaison linéaire qui donne 0 est la combinaison triviale

Explication

Une famille libre n’admet aucune relation linéaire non triviale donnant le vecteur nul. Autrement dit, tous les coefficients doivent être nuls.

14. Que peut-on dire d’une sous-famille d’une famille libre ?

Elle contient nécessairement le vecteur nul
Elle est encore libre
Elle est forcément liée
Elle engendre le même espace que la famille entière

Elle est encore libre

Explication

Toute sous-famille d’une famille libre est libre. La liberté se transmet par extraction de vecteurs.

15. Quelle propriété caractérise une base d’un espace vectoriel ?

Elle est seulement génératrice
Elle contient le vecteur nul
Elle est seulement libre
Elle est à la fois libre et génératrice

Elle est à la fois libre et génératrice

Explication

Une base est exactement une famille libre et génératrice. C’est ce qui garantit l’existence et l’unicité des coordonnées.

16. Que garantit la méthode de la base incomplète dans un espace vectoriel de dimension finie ?

Toute famille génératrice est déjà une base
Toute base est unique
Toute famille libre peut être complétée en une base
Toute famille liée devient libre après ajout de vecteurs

Toute famille libre peut être complétée en une base

Explication

Le théorème de la base incomplète affirme qu’une famille libre finie peut être complétée en une base. On ajoute des vecteurs seulement tant que la liberté est conservée.

17. À quoi est égal le rang d’une famille finie de vecteurs ?

Au nombre total de ses vecteurs
À la dimension du sous-espace qu’elle engendre
Au nombre de vecteurs nuls dans la famille
À la dimension de l’espace ambiant

À la dimension du sous-espace qu’elle engendre

Explication

Le rang d’une famille finie est la dimension de son sous-espace engendré. Il est donc toujours inférieur ou égal au nombre de vecteurs de la famille.

18. Quand une famille finie de n vecteurs a-t-elle un rang égal à n ?

Seulement lorsqu’elle contient le vecteur nul
Exactement lorsqu’elle est libre
Exactement lorsqu’elle est génératrice
Seulement lorsqu’elle est dans un espace de dimension infinie

Exactement lorsqu’elle est libre

Explication

Pour une famille finie, le rang vaut n si et seulement si la famille est libre. C’est l’un des critères essentiels reliant rang et indépendance linéaire.

19. Que permet le théorème de la base extraite à partir d’une famille génératrice finie ?

De la rendre automatiquement libre sans suppression
D’obtenir une famille liée
D’en extraire une base
D’imposer l’unicité des coefficients pour toute famille

D’en extraire une base

Explication

À partir d’une famille génératrice finie, on peut en extraire une base en supprimant les vecteurs redondants. On conserve ainsi la propriété de génération tout en obtenant la liberté.

20. Dans une base incomplète, que fait-on lorsqu’un vecteur ajouté est combinaison linéaire des vecteurs déjà choisis ?

On le garde pour augmenter le rang
On remplace toute la famille par ce vecteur
On abandonne la construction de la base
On ne l’ajoute pas

On ne l’ajoute pas

Explication

Si le nouveau vecteur est déjà combinaison linéaire des vecteurs présents, l’ajouter détruirait la liberté sans apporter de nouveauté. On l’ignore donc et on poursuit.

21. Quel lien existe entre une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n et l’inversibilité de sa matrice de coordonnées ?

La famille est une base si et seulement si la matrice est inversible
La famille est libre si et seulement si la matrice est nulle
La famille est génératrice si et seulement si la matrice est triangulaire
La famille est une base seulement si la matrice est diagonale

La famille est une base si et seulement si la matrice est inversible

Explication

Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs est une base exactement quand sa matrice de coordonnées est inversible. C’est un critère pratique fondamental.

22. Que représente une colonne d’une matrice de coordonnées d’un vecteur dans une base ?

Le rang du système homogène
Le déterminant de la matrice
Les coordonnées de ce vecteur dans cette base
La dimension de l’espace vectoriel

Les coordonnées de ce vecteur dans cette base

Explication

La colonne associée à un vecteur dans une base contient ses coordonnées dans cette base. C’est la lecture directe de la matrice de coordonnées.

23. Quand deux sous-espaces F et G sont-ils en somme directe ?

Quand F et G ont la même dimension
Quand F et G sont tous deux non nuls
Quand F∩G={0}
Quand F+G=E

Quand F∩G={0}

Explication

Pour deux sous-espaces, la somme est directe exactement lorsque leur intersection est réduite au vecteur nul. Cela garantit l’unicité de la décomposition.

24. Quelle formule relie les dimensions de F, G, F∩G et F+G ?

dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G)
dim(F+G)=dim F−dim G
dim(F∩G)=dim F+dim G
dim(F+G)=dim F·dim G

dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G)

Explication

C’est la formule de Grassmann : la dimension de la somme tient compte du chevauchement via l’intersection. Elle est valable pour des sous-espaces de dimension finie.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 24 flashcards sur Fondements et propriétés des espaces vectoriels.

Espace vectoriel — définition ?

Ensemble avec addition et multiplication par scalaire vérifiant axiomes.

Corps de base — rôle ?

Sert de scalaires pour l’espace vectoriel.

Vecteur nul — notation ?

Noté 0E, neutre de l’addition.

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