Formulaire d’analyse et primitives

📋 Plan du Cours

1. Dérivées usuelles et composées
2. Développements limités usuels
3. Fonctions hyperboliques
4. Primitives usuelles
5. Domaines et propriétés des fonctions

📖 1. Dérivées usuelles et composées

★ À maîtriser

• Pour n entier, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

• Pour une fonction composée, la dérivée de $u^n$ est $nu'u^{n-1}$, celle de $u^\alpha$ est $\alpha u'u^{\alpha-1}$ et celle de $e^u$ est $u'e^u$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}$, $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}$, $\left(\cos u\right)'=-u'\sin u$ et $\left(\sin u\right)'=u'\cos u$.

Compléments

📐 Formule — La dérivée de $\tan u$ est $u'(1+\tan^2u)=\frac{u'}{\cos^2u}$.

📖 2. Développements limités usuels

📝 Points essentiels

📐 Formule — Au voisinage de zéro, on a $\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}\sim\alpha$ et $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$.

📐 Formule — Au voisinage de zéro, $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$ et $\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{+\infty}x^k$.