Fiche de révision : Formulaire d’analyse et primitives

📋 Plan du Cours

1. Dérivées usuelles et composées
2. Développements limités usuels
3. Fonctions hyperboliques
4. Primitives usuelles
5. Domaines et propriétés des fonctions

📖 1. Dérivées usuelles et composées

★ À maîtriser

• Pour n entier, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

• Pour une fonction composée, la dérivée de $u^n$ est $nu'u^{n-1}$, celle de $u^\alpha$ est $\alpha u'u^{\alpha-1}$ et celle de $e^u$ est $u'e^u$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}$, $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}$, $\left(\cos u\right)'=-u'\sin u$ et $\left(\sin u\right)'=u'\cos u$.

Compléments

📐 Formule — La dérivée de $\tan u$ est $u'(1+\tan^2u)=\frac{u'}{\cos^2u}$.

📖 2. Développements limités usuels

📝 Points essentiels

📐 Formule — Au voisinage de zéro, on a $\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}\sim\alpha$ et $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$.

📐 Formule — Au voisinage de zéro, $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$ et $\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{+\infty}x^k$.

📐 Formule — Au voisinage de zéro, $\ln(1+x)\sim x$ et $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$.

💡 Astuce mémo

Des puissances vers l’exponentielle, les logarithmes et les fonctions trigonométriques

📖 3. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Les fonctions hyperboliques sont définies, pour tout réel $x$, par $\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ et $\operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les fonctions hyperboliques vérifient $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$, $\operatorname{ch}(a+b)=\operatorname{ch}a\operatorname{ch}b+\operatorname{sh}a\operatorname{sh}b$ et $\operatorname{sh}(a+b)=\operatorname{sh}a\operatorname{ch}b+\operatorname{sh}b\operatorname{ch}a$.

📐 Formule — Les dérivées hyperboliques vérifient $\operatorname{ch}'x=\operatorname{sh}x$, $\operatorname{sh}'x=\operatorname{ch}x$ et $\operatorname{th}'x=1-\operatorname{th}^2x=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}$.

Compléments

📐 Formule — Au voisinage de zéro, $\operatorname{ch}x-1\sim\frac{x^2}{2}$ et $\operatorname{sh}x\sim x$.

💡 Astuce mémo

ch et cosh sont paires, sh et sinh sont impaires

📖 4. Primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Une primitive de $x^n$, pour $n\in\mathbb{N}$, est $\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule — Une primitive de $x^\alpha$, pour $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, est $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$ sur $]0,+\infty[$.

• Les primitives usuelles comprennent $e^x\mapsto e^x+c$, $\cos x\mapsto\sin x+c$, $\sin x\mapsto-\cos x+c$, $\operatorname{sh}x\mapsto\operatorname{ch}x+c$ et $\operatorname{ch}x\mapsto\operatorname{sh}x+c$ sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule — Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln|x|+c$ sur chacun des intervalles $]0,+\infty[\;\text{ou}\;]-\infty,0[$.

Compléments

📐 Formule — Une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan x+c$ sur $\mathbb{R}$, tandis qu’une primitive de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ est $\arcsin x+c$ sur $]-1{,}1[$.

📐 Formule — Une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ est $\operatorname{Argsh}x+c=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+c$ sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule — Une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ est $\operatorname{Argch}x+c=\ln(x+\sqrt{x^2-1})+c$ sur $]1,+\infty[$.

📖 5. Domaines et propriétés des fonctions

★ À maîtriser

• Pour chaque fonction étudiée, il faut déterminer son ensemble de définition, son image et son ensemble de dérivabilité.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées usuelles des fonctions trigonométriques inverses sont $\left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\left(\arccos x\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}$.

📊 Tableaux de synthèse

Primitives trigonométriques

Primitives hyperboliques