QCM : Formulaire d’analyse et primitives — 9 questions

Question 1

1. Pour $f(x)=x^7$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

7x^7

6x^7

7x^6

x^6

Explication

La règle de dérivation des puissances donne $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ , donc ici $f'(x)=7x^6$ . L’expression $6x^7$ modifie à la fois le coefficient et l’exposant, ce qui ne respecte pas cette règle.

Answer

$$nx^{n-1}$$

Answer

$$6xe^{3x^2}$$

Answer

$$nx^{n-1}$$

Answer

$$1+x+x^2+x^3+o(x^3)$$

Answer

Approximer une fonction autour d'un point en utilisant une série polynomiale

Answer

$$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

Answer

Au XIXe siècle, lors du développement de l'analyse hyperbolique.

Answer

Le domaine de $$\text{sh}(x)$$ est tout $$\text{R}$$, tandis que celui de $$\text{ch}(x)$$ est $$\text{R}$$ aussi, mais avec une valeur minimale de 1.

Question 2

2. Quelle est la formule de la dérivée de la fonction $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

nx^{n+1}

n x^{n+1}

nx^{n-1}

\frac{x^{n+1}}{n+1}

Explication

La dérivée de $x^n$ , avec $n$ entier naturel, est $nx^{n-1}$ , ce qui résulte de la règle de puissance. La deuxième option est incorrecte car elle correspond à une formule différente, et les autres options ne sont pas liées à la dérivée de $x^n$ .

Question 3

3. Si $f(x)=e^{3x^2}$ , quelle est sa dérivée ?

6xe^{3x^2}

3x^2e^{3x^2}

6xe^{3x}

e^{6x}

Explication

Pour une exponentielle composée, on dérive l’exposant puis on conserve l’exponentielle : $\left(e^u\right)'=u'e^u$ , avec $u'=6x$ . L’expression $3x^2e^{3x^2}$ oublie le facteur provenant de la dérivée de l’exposant.

Question 4

4. Quelle est la formule de la dérivée de $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

nx^{n-1}

n^2x^{n-2}

x^{n-1}

nx^{n}

Explication

La dérivée de $x^n$ pour un entier naturel $n$ est $nx^{n-1}$ , ce qui résulte de la règle de puissance. La deuxième option est incorrecte car elle correspond à une dérivée erronée, et les autres options ne respectent pas la règle de dérivation pour cette fonction.

Question 5

5. Quel est le développement limité de $\frac{1}{1-x}$ au voisinage de zéro jusqu’au terme en $x^3$ ?

1+x+x^2+x^3+o(x^3)

1+x-x^2+x^3+o(x^3)

1-x+x^2-x^3+o(x^3)

1-x-x^2-x^3+o(x^3)

Explication

La formule géométrique au voisinage de zéro donne $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ . L’alternance des signes correspondrait à une autre expression, comme le développement de $\frac{1}{1+x}$ .

Question 6

6. Quel est l'objectif principal des développements limités usuels en analyse mathématique?

Approximer une fonction autour d'un point en utilisant une série polynomiale

Résoudre une équation différentielle

Calculer la valeur exacte d'une fonction complexe

Déterminer la limite d'une fonction à l'infini

Explication

Les développements limités permettent d'approximer localement une fonction par un polynôme autour d'un point, facilitant ainsi l'étude de son comportement. La réponse incorrecte concerne la résolution d'équations ou la valeur exacte, qui ne sont pas l'objectif principal de ces développements.

Question 7

7. Quel est le développement limité de $\ln(1+x)$ jusqu’au terme en $x^3$ au voisinage de zéro ?

x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

Explication

Le développement de $\ln(1+x)$ commence par $x$ et alterne les signes : $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ . Le terme constant $1$ appartient notamment au développement de certaines fonctions comme $\frac{1}{1-x}$ , pas à celui du logarithme en zéro.

Question 8

8. Quand la définition de la fonction hyperbolique $\text{ch}(x)$ a-t-elle été introduite dans l'histoire des mathématiques?

Au début du XXe siècle, dans le cadre de la théorie des fonctions spéciaux.

Au XIXe siècle, lors du développement de l'analyse hyperbolique.

Au XVIIIe siècle, lors des travaux sur les fonctions trigonométriques hyperboliques.

Au XVIIe siècle, avec l'apparition des fonctions exponentielles.

Explication

La fonction $\text{ch}(x)$ a été introduite au XIXe siècle dans le contexte du développement de l'analyse hyperbolique, en lien avec l'étude des fonctions exponentielles. Les autres options correspondent à des périodes où d'autres concepts mathématiques ont été principalement développés.

Question 9

9. En quoi les domaines de la fonction hyperbolique $\text{sh}(x)$ diffèrent-ils de ceux de la fonction $\text{ch}(x)$ ?

Le domaine de

\text{sh}(x)

est tout

\text{R}

, tandis que celui de

\text{ch}(x)

est

\text{R}

aussi, mais avec une valeur minimale de 1.

Les deux fonctions ont le même domaine, qui est

\text{R}

, mais leurs images diffèrent.

Le domaine de

\text{sh}(x)

est

\text{R}

, et celui de

\text{ch}(x)

est $$]−\text{1},+\text{1}[$.

Le domaine de

\text{sh}(x)

est

\text{R}

, alors que celui de

\text{ch}(x)

est $$]−\text{1},+\text{1}[$.

Explication

Les fonctions $\text{sh}(x)$ et $\text{ch}(x)$ ont toutes deux pour domaine $\text{R}$ , mais $\text{ch}(x)$ est toujours supérieur ou égal à 1, alors que $\text{sh}(x)$ peut prendre toutes les valeurs réelles. La différence principale réside dans leur domaine et leur comportement.

QCM : Formulaire d’analyse et primitives — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour $f(x)=x^7$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

2. Quelle est la formule de la dérivée de la fonction $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

3. Si $f(x)=e^{3x^2}$ , quelle est sa dérivée ?

4. Quelle est la formule de la dérivée de $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

5. Quel est le développement limité de $\frac{1}{1-x}$ au voisinage de zéro jusqu’au terme en $x^3$ ?

6. Quel est l'objectif principal des développements limités usuels en analyse mathématique?

7. Quel est le développement limité de $\ln(1+x)$ jusqu’au terme en $x^3$ au voisinage de zéro ?

8. Quand la définition de la fonction hyperbolique $\text{ch}(x)$ a-t-elle été introduite dans l'histoire des mathématiques?

9. En quoi les domaines de la fonction hyperbolique $\text{sh}(x)$ diffèrent-ils de ceux de la fonction $\text{ch}(x)$ ?

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QCM : Formulaire d’analyse et primitives — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour f(x)=x7f(x)=x^7f(x)=x7, quelle est l’expression de f′(x)f'(x)f′(x) ?

2. Quelle est la formule de la dérivée de la fonction xnx^nxn, où nnn est un entier naturel?

3. Si f(x)=e3x2f(x)=e^{3x^2}f(x)=e3x2, quelle est sa dérivée ?

4. Quelle est la formule de la dérivée de xnx^nxn, où nnn est un entier naturel?

5. Quel est le développement limité de 11−x\frac{1}{1-x}1−x1​ au voisinage de zéro jusqu’au terme en x3x^3x3 ?

6. Quel est l'objectif principal des développements limités usuels en analyse mathématique?

7. Quel est le développement limité de ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x) jusqu’au terme en x3x^3x3 au voisinage de zéro ?

8. Quand la définition de la fonction hyperbolique ch(x)\text{ch}(x)ch(x) a-t-elle été introduite dans l'histoire des mathématiques?

9. En quoi les domaines de la fonction hyperbolique sh(x)\text{sh}(x)sh(x) diffèrent-ils de ceux de la fonction ch(x)\text{ch}(x)ch(x)?

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1. Pour $f(x)=x^7$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

2. Quelle est la formule de la dérivée de la fonction $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

3. Si $f(x)=e^{3x^2}$ , quelle est sa dérivée ?

4. Quelle est la formule de la dérivée de $x^n$ , où $n$ est un entier naturel?

5. Quel est le développement limité de $\frac{1}{1-x}$ au voisinage de zéro jusqu’au terme en $x^3$ ?

7. Quel est le développement limité de $\ln(1+x)$ jusqu’au terme en $x^3$ au voisinage de zéro ?

8. Quand la définition de la fonction hyperbolique $\text{ch}(x)$ a-t-elle été introduite dans l'histoire des mathématiques?

9. En quoi les domaines de la fonction hyperbolique $\text{sh}(x)$ diffèrent-ils de ceux de la fonction $\text{ch}(x)$ ?