QCM : Formulaire de trigonométrie circulaire — 19 questions

Question 1

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente $\cos x$ ?

Son ordonnée

La longueur orientée

\overline{AH}

Son abscisse

L’angle orienté entre les deux axes

Explication

Le cosinus de $x$ est défini comme l’abscisse du point $M$ . L’ordonnée correspond au sinus, tandis que $\overline{AH}$ représente la tangente.

Answer

Son abscisse

Question 2

2. Sur le cercle trigonométrique, quelle grandeur représente $\sin x$ ?

L’abscisse du point

M

Le quotient de l’abscisse par l’ordonnée

L’ordonnée du point

M

La longueur orientée

\overline{AH}

Explication

Le sinus de $x$ est l’ordonnée du point $M$ . L’abscisse est associée au cosinus et la longueur orientée $\overline{AH}$ à la tangente.

Answer

L’ordonnée du point $$M$$

Question 3

3. Quelle expression définit la tangente de l’angle $x$ dans la configuration géométrique considérée ?

L’abscisse du point

M

Le produit des coordonnées de

M

La longueur orientée

\overline{AH}

L’ordonnée du point

M

Explication

La tangente de $x$ est la longueur orientée $\overline{AH}$ dans cette configuration. L’abscisse et l’ordonnée du point $M$ définissent respectivement le cosinus et le sinus.

Answer

La longueur orientée $$\overline{AH}$$

Question 4

4. À quels angles en radians correspondent, dans l’ordre, les valeurs usuelles $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$ ?

0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{6},\ 0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2}

0,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{3}

0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}

Explication

La conversion suit l’ordre $0^\circ\to0$ , $30^\circ\to\frac{\pi}{6}$ , $45^\circ\to\frac{\pi}{4}$ , $60^\circ\to\frac{\pi}{3}$ et $90^\circ\to\frac{\pi}{2}$ . Les autres suites permutent plusieurs correspondances.

Answer

$$0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}$$

Question 5

5. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel $x$ ?

1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}

\cos^2 x+\sin^2 x=1

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

1+\cotan^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}

Explication

L’identité $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ est valable pour tout réel $x$ . Les relations faisant intervenir la tangente ou la cotangente nécessitent des conditions d’existence liées aux dénominateurs.

Answer

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Question 6

6. Quelles sont les périodes respectives du cosinus, du sinus, de la tangente et de la cotangente ?

\pi,\ \pi,\ 2\pi,\ 2\pi

\pi,\ 2\pi,\ \pi,\ 2\pi

2\pi,\ \pi,\ 2\pi,\ \pi

2\pi,\ 2\pi,\ \pi,\ \pi

Explication

Le cosinus et le sinus ont pour période $2\pi$ , alors que la tangente et la cotangente ont pour période $\pi$ . Les autres propositions échangent ou mélangent ces deux groupes de fonctions.

Answer

$$2\pi,\ 2\pi,\ \pi,\ \pi$$

Question 7

7. Quelle formule donne le sinus d’une somme $a+b$ ?

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a

\sin(a+b)=\frac{\sin a+\sin b}{1-\sin a\sin b}

\sin(a+b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a

\sin(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

Explication

La formule d’addition du sinus associe une somme des deux produits croisés, soit $\sin a\cos b+\sin b\cos a$ . Le signe moins correspond à la formule du sinus d’une différence.

Answer

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$$

Question 8

8. Quelle relation décrit correctement le cosinus d’une différence $a-b$ ?

\cos(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

\cos(a-b)=\frac{\cos a-\cos b}{1+\cos a\cos b}

\cos(a-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

Explication

Pour une différence, le cosinus est la somme des produits $\cos a\cos b$ et $\sin a\sin b$ . Le signe moins dans le second produit appartient à la formule du cosinus d’une somme.

Answer

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

Question 9

9. Quelle formule exprime la duplication de l’angle dans $\sin(2a)$ ?

\sin(2a)=\sin^2a-\cos^2a

\sin(2a)=\sin a+\sin a

\sin(2a)=\sin a\cos a

\sin(2a)=2\sin a\cos a

Explication

La formule de duplication du sinus est $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ . Elle concerne l’angle doublé $2a$ et ne se réduit pas à un simple produit sans facteur $2$ .

Answer

$$\sin(2a)=2\sin a\cos a$$

Question 10

10. Quelle identité linéarise le produit $\sin a\sin b$ ?

2\cos(a-b)\cos(a+b)

\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}

\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}

\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}

Explication

Le produit $\sin a\sin b$ se transforme en la différence des cosinus des angles $a-b$ et $a+b$ , divisée par $2$ . La somme des deux cosinus correspond plutôt à la linéarisation de $\cos a\cos b$ .

Answer

$$\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}$$

Question 11

11. Quelle factorisation correspond à la somme $\sin p+\sin q$ ?

2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}

2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}

Explication

La somme de deux sinus se factorise en $2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . L’expression $2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$ factorise une différence de sinus, et non leur somme.

Answer

$$2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$

Question 12

12. En posant $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , quelle expression représente $\sin x$ ?

\frac{2t}{1+t^2}

\frac{1+t^2}{2t}

\frac{2t}{1-t^2}

\frac{1-t^2}{1+t^2}

Explication

La substitution d’angle moitié donne $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ lorsque $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ . L’expression $\frac{2t}{1-t^2}$ correspond à $\tan x$ , tandis que $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ correspond à $\cos x$ .

Answer

$$\frac{2t}{1+t^2}$$

Question 13

13. Quelle formule relie $1-\cos x$ à une fonction trigonométrique de $\frac{x}{2}$ ?

1-\cos x=\sin^2x

1-\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}

1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}

1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}

Explication

La formule d’angle moitié associe le signe moins à $2\sin^2\frac{x}{2}$ . Le signe plus, dans $1+\cos x$ , est celui qui s’associe à $2\cos^2\frac{x}{2}$ .

Answer

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

Question 14

14. Quelles sont les solutions générales de l’équation $\cos x=\cos a$ ?

x=2a+2k\pi

ou

x=-2a+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=a+2k\pi

ou

x=\pi-a+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=a+k\pi

ou

x=-a+k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=a+2k\pi

ou

x=-a+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

Explication

Deux angles ont le même cosinus lorsqu’ils sont opposés modulo $2\pi$ , d’où $x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ . La forme $\pi-a$ appartient à la résolution d’une équation de sinus et ne convient pas ici.

Answer

$$x=a+2k\pi$$ ou $$x=-a+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Question 15

15. Pour résoudre $\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ dans $[0,2\pi]$ , quelles valeurs faut-il retenir ?

x=\frac{\pi}{3}

et

x=\frac{2\pi}{3}

x=\frac{2\pi}{3}

et

x=\frac{4\pi}{3}

x=\frac{\pi}{3}

et

x=\frac{5\pi}{3}

x=\frac{4\pi}{3}

et

x=\frac{5\pi}{3}

Explication

La règle donne $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ; dans l’intervalle considéré, cela fournit $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$ . La valeur $\frac{2\pi}{3}$ possède un cosinus opposé à celui de $\frac{\pi}{3}$ .

Answer

$$x=\frac{\pi}{3}$$ et $$x=\frac{5\pi}{3}$$

Question 16

16. Quelle expression représente l’exponentielle complexe $e^{ix}$ pour tout réel $x$ ?

\sin x+i\cos x

\cos x+i\sin x

\cos x-i\sin x

e^x(\cos x+i\sin x)

Explication

La formule d’Euler combine le cosinus et le sinus sous la forme $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ . L’expression avec le signe moins correspond à $e^{-ix}$ , et non à $e^{ix}$ .

Answer

$$\cos x+i\sin x$$

Question 17

17. Si deux nombres complexes sont écrits sous la forme exponentielle, quelle règle permet de calculer $\frac{e^{ix}}{e^{iy}}$ ?

e^{i(x+y)}

e^{i(y-x)}

e^{i(x-y)}

e^{i(xy)}

Explication

Le quotient de deux exponentielles complexes soustrait leurs arguments, donc $\frac{e^{ix}}{e^{iy}}=e^{i(x-y)}$ . L’addition des arguments concerne le produit $e^{ix}e^{iy}$ .

Answer

$$e^{i(x-y)}$$

Question 18

18. Quelle formule permet d’exprimer le sinus réel $\sin x$ à l’aide des exponentielles complexes associées à $x$ ?

\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}

\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}

Explication

La formule d’Euler pour le sinus est $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ . La somme divisée par $2$ donne le cosinus, tandis que les deux autres expressions utilisent un mauvais signe ou un mauvais facteur.

Answer

$$\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Question 19

19. Pour calculer une puissance entière de $e^{ix}$ , quelle expression fournit la formule de Moivre ?

(e^{ix})^n=e^{i(x+n)}

(e^{ix})^n=e^{ix+n}

(e^{ix})^n=e^{ix^n}

(e^{ix})^n=e^{inx}

Explication

La formule de Moivre transforme la puissance en multiplication de l’angle par l’exposant : $(e^{ix})^n=e^{inx}$ . Les autres expressions ajoutent ou élèvent l’angle au lieu de le multiplier par $n$ .

Answer

$$(e^{ix})^n=e^{inx}$$

QCM : Formulaire de trigonométrie circulaire — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente $\cos x$ ?

2. Sur le cercle trigonométrique, quelle grandeur représente $\sin x$ ?

3. Quelle expression définit la tangente de l’angle $x$ dans la configuration géométrique considérée ?

4. À quels angles en radians correspondent, dans l’ordre, les valeurs usuelles $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$ ?

5. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel $x$ ?

6. Quelles sont les périodes respectives du cosinus, du sinus, de la tangente et de la cotangente ?

7. Quelle formule donne le sinus d’une somme $a+b$ ?

8. Quelle relation décrit correctement le cosinus d’une différence $a-b$ ?

9. Quelle formule exprime la duplication de l’angle dans $\sin(2a)$ ?

10. Quelle identité linéarise le produit $\sin a\sin b$ ?

11. Quelle factorisation correspond à la somme $\sin p+\sin q$ ?

12. En posant $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , quelle expression représente $\sin x$ ?

13. Quelle formule relie $1-\cos x$ à une fonction trigonométrique de $\frac{x}{2}$ ?

14. Quelles sont les solutions générales de l’équation $\cos x=\cos a$ ?

15. Pour résoudre $\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ dans $[0,2\pi]$ , quelles valeurs faut-il retenir ?

16. Quelle expression représente l’exponentielle complexe $e^{ix}$ pour tout réel $x$ ?

17. Si deux nombres complexes sont écrits sous la forme exponentielle, quelle règle permet de calculer $\frac{e^{ix}}{e^{iy}}$ ?

18. Quelle formule permet d’exprimer le sinus réel $\sin x$ à l’aide des exponentielles complexes associées à $x$ ?

19. Pour calculer une puissance entière de $e^{ix}$ , quelle expression fournit la formule de Moivre ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Réactivité organique et conversions

Premier principe de la thermodynamique

Sociologie et forme scolaire

Généralités de bactériologie

Ultrastructure des bactéries

Perception, action et conscience

Crée tes propres QCM

QCM : Formulaire de trigonométrie circulaire — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point MMM représente cos⁡x\cos xcosx ?

2. Sur le cercle trigonométrique, quelle grandeur représente sin⁡x\sin xsinx ?

3. Quelle expression définit la tangente de l’angle xxx dans la configuration géométrique considérée ?

4. À quels angles en radians correspondent, dans l’ordre, les valeurs usuelles 0∘0^\circ0∘, 30∘30^\circ30∘, 45∘45^\circ45∘, 60∘60^\circ60∘ et 90∘90^\circ90∘ ?

5. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel xxx ?

6. Quelles sont les périodes respectives du cosinus, du sinus, de la tangente et de la cotangente ?

7. Quelle formule donne le sinus d’une somme a+ba+ba+b ?

8. Quelle relation décrit correctement le cosinus d’une différence a−ba-ba−b ?

9. Quelle formule exprime la duplication de l’angle dans sin⁡(2a)\sin(2a)sin(2a) ?

10. Quelle identité linéarise le produit sin⁡asin⁡b\sin a\sin bsinasinb ?

11. Quelle factorisation correspond à la somme sin⁡p+sin⁡q\sin p+\sin qsinp+sinq ?

12. En posant t=tan⁡(x2)t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)t=tan(2x​), quelle expression représente sin⁡x\sin xsinx ?

13. Quelle formule relie 1−cos⁡x1-\cos x1−cosx à une fonction trigonométrique de x2\frac{x}{2}2x​ ?

14. Quelles sont les solutions générales de l’équation cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos acosx=cosa ?

15. Pour résoudre cos⁡x=cos⁡(π3)\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)cosx=cos(3π​) dans [0,2π][0,2\pi][0,2π], quelles valeurs faut-il retenir ?

16. Quelle expression représente l’exponentielle complexe eixe^{ix}eix pour tout réel xxx ?

17. Si deux nombres complexes sont écrits sous la forme exponentielle, quelle règle permet de calculer eixeiy\frac{e^{ix}}{e^{iy}}eiyeix​ ?

18. Quelle formule permet d’exprimer le sinus réel sin⁡x\sin xsinx à l’aide des exponentielles complexes associées à xxx ?

19. Pour calculer une puissance entière de eixe^{ix}eix, quelle expression fournit la formule de Moivre ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Réactivité organique et conversions

Premier principe de la thermodynamique

Sociologie et forme scolaire

Généralités de bactériologie

Ultrastructure des bactéries

Perception, action et conscience

Crée tes propres QCM

1. Sur le cercle trigonométrique, quelle coordonnée du point $M$ représente $\cos x$ ?

2. Sur le cercle trigonométrique, quelle grandeur représente $\sin x$ ?

3. Quelle expression définit la tangente de l’angle $x$ dans la configuration géométrique considérée ?

4. À quels angles en radians correspondent, dans l’ordre, les valeurs usuelles $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$ ?

5. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel $x$ ?

7. Quelle formule donne le sinus d’une somme $a+b$ ?

8. Quelle relation décrit correctement le cosinus d’une différence $a-b$ ?

9. Quelle formule exprime la duplication de l’angle dans $\sin(2a)$ ?

10. Quelle identité linéarise le produit $\sin a\sin b$ ?

11. Quelle factorisation correspond à la somme $\sin p+\sin q$ ?

12. En posant $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , quelle expression représente $\sin x$ ?

13. Quelle formule relie $1-\cos x$ à une fonction trigonométrique de $\frac{x}{2}$ ?

14. Quelles sont les solutions générales de l’équation $\cos x=\cos a$ ?

15. Pour résoudre $\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ dans $[0,2\pi]$ , quelles valeurs faut-il retenir ?

16. Quelle expression représente l’exponentielle complexe $e^{ix}$ pour tout réel $x$ ?

17. Si deux nombres complexes sont écrits sous la forme exponentielle, quelle règle permet de calculer $\frac{e^{ix}}{e^{iy}}$ ?

18. Quelle formule permet d’exprimer le sinus réel $\sin x$ à l’aide des exponentielles complexes associées à $x$ ?

19. Pour calculer une puissance entière de $e^{ix}$ , quelle expression fournit la formule de Moivre ?