Fiche de révision : Formulaire de trigonométrie circulaire

📋 Plan du Cours

1. Définitions et valeurs usuelles
2. Identités et transformations angulaires
3. Formules d’addition et duplication
4. Linéarisation et factorisation
5. Formules avec angles multiples
6. Résolution des équations trigonométriques
7. Exponentielle complexe et Euler

📖 1. Définitions et valeurs usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : l’abscisse du point M
• Sinus : l’ordonnée du point M
• Tangente : La tangente de x est la longueur orientée \overline{AH}.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $x \notin \frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}$, $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ; pour $x \notin \pi\mathbb{Z}$, $\cotan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ ; pour $x \notin \frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$, $\cotan(x)=\frac{1}{\tan(x)}$.

• Les valeurs usuelles correspondent aux angles 0°, 30°, 45°, 60° et 90°, soit respectivement $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2}$ en radians.

📖 2. Identités et transformations angulaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

• Le cosinus et le sinus sont périodiques de période $2\pi$, tandis que la tangente et la cotangente sont périodiques de période $\pi$.

Compléments

📐 Formule — Pour $x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}$, $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$, et pour $x\notin\pi\mathbb{Z}$, $1+\cotan^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$.

📐 Formule — Les relations de parité sont $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\tan(-x)=-\tan x$ et $\cotan(-x)=-\cotan x$.

💡 Astuce mémo

Tour complet : même valeur ; demi-tour : signe ou périodicité.

📖 3. Formules d’addition et duplication

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ et $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de différence sont $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$ et $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$, $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ et $\tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$.

💡 Astuce mémo

Additionner, puis doubler l’angle.

📖 4. Linéarisation et factorisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Les produits se linéarisent selon $\cos a\cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}$, $\sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}$ et $\sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$.

📐 Formule — Les sommes et différences se factorisent selon $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$, $\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$, $\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ et $\sin p-\sin q=2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$.

Compléments

📐 Formule — Les carrés se linéarisent selon $\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Linéariser transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 5. Formules avec angles multiples

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$, on a $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$.

Compléments

📐 Formule — Les formules d’angle moitié sont $1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$ et $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$.

📐 Formule — Les formules d’angle triple sont $\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x$ et $\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x$.

📖 6. Résolution des équations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation $\cos x=\cos a$ équivaut à $x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

💡 Astuce mémo

Cosinus : deux familles ; sinus : deux familles ; tangente : une période.

📖 7. Exponentielle complexe et Euler

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

📐 Formule — Pour tout réel x, $|e^{ix}|=1$, et pour tous réels x et y, $e^{ix}e^{iy}=e^{i(x+y)}$, $\frac{e^{ix}}{e^{iy}}=e^{i(x-y)}$ et $\frac{1}{e^{ix}}=e^{-ix}=\overline{e^{ix}}$.

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ et $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$.

📐 Formule — La formule de Moivre donne, pour tout réel x et tout entier n, $(e^{ix})^n=e^{inx}$.

Compléments

• Les valeurs usuelles sont $e^0=1$, $e^{i\pi/2}=i$, $e^{i\pi}=-1$, $e^{-i\pi/2}=-i$, $e^{2i\pi/3}=j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sqrt2e^{i\pi/4}=1+i$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle complexe encode cosinus et sinus, donc ses produits additionnent les angles.