Fiche de révision : Fractions, puissances et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Simplification des fractions
2. Calculs avec les fractions
3. Définition des puissances
4. Règles de calcul des puissances
5. Ensembles et relations d’appartenance
6. Les ensembles de nombres
7. Intervalles et bornes
8. Intersection, union et encadrement
9. Racine carrée et propriétés
10. Notion de fonction
11. Courbe représentative d’une fonction
12. Résolution graphique

📖 1. Simplification des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1, et qui ne peut donc pas être simplifiée.

📖 2. Calculs avec les fractions

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d’abord les écrire avec le même dénominateur ; on additionne ou soustrait alors leurs numérateurs.

📐 Formule - Pour deux fractions de même dénominateur non nul, $\frac{a}{D}+\frac{b}{D}=\frac{a+b}{D}$ et $\frac{a}{D}-\frac{b}{D}=\frac{a-b}{D}$.

📐 Formule - Le produit et le quotient de fractions vérifient $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ et $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$, lorsque les dénominateurs sont non nuls.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner ; inverse de la seconde fraction pour diviser.

📖 3. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a ; si a ≠ 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel non nul a, a⁰ = 1 ; par convention, 0⁰ = 1.

📌 Dans (−3)⁴, le signe négatif appartient à la base et le résultat vaut 81, tandis que −3⁴ signifie −(3⁴) et vaut −81.

💡 Astuce mémo

Avec parenthèses, le signe appartient à la base ; sans parenthèses, il reste devant la puissance.

📖 4. Règles de calcul des puissances

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour les puissances de même base, $a^n\times a^m=a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

📐 Formule - Pour tout entier relatif n, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$, avec b ≠ 0.

📖 5. Ensembles et relations d’appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Pour un objet x et un ensemble A, x ∈ A signifie que x est un élément de A, tandis que x ∉ A signifie qu’il n’en est pas un.
• Inclusion : A ⊂ B signifie que tous les éléments de l’ensemble A sont aussi des éléments de l’ensemble B ; A ⊄ B signifie que A n’est pas inclus dans B.

💡 Astuce mémo

x ∈ A relie un élément à un ensemble ; A ⊂ B relie deux ensembles.

📖 6. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Un entier naturel est un entier positif ou nul ; l’ensemble des entiers naturels se note ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …}.
• Entier relatif : Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul ; l’ensemble des entiers relatifs se note ℤ.
• Nombre décimal : Un nombre décimal s’écrit sous la forme a/10ⁿ, où a ∈ ℤ et n ∈ ℕ ; son écriture décimale est finie.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un quotient a/b où a ∈ ℤ et b ∈ ℕ avec b ≠ 0 ; l’ensemble des rationnels se note ℚ.
• Nombre réel : Un nombre réel est rationnel ou irrationnel, et l’ensemble des réels se note ℝ ; les réels peuvent être représentés par les abscisses des points d’une droite graduée.

💡 Astuce mémo

L’inclusion s’élargit dans l’ordre : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📖 7. Intervalles et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : L’intervalle [a ; b] est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b ; ses bornes sont a et b.

📝 Points essentiels

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet ouvert exclut la borne correspondante et un crochet fermé l’inclut ; une borne infinie porte toujours un crochet ouvert.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 8. Intersection, union et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection A ∩ B de deux ensembles contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Union : L’union A ∪ B de deux ensembles contient les éléments qui appartiennent à A, à B ou aux deux ; le « ou » mathématique est inclusif.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout réel x et tout entier naturel n, il existe un nombre décimal d tel que $d\leq x\leq d+10^{-n}$ ; cet encadrement a pour amplitude 10⁻ⁿ.

💡 Astuce mémo

L’intersection garde les éléments communs ; l’union rassemble ceux de l’un ou l’autre.

📖 9. Racine carrée et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour a ≥ 0, √a est l’unique réel positif x tel que x² = a.

📝 Points essentiels

📌 Si a > 0, l’équation x² = a possède deux solutions, √a et −√a ; si a < 0, elle ne possède aucune solution réelle.

• Pour tout réel a, √(a²) = a si a ≥ 0 et √(a²) = −a si a < 0.

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b > 0, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

💡 Astuce mémo

√a est la solution positive de x² = a ; pour a > 0, l’équation a aussi la solution −√a.

📖 10. Notion de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction f définie sur D associe à chaque réel x ∈ D un unique réel f(x) ; D est son ensemble de définition.
• Image : Pour x appartenant au domaine de f, le réel f(x) est l’image de x par f.
• Antécédent : Un antécédent de y par f est un réel x du domaine de f tel que f(x) = y.

💡 Astuce mémo

Une entrée du domaine a une image unique ; une image peut avoir plusieurs antécédents.

📖 11. Courbe représentative d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative C_f d’une fonction f définie sur D est l’ensemble des points (x ; f(x)) pour x ∈ D.

📝 Points essentiels

• Un point (x ; y) appartient à C_f si et seulement si x ∈ D et y = f(x).

• Sur la courbe C_f, l’image d’un nombre x se lit comme l’ordonnée du point d’abscisse x.

• Les antécédents d’un nombre y se lisent comme les abscisses des points de C_f d’ordonnée y.

📖 12. Résolution graphique

📝 Points essentiels

• Résoudre graphiquement f(x) = k revient à chercher les points de C_f d’ordonnée k ; les solutions sont leurs abscisses.

• Pour résoudre graphiquement f(x) < k ou f(x) > k, on relève les abscisses des points où C_f se trouve respectivement sous ou au-dessus de la droite y = k ; les inégalités larges incluent les points sur cette droite.

• Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des intersections de C_f et C_g ; celles de f(x) < g(x) correspondent aux abscisses où C_f est en dessous de C_g.

💡 Astuce mémo

Une égalité se lit aux intersections ; une inégalité se lit au-dessus ou au-dessous.