Fiche de révision : Fonctions polynômes

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines et leurs images
2. Polynômes du second degré
3. Équations du second degré
4. Polynômes et équations du troisième degré
5. Variations des fonctions cubiques
6. Résolution des équations cubiques

📖 1. Fonctions affines et leurs images

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x) = mx + p, avec m ∈ ℝ* et p ∈ ℝ.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📖 2. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, avec a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ et c ∈ ℝ.

📖 3. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est de la forme ax² + bx + c = d, avec a ∈ ℝ*, b, c et d ∈ ℝ.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=−x²+9x−20, on a −(x−5)(x−4)=f(x), donc les solutions de f(x)=0 sont 4 et 5.

💡 Astuce mémo

La courbe coupe l’axe des abscisses aux solutions réelles.

📖 4. Polynômes et équations du troisième degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de degré 3 : Une équation de degré 3 est de la forme ax³+bx²+cx+d=0.

📖 5. Variations des fonctions cubiques

📝 Points essentiels

📌 Pour f(x)=ax³+b, si a>0, f est croissante sur ℝ ; si a<0, f est décroissante sur ℝ.

💡 Astuce mémo

a positif : croissante ; a négatif : décroissante.

📖 6. Résolution des équations cubiques

📝 Points essentiels

• Tout réel a admet un unique antécédent par la fonction cube x↦x³, égal à $\sqrt[3]{a}$, appelé racine cubique de a.

• Pour résoudre x³=a dans ℝ, on obtient l’unique solution x=∛a.

💡 Astuce mémo

Isoler x³, puis prendre la racine cubique.