Fiche de révision : Généralités et fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Applications et fonctions
2. Injectivité, surjectivité et bijection
3. Domaines et représentations
4. Images, bornes et extrema
5. Variations et bijection
6. Dérivation et applications
7. Étude complète d’une fonction
8. Fonctions de référence

📖 1. Applications et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Processus qui à tout élément de A associe un unique élément de B, avec A comme ensemble de départ et B comme ensemble d’arrivée, noté f : A→B.
• Fonction : Application entre deux ensembles numériques.
• Composition : Si f : A→B et g : B→C, la composée de f par g est l'application qui associe à x de A la valeur g(f(x)), notée g∘f.

💡 Astuce mémo

Application : ensembles quelconques ; fonction : ensembles numériques

📖 2. Injectivité, surjectivité et bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Surjectivité : Application telle que tout élément de B possède au moins un antécédent par f.
• Injectivité : Application telle que tout élément de B possède au plus un antécédent par f.
• Bijection : Application qui est à la fois surjective et injective, de sorte que tout élément de B possède exactement un antécédent par f.

📝 Points essentiels

• Si f et g sont surjectives, alors leur composée g∘f est surjective ; de même, si f et g sont injectives, alors g∘f est injective.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un

📖 3. Domaines et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points du plan de coordonnées (x,f(x)) lorsque x parcourt D.

📝 Points essentiels

• 🔄 La détermination du domaine de définition suit trois étapes:
  1. Repérer les expressions potentiellement dépourvues de sens
  2. Déterminer les valeurs interdites pour chaque problème
  3. Retirer l’union des ensembles interdits à ℝ

📌 Pour une composition f∘g, il faut que x appartienne au domaine de définition de g et que g(x) appartienne au domaine de définition de f.

💡 Astuce mémo

Expression définie → domaine → courbe

📖 4. Images, bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : L'image directe d'une partie A de D par f est l'ensemble f(A)={f(x) pour x∈A}.
• Image réciproque : Ensemble des x de D tels que f(x) appartient à B, noté f⁻¹(B).
• Fonction bornée : À la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Pour montrer qu'une fonction est bornée, il suffit de trouver un réel M tel que, pour tout x de son domaine, |f(x)|≤M.

💡 Astuce mémo

Majorant : au-dessus ; minorant : au-dessous

📖 5. Variations et bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : Une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque x₁≤x₂ implique f(x₁)≤f(x₂), et décroissante lorsque x₁≤x₂ implique f(x₁)≥f(x₂).

📝 Points essentiels

📌 Pour appliquer une fonction à une inégalité, on conserve le sens si elle est croissante sur l'intervalle considéré et on l'inverse si elle est décroissante.

• Si une fonction est strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur son image f(I).

💡 Astuce mémo

Monotonie stricte → bijection sur l’image

📖 6. Dérivation et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a, lorsqu'il existe, est la limite $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📝 Points essentiels

• Une fonction est dérivable en a si et seulement si sa courbe possède en (a,f(a)) une tangente non verticale, dont le coefficient directeur est f'(a).

📐 Formule — L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📐 Formule — Les règles de dérivation comprennent $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$ et $(g\circ f)'=(g'\circ f)f'.$

• Pour étudier les extrema d'une fonction dérivable, on détermine sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée, on construit le tableau de variations, puis on y lit les extrema locaux et globaux.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations → extrema

📖 7. Étude complète d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x) lorsque les deux expressions sont définies, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x) lorsque les deux expressions sont définies, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
• Fonction périodique : Une fonction est T-périodique lorsque sa courbe est stable par translation de vecteur T⃗i, ce qui correspond à f(x+T)=f(x).

📝 Points essentiels

• Pour étudier une fonction, on détermine son domaine de définition, son domaine d'étude, ses limites, sa dérivée, le signe de sa dérivée et enfin son tableau de variations.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites → dérivée → signe → variations

📖 8. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, la valeur absolue vérifie $|x|=\max(-x,x)$, avec |x|=x si x≥0 et |x|=-x si x<0.
• Partie entière : Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n≤x<n+1 ; cet entier est la partie entière inférieure de x, notée ⌊x⌋.
• Exponentielle de base a : Pour a>0, la fonction x↦a^x est appelée exponentielle de base a.
• Puissance réelle : Pour a>0 et b réel, le nombre exp(b ln(a)) est noté a^b, ce qui définit les puissances de base positive lorsque l'exposant n'est pas entier.
• Logarithme décimal : Le logarithme décimal est la réciproque de la fonction x↦10^x et se note Log ou log₁₀.

★ À maîtriser

• Les fonctions arccosinus, arcsinus et arctangente sont les réciproques des restrictions de cosinus à [0,π], de sinus à [-π/2,π/2] et de tangente à ]-π/2,π/2[, respectivement.

Compléments

• Les fonctions cosinus, sinus et tangente ont respectivement pour domaines ℝ, ℝ et ℝ privé des réels congrus à π/2 modulo π ; le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π, tandis que la tangente est de période π.

💡 Astuce mémo

Fonctions périodiques, réciproques et puissances ont des domaines spécifiques

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des applications