Fiche de révision : Transformée de Laplace

📋 Plan du Cours

1. Notions préalables et fonctions causales
2. Définition et existence
3. Transformées usuelles
4. Propriétés opératoires
5. Produit de convolution
6. Théorèmes limites
7. Applications aux équations

📖 1. Notions préalables et fonctions causales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction causale : Nulle pour tout t<0.
• Intégrale impropre : Une intégrale impropre sur un intervalle non borné converge si la limite de l’intégrale sur des bornes finies existe.
• Fonction de Heaviside : La fonction échelon-unité de Heaviside u est une fonction causale qui représente l’activation d’un signal à partir d’un instant donné.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction à valeurs complexes, $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b\operatorname{Re}(f(t))\,dt+i\int_a^b\operatorname{Im}(f(t))\,dt$.

💡 Astuce mémo

Causale : nulle avant 0 ; non causale : peut être non nulle avant 0

📖 2. Définition et existence

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : Pour une fonction causale f, la fonction $F(p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)\,dt$, où p est complexe et f est appelée l’originale de F.
• Ordre exponentiel : S’il existe deux réels strictement positifs M et t₀ tels que, pour tout t>t₀, $|f(t)|<Me^{\alpha t}$.
• Abscisse de convergence : L’abscisse de convergence de la transformée de Laplace de f est $\sigma_f=\inf\{\alpha\in\mathbb{R}\mid f\text{ est d’ordre exponentiel }\alpha\}$.

📝 Points essentiels

📌 Si f possède une abscisse de convergence σ_f, alors la transformée de Laplace converge absolument lorsque $\operatorname{Re}(p)>\sigma_f$.

💡 Astuce mémo

Décroissance exponentielle → convergence de la transformée

📖 3. Transformées usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les transformées usuelles sont $\mathcal{L}(1)=\frac{1}{p}$, $\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{p^{n+1}}$ et $\mathcal{L}(e^{at})=\frac{1}{p-a}$.

Compléments

📐 Formule — La transformée de la fonction échelon retardée est $\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{e^{-ap}}{p}$.

📐 Formule — La transformée de Dirac est $\mathcal{L}(\delta(t))=1$.

📖 4. Propriétés opératoires

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarité donne $\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\lambda\mathcal{L}(f)+\mu\mathcal{L}(g)$.

📐 Formule — Si g(t)=f(t-a) avec a>0 et f causale, alors $G(p)=e^{-ap}F(p)$.

📐 Formule — Le décalage par rapport à p vérifie $\mathcal{L}(e^{at}f(t))=F(p-a)$ lorsque $\mathcal{L}(f)=F(p)$.

📐 Formule — Le théorème de dérivation donne $\mathcal{L}(f')=pF(p)-f(0)$ et $\mathcal{L}(f'')=p^2F(p)-f'(0)-pf(0)$.

Compléments

📐 Formule — La transformée de la dérivée n-ième est $\mathcal{L}(f^{(n)})=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$.

📐 Formule — La transformée d’une intégrale cumulée vérifie $\mathcal{L}\left(\int_0^t f(u)\,du\right)=\frac{F(p)}{p}$.

📐 Formule — La multiplication par t vérifie $\mathcal{L}(tf(t))=-F'(p)$ et, plus généralement, $\mathcal{L}(t^nf(t))=(-1)^n\frac{d^nF}{dp^n}$.

📐 Formule — La division par t vérifie $\mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right)=\int_p^{\infty}F(u)\,du$.

📐 Formule — Pour une fonction périodique de période T, $\mathcal{L}(f)=\frac{1}{1-e^{-pT}}\int_0^T e^{-pt}f(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Décaler, dilater, dériver, intégrer, multiplier

📖 5. Produit de convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : Défini par $(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f et g sont causales, leur convolution devient $(f*g)(u)=\int_0^u f(t)g(u-t)\,dt$.

📐 Formule — La transformée de Laplace d’un produit de convolution vérifie $\mathcal{L}(f*g)=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)$.

Compléments

• Pour f=u et g(t)=tu(t), la convolution vaut $(f*g)(u)=\frac{1}{2}u^2\mathbf{1}_{[0{,}1]}(u)+\left(-\frac{1}{2}u^2+u\right)\mathbf{1}_{[1{,}2]}(u)$.

💡 Astuce mémo

Convolution temporelle → produit dans le domaine de Laplace

📖 6. Théorèmes limites

★ À maîtriser

📌 Lorsque les limites existent, le théorème de la valeur initiale donne $\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$.

📌 Lorsque les limites existent, le théorème de la valeur finale donne $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$.

Compléments

📌 Si F(p)=\mathcal{L}(f) et G(p)=\mathcal{L}(g), alors f(t)∼g(t) lorsque t→0 implique F(p)∼G(p) lorsque p→∞, et f(t)∼g(t) lorsque t→∞ implique F(p)∼G(p) lorsque p→0.

💡 Astuce mémo

Valeur initiale : p→∞ ; valeur finale : p→0

📖 7. Applications aux équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation différentielle par Laplace, on transforme l’équation, on résout l’équation algébrique en p, puis on applique la transformée inverse.

📐 Formule — Pour une fonction u(x,t), la transformée de Laplace par rapport à t vérifie $\mathcal{L}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=-u(x,0)+pU(x,p)$, où $U(x,p)=\mathcal{L}(u(x,t))$.

• La résolution de $\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec $u(x,0)=e^{-3x}$ donne $u(x,t)=e^{-3x-2t}$.

Compléments

📐 Formule — Sous les conditions de Leibniz, $\mathcal{L}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial U}{\partial x}$, où $U(x,p)=\mathcal{L}(u(x,t))$ par rapport au temps.

💡 Astuce mémo

Transformer → résoudre en p → inverser

📊 Tableaux de synthèse

Correspondances temporelles et dans Laplace