Flashcards : Transformée de Laplace (39 cartes)

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1Question

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre sur un intervalle non borné ?

Réponse

Une intégrale dont la limite sur des bornes finies existe.

2Question

Qu'impose la causalité d'une fonction réelle ?

Réponse

Elle est nulle pour tout t<0.

3Question

Quelle fonction représente l'activation d'un signal à un instant donné ?

Réponse

La fonction échelon-unité de Heaviside.

4Question

La fonction de Heaviside est-elle causale ?

Réponse

Oui, elle est une fonction causale.

5Question

Comment s'exprime l'intégrale d'une fonction complexe entre a et b ?

Réponse

Comme la somme de l'intégrale de sa partie réelle et de sa partie imaginaire multipliée par i.

6Question

Quelle est la formule de la transformée de Laplace d'une fonction causale f ?

Réponse

$F(p)=\int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\,dt$

7Question

Comment appelle-t-on la fonction f dans la transformée de Laplace ?

Réponse

L'originale de F.

8Question

Qu'impose la définition d'une fonction d'ordre exponentiel α ?

Réponse

Il existe M>0 et t₀>0 tels que $|f(t)|<Me^{\alpha t}$ pour tout $t>t_0$ .

9Question

Comment se définit l'abscisse de convergence $\sigma_f$ d'une transformée de Laplace ?

Réponse

$\sigma_f=\inf\{\alpha\in\mathbb{R}\mid f\text{ est d'ordre exponentiel }\alpha\}$ .

10Question

Quelle condition sur $p$ garantit la convergence absolue de la transformée de Laplace ?

Réponse

La transformée converge absolument si $\operatorname{Re}(p)>\sigma_f$ .

11Question

Quelle est la transformée de Laplace de 1 ?

Réponse

C'est $\frac{1}{p}$ .

12Question

Quelle est la transformée de Laplace de $t^n$ ?

Réponse

C'est $\frac{n!}{p^{n+1}}$ .

13Question

Quelle est la transformée de Laplace de $e^{at}$ ?

Réponse

C'est $\frac{1}{p-a}$ .

14Question

Quelle est la transformée de Laplace de la fonction échelon retardée $u(t-a)$ ?

Réponse

C'est $\frac{e^{-ap}}{p}$ .

15Question

Quelle est la transformée de Laplace de la fonction de Dirac $\delta(t)$ ?

Réponse

C'est 1.

16Question

Quelle est la formule de la linéarité de la transformée de Laplace ?

Réponse

$\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\lambda\mathcal{L}(f)+\mu\mathcal{L}(g)$ .

17Question

Quelle est la transformée de Laplace de $g(t)=f(t-a)$ avec $a>0$ et $f$ causale ?

Réponse

$G(p)=e^{-ap}F(p)$ .

18Question

Quelle est la formule du décalage en $p$ pour $\mathcal{L}(e^{at}f(t))$ ?

Réponse

$\mathcal{L}(e^{at}f(t))=F(p-a)$ lorsque $\mathcal{L}(f)=F(p)$ .

19Question

Quelle est la transformée de Laplace de la dérivée première $f'$ ?

Réponse

$\mathcal{L}(f')=pF(p)-f(0)$ .

20Question

Quelle est la transformée de Laplace de la dérivée seconde $f''$ ?

Réponse

$\mathcal{L}(f'')=p^2F(p)-f'(0)-pf(0)$ .

21Question

Quelle est la formule générale de la transformée de Laplace de la dérivée $n$ -ième ?

Réponse

$\mathcal{L}(f^{(n)})=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\cdots - f^{(n-1)}(0)$ .

22Question

Quelle est la transformée de Laplace d'une intégrale cumulée $\int_0^t f(u)du$ ?

Réponse

$\mathcal{L}\left(\int_0^t f(u)\,du\right)=\frac{F(p)}{p}$ .

23Question

Quelle est la formule de la transformée de Laplace pour une fonction périodique de période $T$ ?

Réponse

$\mathcal{L}(f)=\frac{1}{1-e^{-pT}}\int_0^T e^{-pt}f(t)\,dt$ .

24Question

Comment se définit le produit de convolution de f et g ?

Réponse

Par $(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt$ .

25Question

Quelle est la formule du produit de convolution si f et g sont causales ?

Réponse

$(f*g)(u)=\int_0^u f(t)g(u-t)\,dt$ .

26Question

Que vaut la transformée de Laplace du produit de convolution de f et g ?

Réponse

Elle est le produit des transformées de Laplace de f et g.

27Question

Quelle est la convolution de f=u et g(t)=tu(t) ?

Réponse

$(f*g)(u)=\frac{1}{2}u^2\mathbf{1}_{[0,1]}(u)+\left(-\frac{1}{2}u^2+u\right)\mathbf{1}_{[1,2]}(u)$ .

28Question

Quelle limite donne le théorème de la valeur initiale ?

Réponse

$\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$ lorsque les limites existent.

29Question

Quelle limite donne le théorème de la valeur finale ?

Réponse

$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$ lorsque les limites existent.

30Question

Que signifie f(t)∼g(t) quand t→0 pour F(p) et G(p) ?

Réponse

Alors $F(p)\sim G(p)$ lorsque $p\to\infty$ .

31Question

Que signifie f(t)∼g(t) quand t→∞ pour F(p) et G(p) ?

Réponse

Alors $F(p)\sim G(p)$ lorsque $p\to0$ .

32Question

Quelle est la première étape pour résoudre une équation différentielle par Laplace ?

Réponse

On transforme l’équation différentielle.

33Question

Quelle étape suit la transformation d’une équation différentielle en méthode de Laplace ?

Réponse

On résout l’équation algébrique en p.

34Question

Quelle est la dernière étape pour résoudre une équation différentielle par Laplace ?

Réponse

On applique la transformée inverse.

35Question

Quelle formule donne la transformée de Laplace de $\frac{\partial u}{\partial t}$ ?

Réponse

$\mathcal{L}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=-u(x,0)+pU(x,p)$ .

36Question

Que représente $U(x,p)$ dans la transformée de Laplace ?

Réponse

$U(x,p)$ est la transformée de Laplace de $u(x,t)$ par rapport à $t$ .

37Question

Quelle est la transformée de Laplace de $\frac{\partial u}{\partial x}$ sous les conditions de Leibniz ?

Réponse

$\mathcal{L}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial U}{\partial x}$ .

38Question

Quelle équation partielle est résolue dans l'exemple donné ?

Réponse

$\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec $u(x,0)=e^{-3x}$ .

39Question

Quelle est la solution de $\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec $u(x,0)=e^{-3x}$ ?

Réponse

$u(x,t)=e^{-3x-2t}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 19 questions sur Transformée de Laplace.

1. Quelle condition caractérise une fonction réelle causale ?

2. Comment définit-on la convergence d’une intégrale impropre sur un intervalle non borné ?

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