QCM : Transformée de Laplace — 19 questions

Question 1

1. Quelle condition caractérise une fonction réelle causale ?

Elle est nulle pour tout

t<0

.

Elle est nulle pour tout

t>0

.

Elle est définie uniquement pour

t\geq 0

.

Elle est constante pour tout

t<0

.

Explication

Une fonction causale prend la valeur zéro avant l’instant initial, c’est-à-dire pour tout $t<0$ . Une fonction définie pour $t\geq 0$ peut toutefois être prolongée ou considérée dans d’autres contextes, ce qui ne constitue pas la définition précise de la causalité.

Answer

Elle est nulle pour tout $$t<0$$.

Question 2

2. Comment définit-on la convergence d’une intégrale impropre sur un intervalle non borné ?

La fonction intégrée est bornée sur tout l’intervalle.

Les deux bornes de l’intervalle sont des nombres réels finis.

L’intégrale possède une primitive polynomiale explicite.

La limite des intégrales à bornes finies existe.

Explication

Une intégrale impropre sur un intervalle non borné converge lorsque la limite des intégrales prises sur des intervalles bornés existe. Le fait que l’intégrande soit borné ou possède une primitive particulière ne suffit pas à établir cette convergence.

Answer

La limite des intégrales à bornes finies existe.

Question 3

3. Quelle condition définit une fonction $f$ d’ordre exponentiel $\alpha$ ?

La fonction

f

est continue et vérifie

f(t)=Me^{\alpha t}

pour tout

t>t_0

.

La fonction

f

est bornée et vérifie

|f(t)|<Me^{-\alpha t}

pour tout

t>t_0

.

Il existe

M>0

et

t_0>0

tels que

|f(t)|<Mt^{\alpha}

pour tout

t>t_0

.

Il existe

M>0

et

t_0>0

tels que

|f(t)|<Me^{\alpha t}

pour tout

t>t_0

.

Explication

L’ordre exponentiel signifie que la croissance de $|f(t)|$ est majorée, au-delà d’un certain seuil, par une constante multipliée par $e^{\alpha t}$ . Une majoration polynomiale ou une égalité exacte ne correspond pas à cette définition.

Answer

Il existe $$M>0$$ et $$t_0>0$$ tels que $$|f(t)|<Me^{\alpha t}$$ pour tout $$t>t_0$$.

Question 4

4. Comment définit-on l’abscisse de convergence $\sigma_f$ d’une fonction $f$ ?

Par

\sigma_f=\inf\{\alpha\in\mathbb{R}\mid f\text{ est d’ordre exponentiel }\alpha\}

.

Par la borne supérieure des valeurs de

t

où

f(t)

est continue.

Par

\sigma_f=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}\mid f\text{ est d’ordre exponentiel }\alpha\}

.

Par la valeur de

p

qui annule la transformée de Laplace de

f

.

Explication

L’abscisse de convergence est l’infimum des réels $\alpha$ pour lesquels $f$ est d’ordre exponentiel $\alpha$ . Elle ne se définit ni comme un zéro de la transformée ni à partir de la continuité de la fonction.

Answer

Par $$\sigma_f=\inf\{\alpha\in\mathbb{R}\mid f\text{ est d’ordre exponentiel }\alpha\}$$.

Question 5

5. Si une fonction possède l’abscisse de convergence $\sigma_f$ , dans quelle région sa transformée de Laplace converge-t-elle absolument ?

Pour les valeurs réelles

p>0

, indépendamment de

\sigma_f

.

Dans la région

\operatorname{Re}(p)<\sigma_f

.

Sur la droite

\operatorname{Re}(p)=\sigma_f

.

Dans la région

\operatorname{Re}(p)>\sigma_f

.

Explication

La convergence absolue est garantie lorsque la partie réelle de la variable complexe $p$ dépasse $\sigma_f$ . La frontière $\operatorname{Re}(p)=\sigma_f$ ne fournit pas, à elle seule, la région de convergence absolue garantie par cette règle.

Answer

Dans la région $$\operatorname{Re}(p)>\sigma_f$$.

Question 6

6. Quelle est la transformée de Laplace de $t^n$ dans les transformées usuelles ?

\mathcal{L}(t^n)=\frac{e^{-np}}{p}

\mathcal{L}(t^n)=\frac{p^{n+1}}{n!}

\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{p^{n+1}}

\mathcal{L}(t^n)=\frac{1}{p-n}

Explication

La transformée de Laplace de $t^n$ est $\frac{n!}{p^{n+1}}$ , avec une puissance de $p$ au dénominateur. L’expression $\frac{1}{p-n}$ correspond à la structure associée à une exponentielle $e^{nt}$ , et non à une puissance de $t$ .

Answer

$$\mathcal{L}(t^n)=\frac{n!}{p^{n+1}}$$

Question 7

7. Quelle expression représente la transformée de Laplace de l’échelon retardé $u(t-a)$ ?

\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{e^{-ap}}{p}

\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{e^{ap}}{p}

\mathcal{L}(u(t-a))=e^{-ap}p

\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{1}{p-a}

Explication

Le retard de l’échelon introduit le facteur multiplicatif $e^{-ap}$ , d’où l’expression $\frac{e^{-ap}}{p}$ . La formule $\frac{1}{p-a}$ correspond plutôt à la transformée de $e^{at}$ , tandis que l’échelon non retardé donne $\frac{1}{p}$ .

Answer

$$\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{e^{-ap}}{p}$$

Question 8

8. Si $g(t)=f(t-a)$ avec $a>0$ et si $f$ est causale, quelle est la transformée de Laplace de $g$ ?

G(p)=e^{ap}F(p)

G(p)=F(p+a)

G(p)=e^{-ap}F(p)

G(p)=F(p-a)

Explication

Un retard temporel de durée $a$ introduit le facteur multiplicatif $e^{-ap}$ dans le domaine de Laplace. Le décalage de l’argument $p$ correspond plutôt à une multiplication temporelle par une exponentielle.

Answer

$$G(p)=e^{-ap}F(p)$$

Question 9

9. Si $\mathcal{L}(f)=F(p)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace de $e^{at}f(t)$ ?

e^{-ap}F(p)

F(p+a)

F(p-a)

e^{ap}F(p)

Explication

La multiplication de $f(t)$ par $e^{at}$ décale l’argument de sa transformée et donne $F(p-a)$ . Le facteur $e^{-ap}$ est associé à un retard temporel, non à cette modulation exponentielle.

Answer

$$F(p-a)$$

Question 10

10. Pour une fonction suffisamment régulière, quelle formule donne la transformée de Laplace de sa dérivée seconde ?

p^2F(p)-f'(0)

pF(p)-f(0)

p^2F(p)-f'(0)-pf(0)

p^2F(p)-f(0)-pf'(0)

Explication

La dérivée seconde fait intervenir les deux conditions initiales selon $\mathcal{L}(f'')=p^2F(p)-f'(0)-pf(0)$ . La formule contenant seulement $f(0)$ correspond à la dérivée première.

Answer

$$p^2F(p)-f'(0)-pf(0)$$

Question 11

11. Quelle propriété permet de transformer une combinaison linéaire $\lambda f+\mu g$ ?

\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\lambda\mathcal{L}(f)+\mu\mathcal{L}(g)

\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)

\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\mathcal{L}(\lambda f)+\mu g

\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\lambda\mu\mathcal{L}(f+g)

Explication

La transformée de Laplace est linéaire : les coefficients scalaires se conservent et la somme est transformée terme à terme. Le produit des transformées caractérise plutôt la convolution, pas une somme de fonctions.

Answer

$$\mathcal{L}(\lambda f+\mu g)=\lambda\mathcal{L}(f)+\mu\mathcal{L}(g)$$

Question 12

12. Quelle expression définit le produit de convolution de deux fonctions $f$ et $g$ ?

(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\,dt

(f*g)(u)=\int_0^u f(u)g(t)\,dt

(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt

(f*g)(u)=f(u)g(u)

Explication

La convolution intègre le produit de $f(t)$ par une version décalée de $g$ , à savoir $g(u-t)$ , sur toute la droite réelle. Le produit ordinaire évalue les deux fonctions au même argument et ne comporte pas cette intégration décalée.

Answer

$$(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt$$

Question 13

13. Lorsque $f$ et $g$ sont causales, sur quel intervalle s’écrit leur convolution ?

(f*g)(u)=\int_0^u f(t)g(u-t)\,dt

(f*g)(u)=\int_u^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt

(f*g)(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u-t)\,dt

(f*g)(u)=\int_0^u f(u)g(t)\,dt

Explication

La causalité annule les contributions avant zéro et après $u$ , ce qui réduit l’intégrale à l’intervalle $[0,u]$ . La définition sur toute la droite réelle reste générale, mais elle n’exploite pas cette simplification.

Answer

$$(f*g)(u)=\int_0^u f(t)g(u-t)\,dt$$

Question 14

14. Si $F(p)=\mathcal{L}(f)$ et $G(p)=\mathcal{L}(g)$ , quelle est la transformée de Laplace de leur convolution ?

\mathcal{L}(f*g)=F(p-G(p))

\mathcal{L}(f*g)=\frac{F(p)}{G(p)}

\mathcal{L}(f*g)=F(p)+G(p)

\mathcal{L}(f*g)=F(p)G(p)

Explication

Le théorème de convolution transforme l’intégrale convolutive en un produit des transformées, soit $F(p)G(p)$ . Une somme des transformées correspond à la linéarité appliquée à une somme de fonctions.

Answer

$$\mathcal{L}(f*g)=F(p)G(p)$$

Question 15

15. Quelle limite en variable $p$ permet de déterminer la valeur initiale de $f$ lorsque les limites existent ?

\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)

\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)

\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}F(p)

\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)

Explication

Le théorème de la valeur initiale relie la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers zéro à la limite de $pF(p)$ lorsque $p$ tend vers l’infini. La limite en $p\to0$ intervient dans le théorème de la valeur finale.

Answer

$$\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$$

Question 16

16. Pour déterminer la valeur finale de $f(t)$ par sa transformée $F(p)$ , quelle relation faut-il utiliser lorsque les limites existent ?

\lim_{t\to0}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)

\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to\infty}pF(p)

\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}F(p)

\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)

Explication

Le théorème de la valeur finale associe le comportement lorsque $t$ tend vers l’infini à la limite de $pF(p)$ lorsque $p$ tend vers zéro. La limite en $p\to\infty$ est liée à la valeur initiale, et non à la valeur finale.

Answer

$$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{p\to0}pF(p)$$

Question 17

17. Quelle est la succession correcte des étapes pour résoudre une équation différentielle par transformation de Laplace ?

Résoudre l’équation dans le temps, transformer le résultat, puis déterminer la condition initiale

Appliquer la transformée inverse, résoudre l’équation en

p

, puis transformer l’équation différentielle

Transformer la condition initiale, intégrer dans le temps, puis appliquer une transformée spatiale

Transformer l’équation, résoudre l’équation algébrique en

p

, puis appliquer la transformée inverse

Explication

La méthode consiste à convertir l’équation différentielle en une équation algébrique en $p$ , à la résoudre, puis à revenir à la variable temporelle par transformation inverse. Une résolution directe dans le temps ne constitue pas la succession propre à cette méthode.

Answer

Transformer l’équation, résoudre l’équation algébrique en $$p$$, puis appliquer la transformée inverse

Question 18

18. Pour une fonction $u(x,t)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace par rapport à $t$ de sa dérivée temporelle ?

-p u(x,0)+U(x,p)

u(x,0)+pU(x,p)

\frac{\partial U}{\partial x}+pU(x,p)

-u(x,0)+pU(x,p)

Explication

La dérivée temporelle donne $\mathcal{L}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=-u(x,0)+pU(x,p)$ , ce qui fait intervenir la condition initiale. L’expression avec le signe positif devant $u(x,0)$ inverse incorrectement le terme initial.

Answer

$$-u(x,0)+pU(x,p)$$

Question 19

19. Quelle solution satisfait l’équation $\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec la condition initiale $u(x,0)=e^{-3x}$ ?

u(x,t)=e^{-3x-t}

u(x,t)=e^{-3x+2t}

u(x,t)=e^{-3x-2t}

u(x,t)=e^{3x-2t}

Explication

La résolution de cette équation avec la condition initiale donnée conduit à $u(x,t)=e^{-3x-2t}$ . Le signe positif devant $2t$ correspondrait à une évolution temporelle opposée à celle obtenue par l’équation.

Answer

$$u(x,t)=e^{-3x-2t}$$

QCM : Transformée de Laplace — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction réelle causale ?

2. Comment définit-on la convergence d’une intégrale impropre sur un intervalle non borné ?

3. Quelle condition définit une fonction $f$ d’ordre exponentiel $\alpha$ ?

4. Comment définit-on l’abscisse de convergence $\sigma_f$ d’une fonction $f$ ?

5. Si une fonction possède l’abscisse de convergence $\sigma_f$ , dans quelle région sa transformée de Laplace converge-t-elle absolument ?

6. Quelle est la transformée de Laplace de $t^n$ dans les transformées usuelles ?

7. Quelle expression représente la transformée de Laplace de l’échelon retardé $u(t-a)$ ?

8. Si $g(t)=f(t-a)$ avec $a>0$ et si $f$ est causale, quelle est la transformée de Laplace de $g$ ?

9. Si $\mathcal{L}(f)=F(p)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace de $e^{at}f(t)$ ?

10. Pour une fonction suffisamment régulière, quelle formule donne la transformée de Laplace de sa dérivée seconde ?

11. Quelle propriété permet de transformer une combinaison linéaire $\lambda f+\mu g$ ?

12. Quelle expression définit le produit de convolution de deux fonctions $f$ et $g$ ?

13. Lorsque $f$ et $g$ sont causales, sur quel intervalle s’écrit leur convolution ?

14. Si $F(p)=\mathcal{L}(f)$ et $G(p)=\mathcal{L}(g)$ , quelle est la transformée de Laplace de leur convolution ?

15. Quelle limite en variable $p$ permet de déterminer la valeur initiale de $f$ lorsque les limites existent ?

16. Pour déterminer la valeur finale de $f(t)$ par sa transformée $F(p)$ , quelle relation faut-il utiliser lorsque les limites existent ?

17. Quelle est la succession correcte des étapes pour résoudre une équation différentielle par transformation de Laplace ?

18. Pour une fonction $u(x,t)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace par rapport à $t$ de sa dérivée temporelle ?

19. Quelle solution satisfait l’équation $\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec la condition initiale $u(x,0)=e^{-3x}$ ?

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QCM : Transformée de Laplace — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction réelle causale ?

2. Comment définit-on la convergence d’une intégrale impropre sur un intervalle non borné ?

3. Quelle condition définit une fonction fff d’ordre exponentiel α\alphaα ?

4. Comment définit-on l’abscisse de convergence σf\sigma_fσf​ d’une fonction fff ?

5. Si une fonction possède l’abscisse de convergence σf\sigma_fσf​, dans quelle région sa transformée de Laplace converge-t-elle absolument ?

6. Quelle est la transformée de Laplace de tnt^ntn dans les transformées usuelles ?

7. Quelle expression représente la transformée de Laplace de l’échelon retardé u(t−a)u(t-a)u(t−a) ?

8. Si g(t)=f(t−a)g(t)=f(t-a)g(t)=f(t−a) avec a>0a>0a>0 et si fff est causale, quelle est la transformée de Laplace de ggg ?

9. Si L(f)=F(p)\mathcal{L}(f)=F(p)L(f)=F(p), quelle expression représente la transformée de Laplace de eatf(t)e^{at}f(t)eatf(t) ?

10. Pour une fonction suffisamment régulière, quelle formule donne la transformée de Laplace de sa dérivée seconde ?

11. Quelle propriété permet de transformer une combinaison linéaire λf+μg\lambda f+\mu gλf+μg ?

12. Quelle expression définit le produit de convolution de deux fonctions fff et ggg ?

13. Lorsque fff et ggg sont causales, sur quel intervalle s’écrit leur convolution ?

14. Si F(p)=L(f)F(p)=\mathcal{L}(f)F(p)=L(f) et G(p)=L(g)G(p)=\mathcal{L}(g)G(p)=L(g), quelle est la transformée de Laplace de leur convolution ?

15. Quelle limite en variable ppp permet de déterminer la valeur initiale de fff lorsque les limites existent ?

16. Pour déterminer la valeur finale de f(t)f(t)f(t) par sa transformée F(p)F(p)F(p), quelle relation faut-il utiliser lorsque les limites existent ?

17. Quelle est la succession correcte des étapes pour résoudre une équation différentielle par transformation de Laplace ?

18. Pour une fonction u(x,t)u(x,t)u(x,t), quelle expression représente la transformée de Laplace par rapport à ttt de sa dérivée temporelle ?

19. Quelle solution satisfait l’équation ∂u∂x=2∂u∂t+u\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u∂x∂u​=2∂t∂u​+u avec la condition initiale u(x,0)=e−3xu(x,0)=e^{-3x}u(x,0)=e−3x ?

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3. Quelle condition définit une fonction $f$ d’ordre exponentiel $\alpha$ ?

4. Comment définit-on l’abscisse de convergence $\sigma_f$ d’une fonction $f$ ?

5. Si une fonction possède l’abscisse de convergence $\sigma_f$ , dans quelle région sa transformée de Laplace converge-t-elle absolument ?

6. Quelle est la transformée de Laplace de $t^n$ dans les transformées usuelles ?

7. Quelle expression représente la transformée de Laplace de l’échelon retardé $u(t-a)$ ?

8. Si $g(t)=f(t-a)$ avec $a>0$ et si $f$ est causale, quelle est la transformée de Laplace de $g$ ?

9. Si $\mathcal{L}(f)=F(p)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace de $e^{at}f(t)$ ?

11. Quelle propriété permet de transformer une combinaison linéaire $\lambda f+\mu g$ ?

12. Quelle expression définit le produit de convolution de deux fonctions $f$ et $g$ ?

13. Lorsque $f$ et $g$ sont causales, sur quel intervalle s’écrit leur convolution ?

14. Si $F(p)=\mathcal{L}(f)$ et $G(p)=\mathcal{L}(g)$ , quelle est la transformée de Laplace de leur convolution ?

15. Quelle limite en variable $p$ permet de déterminer la valeur initiale de $f$ lorsque les limites existent ?

16. Pour déterminer la valeur finale de $f(t)$ par sa transformée $F(p)$ , quelle relation faut-il utiliser lorsque les limites existent ?

18. Pour une fonction $u(x,t)$ , quelle expression représente la transformée de Laplace par rapport à $t$ de sa dérivée temporelle ?

19. Quelle solution satisfait l’équation $\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial t}+u$ avec la condition initiale $u(x,0)=e^{-3x}$ ?