Fiche de révision : Généralités sur les matrices

📋 Plan du Cours

1. Définition et dimensions des matrices
2. Matrices particulières et égalité
3. Somme et multiplication par un réel
4. Produit de deux matrices
5. Élément neutre et propriétés du produit
6. Puissances des matrices carrées
7. Matrices de permutation et images
8. Inversibilité et inverse matriciel
9. Résolution matricielle des systèmes

📖 1. Définition et dimensions des matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau de nombres formé de $n$ lignes et $p$ colonnes.
• Matrice ligne : Matrice de taille $1\times p$, formée d’une ligne et de $p$ colonnes.
• Matrice colonne : Matrice de taille $n\times1$, formée de $n$ lignes et d’une colonne.

📝 Points essentiels

• Dans une matrice, le coefficient $a_{i,j}$ se trouve à l’intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$.

📖 2. Matrices particulières et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice carrée : Matrice d’ordre $n$ possédant $n$ lignes et $n$ colonnes.
• Matrice identité : Matrice carrée dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres valent 0 ; elle se note $I_n$.
• Matrice diagonale : Matrice carrée dont tous les coefficients situés hors de la diagonale sont nuls.
• Matrice symétrique : Matrice carrée dans laquelle deux coefficients symétriques par rapport à la diagonale sont égaux.
• Matrice nulle : Matrice de taille $n\times p$ dont tous les coefficients sont nuls et qui se note $O_{n,p}$.

📝 Points essentiels

📌 Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même dimension et que leurs coefficients de mêmes positions sont égaux deux à deux.

💡 Astuce mémo

Sur une matrice carrée, la diagonale porte les 1 de l’identité, tandis que les coefficients hors diagonale s’annulent.

📖 3. Somme et multiplication par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel : Multiplication de chaque coefficient de la matrice $A$ par le réel $\lambda$.

★ À maîtriser

📌 La somme et la différence de deux matrices sont définies seulement si elles ont la même taille ; elles s’obtiennent en additionnant ou en soustrayant les coefficients de mêmes positions.

Compléments

📐 Formule - Pour des matrices de même taille, $(A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$ et $(A-B)_{i,j}=a_{i,j}-b_{i,j}$.

• L’addition des matrices est commutative et associative, et la matrice nulle de même taille est son élément neutre.

📐 Formule - Pour des matrices $A,B$ de même taille et des réels $\lambda,\mu$, on a $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$, $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$, $1A=A$ et $0A=O_{n,p}$.

📖 4. Produit de deux matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit ligne-colonne : Le produit d’une matrice ligne $L=(l_{1{,}1},\ldots,l_{1,n})$ par une matrice colonne $C=(c_{1{,}1},\ldots,c_{n,1})^{\mathsf T}$ est le réel $LC=\sum_{k=1}^{n}l_{1,k}c_{k,1}$.

★ À maîtriser

📌 Le produit $AB$, avec $A$ de taille $n\times p$ et $B$ de taille $p\times m$, est défini et donne une matrice de taille $n\times m$ ; le nombre de colonnes de $A$ doit donc égaler le nombre de lignes de $B$.

📐 Formule - Le coefficient de ligne $i$ et de colonne $j$ du produit est $c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$.

• Le produit matriciel n’est généralement pas commutatif : même lorsque $AB$ et $BA$ sont définis, on a en général $AB\ne BA$.

Compléments

• Le produit de deux matrices peut être nul alors qu’aucune des deux matrices n’est nulle.

• Multiplier une matrice par une matrice nulle compatible donne une matrice nulle, que la matrice nulle soit à droite ou à gauche.

💡 Astuce mémo

Pour calculer une case du produit, faites se rencontrer une ligne de A et une colonne de B.

📖 5. Élément neutre et propriétés du produit

★ À maîtriser

• Pour toute matrice carrée A d’ordre n, la matrice identité vérifie $I_nA=AI_n=A$.

• Sous réserve que les produits soient définis, le produit matriciel est associatif : $A(BC)=(AB)C$.

• Sous réserve que les opérations soient définies, la multiplication matricielle est distributive à gauche et à droite : $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$.

Compléments

• Pour un réel λ et des matrices A et B dont le produit est défini, $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$.

📖 6. Puissances des matrices carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’une matrice : La puissance k-ième d’une matrice carrée A, pour un entier positif k, est le produit de k facteurs égaux à A, noté $A^k$.

📝 Points essentiels

• Pour une matrice carrée A non nulle, la puissance d’exposant zéro est la matrice identité de même ordre : $A^0=I_n$.

• Pour calculer une puissance positive d’une matrice carrée, on peut calculer d’abord une puissance précédente puis la multiplier par A, par exemple $A^3=A^2A$.

📖 7. Matrices de permutation et images

📝 Points essentiels

• La matrice T d’ordre 5 effectue une permutation cyclique des lignes de M lorsqu’on calcule TM.

• La matrice T d’ordre 5 effectue une permutation cyclique des colonnes de M lorsqu’on calcule MT.

• Une image numérique en noir et blanc peut être modélisée par une matrice dont les coefficients 0 représentent les pixels noirs et les coefficients 1 les pixels blancs.

📖 8. Inversibilité et inverse matriciel

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice B telle que $AB=BA=I_n$.
• Matrice inverse : Unique matrice telle que $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$.
• Déterminant d’ordre 2 : Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, le réel $ad-bc$ est le déterminant de A, noté $\det(A)$.

★ À maîtriser

📌 Pour une matrice carrée d’ordre 2, A est inversible si et seulement si $\det(A)\ne 0$; dans ce cas, $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

Compléments

• Pour deux matrices carrées A et B de même ordre, $AB=I_n$ équivaut à $BA=I_n$.

• Lorsqu’une matrice carrée A est inversible, il existe une unique matrice B telle que $AB=BA=I_n$.

📌 Pour montrer qu’une matrice carrée A d’ordre supérieur à 2 est inversible, il suffit de trouver une matrice B telle que $AB=I_n$.

📖 9. Résolution matricielle des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire à n équations et n inconnues est un système dont chaque équation est une combinaison linéaire des n inconnues, égale à un terme connu.

★ À maîtriser

• Un système linéaire à n équations et n inconnues s’écrit sous forme matricielle $AX=B$, où A est la matrice des coefficients, X la matrice colonne des inconnues et B la matrice colonne des termes connus.

• Lorsque la matrice des coefficients A est inversible, la résolution matricielle du système AX = B suit une méthode déterminée.

Compléments

• Si la matrice des coefficients A n’est pas inversible, le système admet soit une infinité de solutions, soit aucune solution.