QCM : Généralités sur les matrices (20 questions)

Question 1

1. Un tableau de données comporte 4 lignes et 3 colonnes. Quelle est sa taille comme matrice ?

4\times3

3\times4

4\times12

7\times1

Explication

La taille d’une matrice s’écrit avec le nombre de lignes en premier et celui des colonnes en second : 4 lignes et 3 colonnes donnent $4\times3$ . $3\times4$ inverse les dimensions, $7\times1$ les additionne et $4\times12$ confond colonnes et nombre total d’éléments.

Answer

$$4\times3$$

Question 2

2. Dans une matrice, le coefficient $a_{2,3}$ est repéré. À quel emplacement se trouve-t-il ?

À l’intersection de la deuxième ligne et de la première colonne

À l’intersection de la troisième ligne et de la deuxième colonne

À l’intersection de la troisième ligne et de la troisième colonne

À l’intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne

Explication

Dans $a_{i,j}$ , le premier indice désigne la ligne et le second la colonne : $a_{2,3}$ se trouve donc à la deuxième ligne et à la troisième colonne. La troisième ligne et la deuxième colonne inverse les indices; les autres emplacements ne correspondent pas aux indices indiqués.

Answer

À l’intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne

Question 3

3. Une matrice carrée d’ordre 3 a des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs. De quel type de matrice s’agit-il ?

La matrice identité

I_3

Une matrice diagonale d’ordre 3 quelconque

La matrice nulle d’ordre 3

Une matrice carrée d’ordre 3 quelconque

Explication

La matrice identité est carrée, avec des 1 sur la diagonale et des 0 dans les autres positions; ici, c’est $I_3$ . La matrice nulle a tous ses coefficients nuls, une matrice carrée quelconque n’a pas nécessairement cette forme, et une matrice diagonale quelconque peut avoir d’autres valeurs sur sa diagonale.

Answer

La matrice identité $$I_3$$

Question 4

4. On compare $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ . Quelle conclusion s’applique à ces deux matrices ?

Elles ne sont pas égales, car leurs coefficients en position ligne 2, colonne 2 diffèrent

Elles sont égales, car elles ont la même dimension

Elles ne sont pas égales, car leurs dimensions diffèrent

Elles sont égales, car leurs coefficients de première ligne concordent

Explication

Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et si tous les coefficients de mêmes positions sont égaux; ici, les coefficients en position ligne 2, colonne 2 valent 4 et 5. La même dimension ou l’accord de la première ligne ne suffit pas, et leurs dimensions ne diffèrent pas.

Answer

Elles ne sont pas égales, car leurs coefficients en position ligne 2, colonne 2 diffèrent

Question 5

5. Une matrice $A$ a 2 lignes et 3 colonnes, tandis qu’une matrice $B$ en a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle opération est définie entre $A$ et $B$ ?

La somme

A+B

et le produit

AB

Ni la somme

A+B

ni le produit

AB

La somme

A+B

, mais pas le produit

AB

Le produit

AB

, mais pas la somme

A+B

Explication

La somme exige des matrices de même taille, alors que le produit $AB$ est défini lorsque le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ . La somme confond ces conditions, l’interdiction de toute opération néglige la compatibilité du produit, et l’inversion des dimensions conduit à écarter à tort la somme.

Answer

Le produit $$AB$$, mais pas la somme $$A+B$$

Question 6

6. On multiplie la matrice $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ par le réel $-2$ . Quelle matrice obtient-on ?

\begin{pmatrix}-4&2\\0&-6\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&1\\0&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0&-3\\-2&1\end{pmatrix}

Explication

Multiplier une matrice par un réel consiste à multiplier chacun de ses coefficients par ce réel : ici, chaque coefficient est multiplié par $-2$ . Garder certains coefficients inchangés oublie une entrée, utiliser l’inverse remplace la multiplication par une division, et ajouter le réel confond multiplication et addition.

Answer

$$\begin{pmatrix}-4&2\\0&-6\end{pmatrix}$$

Question 7

7. Une matrice $A$ possède 4 lignes et 2 colonnes, et une matrice $B$ possède 2 lignes et 5 colonnes. Quelle est la taille du produit $AB$ ?

2\times2

4\times2

4\times5

5\times4

Explication

Le produit est défini car les 2 colonnes de $A$ correspondent aux 2 lignes de $B$ ; sa taille reprend les dimensions extérieures, soit $4\times5$ . La réponse $2\times2$ conserve les dimensions intérieures, $4\times2$ reprend celles de $A$ , et $5\times4$ les inverse.

Answer

$$4\times5$$

Question 8

8. Pour calculer le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne de $AB$ , où $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}4&-1\\5&2\end{pmatrix}$ , quelle opération faut-il effectuer ?

1\times(-1)+0\times2=-1

1+2-1+2=4

1\times4+2\times5=14

1\times(-1)+2\times2=3

Explication

Un coefficient du produit se calcule en multipliant les termes correspondants de la ligne choisie de $A$ et de la colonne choisie de $B$ , puis en additionnant : $1\times(-1)+2\times2=3$ . Additionner les termes sans les multiplier confond produit et somme, choisir la première colonne change la colonne demandée, et prendre la deuxième ligne de $A$ change la ligne demandée.

Answer

$$1\times(-1)+2\times2=3$$

Question 9

9. Deux matrices carrées $A$ et $B$ sont telles que les produits $AB$ et $BA$ sont tous deux définis. Quelle conclusion est généralement correcte ?

Le produit

BA

n’est pas défini

Le produit

AB

est nécessairement nul

Les deux produits peuvent être différents

Les deux produits sont nécessairement égaux

Explication

Le produit matriciel n’est généralement pas commutatif : même si les deux produits existent, $AB$ et $BA$ peuvent différer. Leur égalité systématique transpose à tort une propriété de l’addition; leur existence ne les rend pas égaux, et l’hypothèse précise que les deux sont définis.

Answer

Les deux produits peuvent être différents

Question 10

10. On considère une matrice carrée $A$ d’ordre 3. Quel résultat obtient-on en calculant $I_3A$ et $AI_3$ ?

Dans les deux cas, on obtient

A

.

Dans les deux cas, on obtient la matrice nulle d’ordre 3.

On obtient

A

à gauche et la matrice nulle à droite.

Dans les deux cas, on obtient

A+I_3

.

Explication

La matrice identité d’ordre 3 est l’élément neutre du produit matriciel : $I_3A=AI_3=A$ . La matrice nulle est confondue avec l’identité dans la première erreur, tandis que les deux autres réponses supposent à tort une différence entre les côtés ou remplacent le produit par une somme.

Answer

Dans les deux cas, on obtient $$A$$.

Question 11

11. Pour trois matrices $A$ , $B$ et $C$ , les produits concernés étant définis, quelle réécriture de $A(BC)$ est valide ?

A(B+C)

(AC)B

(BA)C

(AB)C

Explication

L’associativité permet de modifier le groupement des facteurs sans changer leur ordre : $A(BC)=(AB)C$ . Les réponses $(BA)C$ et $(AC)B$ changent l’ordre des facteurs, et $A(B+C)$ substitue une somme à un produit.

Answer

Le produit de $$k$$ facteurs égaux à $$A$$.

Answer

Une permutation cyclique des lignes de M

Answer

Un pixel noir

Answer

AB = BA = I₃

Answer

L’unique matrice dont les produits avec A donnent l’identité

Answer

$$\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$$

Answer

La colonne des termes connus des trois équations

Answer

Multiplier à gauche les deux membres par $$A^{-1}$$

Question 12

12. Dans un calcul où les dimensions permettent toutes les opérations, comment développer $(A+B)C$ ?

AC+BC

AC

(A+B)+C

A(BC)

Explication

La distributivité à droite donne $(A+B)C=AC+BC$ , en conservant le facteur $C$ dans chacun des produits. $A(BC)$ change le groupement, $AC$ omet le terme issu de $B$ , et $(A+B)+C$ remplace la multiplication par une addition.

Question 13

13. Pour une matrice carrée $A$ et un entier positif $k$ , que désigne $A^k$ ?

La somme de

k

facteurs égaux à

A

.

Le produit de

k

matrices carrées différentes.

Le produit de

A

par le réel

k

.

Le produit de

k

facteurs égaux à

A

.

Explication

Par définition, $A^k$ est le produit de $k$ facteurs identiques à $A$ . La multiplication par le réel $k$ et la somme de copies de $A$ ne sont pas des puissances, et les facteurs ne sont pas des matrices différentes.

Question 14

14. Pour une matrice carrée M d’ordre 5, quel effet produit le calcul de TM lorsque T est la matrice de permutation cyclique donnée ?

Une permutation cyclique des colonnes de M

Une permutation des coefficients diagonaux de M

Une permutation cyclique des lignes de M

Une permutation cyclique inverse des lignes de M

Explication

La multiplication à gauche par T permute cycliquement les lignes de M. La permutation des colonnes correspond à MT, tandis que la permutation inverse ou des diagonales n’est pas l’effet indiqué.

Question 15

15. Dans une matrice représentant une image numérique en noir et blanc, quelle couleur correspond à un pixel codé par 0 ?

Un pixel blanc

Un pixel noir

Un pixel gris

Un pixel transparent

Explication

Dans ce modèle, les coefficients 0 représentent les pixels noirs et les coefficients 1 les pixels blancs. Le codage du blanc est donc inversé dans le distracteur correspondant, tandis que gris et transparence ne font pas partie de cette représentation binaire.

Question 16

16. Pour une matrice carrée A d’ordre 3, quelle condition sur une matrice B établit qu'A est inversible ?

AB = BA = 0

AB = I₃ et BA = 0

AB = 0 et BA = I₃

AB = BA = I₃

Explication

A est inversible lorsqu’il existe une matrice B telle que les deux produits AB et BA soient égaux à l’identité d’ordre 3. Vérifier un seul produit ne formule pas la définition, et la matrice nulle n’est pas l’identité.

Question 17

17. Que désigne la notation A⁻¹ lorsqu'A est une matrice inversible ?

La matrice identité de même ordre qu'A

L’unique matrice dont les produits avec A donnent l’identité

La matrice obtenue en changeant le signe de chaque coefficient de A

La matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A

Explication

A⁻¹ est l’unique matrice qui vérifie AA⁻¹ = A⁻¹A = I. La matrice opposée, la transposée et l’identité ne désignent pas en général cet inverse.

Question 18

18. On considère une matrice carrée d’ordre 2 $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ . Quel est son inverse ?

\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-2&1\\3&-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}

\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}

Explication

Le déterminant vaut $2\times2-1\times3=1$ . On échange les coefficients diagonaux et on change le signe des autres, puis on divise par 1; le facteur $\frac{1}{2}$ oublie le déterminant réel, et les autres réponses appliquent mal la règle d’inversion.

Question 19

19. Pour représenter un système linéaire de trois équations à trois inconnues sous la forme $AX=B$ , que représente la matrice colonne $B$ ?

La colonne des termes connus des trois équations

La colonne des coefficients de chaque inconnue

La matrice des coefficients des trois équations

La colonne des trois inconnues à déterminer

Explication

Dans $AX=B$ , $B$ est la matrice colonne des termes connus, tandis que $X$ rassemble les inconnues et que $A$ contient les coefficients. La colonne des inconnues confond $B$ avec $X$ , et les deux réponses portant sur les coefficients attribuent à $B$ le rôle de $A$ .

Question 20

20. Un système est écrit $AX=B$ et sa matrice des coefficients $A$ est inversible. Quelle opération permet d’isoler la matrice des inconnues $X$ ?

Multiplier à droite les deux membres par

A^{-1}

Multiplier à gauche les deux membres par

A^{-1}

Multiplier à gauche les deux membres par

A^{T}

Soustraire

A

aux deux membres de l’égalité

Explication

La multiplication à gauche par $A^{-1}$ donne $A^{-1}AX=A^{-1}B$ , donc $X=A^{-1}B$ puisque $A^{-1}A=I$ . Multiplier à droite ne réalise pas cette simplification, la transposée ne remplace pas l’inverse, et soustraire $A$ n’isole pas $X$ .

QCM : Généralités sur les matrices (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un tableau de données comporte 4 lignes et 3 colonnes. Quelle est sa taille comme matrice ?

2. Dans une matrice, le coefficient $a_{2,3}$ est repéré. À quel emplacement se trouve-t-il ?

3. Une matrice carrée d’ordre 3 a des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs. De quel type de matrice s’agit-il ?

4. On compare $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ . Quelle conclusion s’applique à ces deux matrices ?

5. Une matrice $A$ a 2 lignes et 3 colonnes, tandis qu’une matrice $B$ en a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle opération est définie entre $A$ et $B$ ?

6. On multiplie la matrice $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ par le réel $-2$ . Quelle matrice obtient-on ?

7. Une matrice $A$ possède 4 lignes et 2 colonnes, et une matrice $B$ possède 2 lignes et 5 colonnes. Quelle est la taille du produit $AB$ ?

8. Pour calculer le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne de $AB$ , où $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}4&-1\\5&2\end{pmatrix}$ , quelle opération faut-il effectuer ?

9. Deux matrices carrées $A$ et $B$ sont telles que les produits $AB$ et $BA$ sont tous deux définis. Quelle conclusion est généralement correcte ?

10. On considère une matrice carrée $A$ d’ordre 3. Quel résultat obtient-on en calculant $I_3A$ et $AI_3$ ?

11. Pour trois matrices $A$ , $B$ et $C$ , les produits concernés étant définis, quelle réécriture de $A(BC)$ est valide ?

12. Dans un calcul où les dimensions permettent toutes les opérations, comment développer $(A+B)C$ ?

13. Pour une matrice carrée $A$ et un entier positif $k$ , que désigne $A^k$ ?

14. Pour une matrice carrée M d’ordre 5, quel effet produit le calcul de TM lorsque T est la matrice de permutation cyclique donnée ?

15. Dans une matrice représentant une image numérique en noir et blanc, quelle couleur correspond à un pixel codé par 0 ?

16. Pour une matrice carrée A d’ordre 3, quelle condition sur une matrice B établit qu'A est inversible ?

17. Que désigne la notation A⁻¹ lorsqu'A est une matrice inversible ?

18. On considère une matrice carrée d’ordre 2 $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ . Quel est son inverse ?

19. Pour représenter un système linéaire de trois équations à trois inconnues sous la forme $AX=B$ , que représente la matrice colonne $B$ ?

20. Un système est écrit $AX=B$ et sa matrice des coefficients $A$ est inversible. Quelle opération permet d’isoler la matrice des inconnues $X$ ?

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QCM : Généralités sur les matrices (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un tableau de données comporte 4 lignes et 3 colonnes. Quelle est sa taille comme matrice ?

2. Dans une matrice, le coefficient a2,3a_{2,3}a2,3​ est repéré. À quel emplacement se trouve-t-il ?

3. Une matrice carrée d’ordre 3 a des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs. De quel type de matrice s’agit-il ?

4. On compare A=(1234)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}A=(13​24​) et B=(1235)B=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}B=(13​25​). Quelle conclusion s’applique à ces deux matrices ?

5. Une matrice AAA a 2 lignes et 3 colonnes, tandis qu’une matrice BBB en a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle opération est définie entre AAA et BBB ?

6. On multiplie la matrice A=(2−103)A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}A=(20​−13​) par le réel −2-2−2. Quelle matrice obtient-on ?

7. Une matrice AAA possède 4 lignes et 2 colonnes, et une matrice BBB possède 2 lignes et 5 colonnes. Quelle est la taille du produit ABABAB ?

8. Pour calculer le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne de ABABAB, où A=(1230)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}A=(13​20​) et B=(4−152)B=\begin{pmatrix}4&-1\\5&2\end{pmatrix}B=(45​−12​), quelle opération faut-il effectuer ?

9. Deux matrices carrées AAA et BBB sont telles que les produits ABABAB et BABABA sont tous deux définis. Quelle conclusion est généralement correcte ?

10. On considère une matrice carrée AAA d’ordre 3. Quel résultat obtient-on en calculant I3AI_3AI3​A et AI3AI_3AI3​ ?

11. Pour trois matrices AAA, BBB et CCC, les produits concernés étant définis, quelle réécriture de A(BC)A(BC)A(BC) est valide ?

12. Dans un calcul où les dimensions permettent toutes les opérations, comment développer (A+B)C(A+B)C(A+B)C ?

13. Pour une matrice carrée AAA et un entier positif kkk, que désigne AkA^kAk ?

14. Pour une matrice carrée M d’ordre 5, quel effet produit le calcul de TM lorsque T est la matrice de permutation cyclique donnée ?

15. Dans une matrice représentant une image numérique en noir et blanc, quelle couleur correspond à un pixel codé par 0 ?

16. Pour une matrice carrée A d’ordre 3, quelle condition sur une matrice B établit qu'A est inversible ?

17. Que désigne la notation A⁻¹ lorsqu'A est une matrice inversible ?

18. On considère une matrice carrée d’ordre 2 A=(2132)A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}A=(23​12​). Quel est son inverse ?

19. Pour représenter un système linéaire de trois équations à trois inconnues sous la forme AX=BAX=BAX=B, que représente la matrice colonne BBB ?

20. Un système est écrit AX=BAX=BAX=B et sa matrice des coefficients AAA est inversible. Quelle opération permet d’isoler la matrice des inconnues XXX ?

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2. Dans une matrice, le coefficient $a_{2,3}$ est repéré. À quel emplacement se trouve-t-il ?

4. On compare $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ . Quelle conclusion s’applique à ces deux matrices ?

5. Une matrice $A$ a 2 lignes et 3 colonnes, tandis qu’une matrice $B$ en a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle opération est définie entre $A$ et $B$ ?

6. On multiplie la matrice $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ par le réel $-2$ . Quelle matrice obtient-on ?

7. Une matrice $A$ possède 4 lignes et 2 colonnes, et une matrice $B$ possède 2 lignes et 5 colonnes. Quelle est la taille du produit $AB$ ?

8. Pour calculer le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne de $AB$ , où $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}4&-1\\5&2\end{pmatrix}$ , quelle opération faut-il effectuer ?

9. Deux matrices carrées $A$ et $B$ sont telles que les produits $AB$ et $BA$ sont tous deux définis. Quelle conclusion est généralement correcte ?

10. On considère une matrice carrée $A$ d’ordre 3. Quel résultat obtient-on en calculant $I_3A$ et $AI_3$ ?

11. Pour trois matrices $A$ , $B$ et $C$ , les produits concernés étant définis, quelle réécriture de $A(BC)$ est valide ?

12. Dans un calcul où les dimensions permettent toutes les opérations, comment développer $(A+B)C$ ?

13. Pour une matrice carrée $A$ et un entier positif $k$ , que désigne $A^k$ ?

18. On considère une matrice carrée d’ordre 2 $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$ . Quel est son inverse ?

19. Pour représenter un système linéaire de trois équations à trois inconnues sous la forme $AX=B$ , que représente la matrice colonne $B$ ?

20. Un système est écrit $AX=B$ et sa matrice des coefficients $A$ est inversible. Quelle opération permet d’isoler la matrice des inconnues $X$ ?