QCM : Matrices et transformations géométriques (49 questions)

Explication

Le modèle du sténopé, également appelé modèle pin-hole, est un modèle simple de formation des images. La correction colorimétrique concerne les couleurs, la lentille complexe décrit un autre système optique et la reconstruction volumique vise à retrouver la scène tridimensionnelle.

Explication

Le polynôme se factorise en $(\lambda-2)(\lambda-5)$, donc ses racines sont $2$ et $5$. Les racines négatives ne respectent pas les coefficients, $1$ et $10$ confondent somme et produit, et les coefficients diagonaux ne sont pas ici les racines.

Explication

Le cofacteur vaut $(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$; pour $(2,3)$, l’exposant vaut $5$, donc le cofacteur est l’opposé du déterminant du mineur. Le mineur lui-même est une matrice, tandis que le cofacteur est un scalaire.

Explication

L’associativité du produit matriciel garantit que changer le regroupement des facteurs compatibles ne change pas le résultat : $(AB)C=A(BC)$. Les autres égalités modifient l’ordre des facteurs, ce que l’associativité ne permet pas, ou invoquent une distributivité sans somme.

Explication

Deux matrices de la même application linéaire écrites dans des bases différentes sont dites semblables. L’identité terme à terme est plus exigeante, l’équivalence ne désigne pas cette relation de représentation, et la diagonalité est une propriété distincte.

Explication

Un vecteur ligne de $n$ composantes a une ligne et $n$ colonnes, donc sa dimension est $(1,n)$, ici $(1,7)$. $(7,1)$ correspond à un vecteur colonne, tandis que les autres choix ne représentent pas ce vecteur.

Explication

Chaque colonne de $P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ contient les coordonnées, dans $\mathcal B$, d’un vecteur de la base $\mathcal B'$. Prendre les coordonnées dans l’autre sens inverse les bases, tandis que les coordonnées d’un vecteur quelconque ne définissent pas cette matrice.

Explication

La formule est $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,{}^{t}L$; comme $\det(A)=5$, il faut prendre un cinquième de la comatrice transposée. Utiliser $L$ sans la transposer omet une étape essentielle, et multiplier par cinq inverse le facteur.

Explication

La projection sur l’axe $\vec e_1$ conserve la première coordonnée et annule les composantes selon $\vec e_2$ et $\vec e_3$. Le résultat $(0,b,c)$ correspond à une projection sur le plan engendré par $\vec e_2,\vec e_3$; les deux autres réponses conservent à tort une composante transversale.

Explication

Une famille de trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$ est une base si et seulement si son déterminant est non nul ; un déterminant nul exclut donc qu’elle soit une base. La liberté ou l’orthogonalité de deux vecteurs ne remplace pas ce critère.

Explication

Dans la base adaptée, le premier vecteur est sur l’axe et reste inchangé, tandis que le second est perpendiculaire et est envoyé sur zéro. La matrice à coefficients égaux correspond à la base canonique, la diagonale inversée échange les directions, et la matrice avec $-1$ décrit une symétrie.

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul; ici, $-6\ne0$. Le déterminant négatif ne signifie pas qu’il est nul, et son signe n’a pas à être positif.

Explication

Pour une matrice d’ordre 2, $\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, donc $3\times1-(-2)\times4=11$. La valeur $1$ vient de l’addition des produits, et $-11$ inverse l’ordre de la soustraction.

Explication

Pour passer des coordonnées dans $\mathcal B$ à celles dans $\mathcal B'$, on utilise l’inverse de la matrice de passage : $X'=P_{\mathcal B,\mathcal B'}^{-1}X$. Multiplier par $P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ donne le changement dans le sens opposé ; la transposée et le carré ne remplacent pas l’inverse.

Explication

Le déterminant d’une matrice carrée réelle est un nombre réel, et il n’est pas nécessairement positif. Le choix « matrice carrée » confond valeur et matrice, tandis que « nécessairement positif » exclut à tort les déterminants négatifs.

Explication

Le mineur $M_{ij}$ s’obtient en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$; supprimer ces deux éléments d’une matrice d’ordre 4 laisse une matrice d’ordre 3. Intervertir les indices supprime les mauvaises lignes et colonnes.

Explication

Pour des vecteurs-colonnes, la transformation appliquée en premier apparaît à droite du produit : la rotation autour de $\vec e_1$ est donc suivie par la multiplication à gauche de celle autour de $\vec e_2$. Inverser l’ordre confond l’ordre d’application avec l’ordre d’écriture; additionner les matrices ne compose pas les rotations; ignorer la première rotation omet une étape.

Explication

En multipliant le système par l’inverse de sa matrice des coefficients, on obtient l’unique solution $X=A^{-1}B$. $AB$ omet l’inversion, $BA^{-1}$ place le second membre du mauvais côté, et $B^{-1}A$ inverse la mauvaise matrice.

Explication

Le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$, donc le produit est défini et sa dimension associe les lignes de $A$ aux colonnes de $B$ : $(3,2)$. $(4,2)$ et $(3,4)$ reprennent les dimensions d’un facteur, et $(2,3)$ les inverse.

Explication

L’axe $\vec e_1$ reste fixe et la rotation agit sur le plan engendré par $\vec e_2$ et $\vec e_3$ selon le bloc $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$. Inverser les signes donne le sens opposé, modifier la première colonne fait changer l’axe, et une réflexion n’est pas une rotation.

Explication

Les coordonnées homogènes ajoutent aux trois coordonnées spatiales une quatrième coordonnée, par défaut égale à $1$, ce qui permet de représenter une translation par une matrice. Les coordonnées cartésiennes ordinaires ne rendent pas la translation linéaire; $w=0$ ne correspond pas à la représentation standard d’un point, et les coordonnées polaires ne sont pas le mécanisme décrit.

Explication

La règle de Cramer associe à $x_2$ la matrice obtenue en remplaçant la deuxième colonne par le second membre, puis prend le rapport entre le déterminant ainsi obtenu et celui de la matrice des coefficients. Remplacer une ligne confond ligne et colonne, et inverser le rapport donne la mauvaise division.

Explication

Dans une base orthonormée directe de l’espace, le volume du parallélépipède est la valeur absolue du déterminant, ici $|12|=12$. Le signe ne rend pas le volume négatif, et aucun facteur de moitié ou de deux n’intervient.

Explication

Dans $\mathbb{R}^2$, deux vecteurs non colinéaires forment une base et permettent une écriture unique de tout vecteur du plan. L’orthogonalité et la norme un décrivent des propriétés supplémentaires; la non-coplanarité concerne trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$.

Explication

La multiplication matricielle n’est généralement pas commutative : même lorsque les deux produits sont définis, $AB$ ne vaut pas nécessairement $BA$. L’égalité systématique confond le produit matriciel avec la multiplication des nombres, et l’associativité concerne le regroupement des facteurs, non leur ordre.

Explication

La linéarité exige à la fois l’additivité et l’homogénéité par rapport aux scalaires. La conservation des normes, l’additivité seule ou la préservation des produits ne remplace pas ces deux conditions.

Explication

Dans une base orthonormée directe du plan, l’aire est la valeur absolue du déterminant, donc $|-7|=7$. La valeur signée renseigne sur l’orientation, tandis que la moitié ou le double ne correspond pas à l’aire du parallélogramme.

Explication

Contrairement à la multiplication des réels, la multiplication matricielle n’est pas commutative en général : même si les deux produits sont définis, ils peuvent différer. L’associativité concerne le regroupement des facteurs, et le fait que les matrices soient carrées ne garantit pas l’égalité des produits.

Explication

Pour $n$ équations à $n$ inconnues, $A$ est la matrice carrée des coefficients, tandis que $X$ contient les inconnues et $B$ les seconds membres. Intervertir $X$ et $B$ inverse leurs rôles, et une matrice colonne ou rectangulaire ne correspond pas à la matrice carrée des coefficients décrite.

Explication

La transposée d’un produit inverse l’ordre des facteurs : ${}^{t}(ABC)={}^tC\,{}^tB\,{}^tA$. Conserver l’ordre initial ou ne déplacer que certains facteurs ne respecte pas cette règle.

Explication

Dans cette base propre, les vecteurs de base sont associés respectivement aux valeurs propres $2$ et $5$, qui forment la diagonale dans cet ordre. La diagonale inversée échange ces associations, les valeurs $3$ et $4$ sont les termes diagonaux de la matrice initiale, et la dernière matrice reste celle de la base de départ.

Explication

La matrice identité de même dimension laisse une matrice carrée inchangée par multiplication : $AI=IA=A$. La matrice nulle annulerait le produit, tandis que l’identité n’impose ni transposition ni remplacement de $A$ par $I$.

Explication

Dans $\mathbb R^2$, deux vecteurs dont le déterminant est non nul sont linéairement indépendants et forment une base. La colinéarité et la dépendance correspondent à un déterminant nul ; le déterminant ne donne pas directement leurs longueurs.

Explication

Diagonaliser consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de la même application est diagonale. Le déterminant nul et la symétrie sont des propriétés différentes, et la démarche ne modifie pas l’application.

Explication

Dans $a_{ij}$, le premier indice désigne la ligne et le second la colonne : la position demandée est donc $a_{32}$. $a_{23}$ inverse les indices, tandis que $a_{22}$ et $a_{33}$ désignent d’autres positions.

Explication

Le changement de coordonnées conduit à $A'=P^{-1}AP$. L’expression $PAP^{-1}$ inverse l’ordre des facteurs, tandis que les expressions avec deux facteurs $P$ ou deux inverses ne respectent pas la relation de changement de base.

Explication

La matrice d’une rotation plane est $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ; pour $\theta=\frac{\pi}{2}$, le cosinus vaut $0$ et le sinus vaut $1$. La matrice avec les signes hors diagonale inversés correspond à l’angle opposé, tandis que les autres propositions ne respectent pas cette forme.

Explication

Une base orthogonale devient orthonormale lorsque chacun de ses vecteurs a une norme égale à un; ici, elle reste donc orthogonale sans être orthonormale. L’orthogonalité ne dépend pas de la norme, et l’orientation positive est une propriété distincte.

Explication

Lorsque $w\ne1$, la normalisation consiste à diviser chacune des trois premières coordonnées par $w$ : ici, $12/3=4$, $-6/3=-2$ et $9/3=3$. Garder les coordonnées inchangées omet la normalisation; diviser par $w^2$ applique un facteur erroné; ne diviser qu’une coordonnée ne normalise pas le point.

Explication

Un développement selon la ligne $i$ est la somme des produits $a_{ij}A_{ij}$ pour cette ligne, où $A_{ij}$ désigne le cofacteur correspondant. Prendre les coefficients d’une colonne change l’axe du développement, et employer les mineurs omet leurs signes de cofacteur.

Explication

L’inverse vaut $\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ ; son produit par $\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$ donne $\frac12\begin{pmatrix}1\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12\frac92\end{pmatrix}$. Le résultat $(1,9)$ oublie le facteur un demi, tandis que l’emploi de la mauvaise matrice ou l’inversion des coordonnées conduit aux autres erreurs.

Explication

Le vecteur $(1,2)$ est associé à la valeur propre $5$, c’est-à-dire que son image vaut cinq fois ce vecteur. $(1,-1)$ est associé à $2$, et les deux autres vecteurs proposés ne sont pas les vecteurs propres indiqués pour cette valeur propre.

Explication

Les transformations linéaires usuelles du plan comprennent notamment les projections selon une droite passant par l’origine. Une translation n’est pas linéaire, une rotation autour d’un axe concerne l’espace, et une droite qui ne passe pas par l’origine ne satisfait pas la condition indiquée.

Explication

Une matrice carrée est inversible lorsqu’une matrice de même dimension lui donne l’identité par multiplication dans les deux ordres. Exiger seulement $AB=I$ néglige la condition sur $BA$, une dimension différente ne convient pas, et un produit nul ne définit pas l’inverse.

Explication

Pour appliquer d’abord $g$, de matrice $B$, puis $f$, de matrice $A$, la matrice de la composée $f\circ g$ est $AB$. $BA$ inverse l’ordre correspondant à la composition, tandis que $A$ ou $B$ ne représente qu’une des deux applications.

Explication

La matrice de passage transforme les coordonnées dans $\mathcal B'$ en coordonnées dans $\mathcal B$ selon $X=P_{\mathcal B,\mathcal B'}X'$. La relation inversée exige la matrice inverse ; le carré et la transposée ne sont pas la règle de changement de coordonnées.

Explication

Pour un système carré, un déterminant non nul garantit une solution unique, que l’on peut calculer par la méthode de Cramer. L’absence de solution et l’infinité de solutions sont des conclusions erronées; la méthode ne se limite pas aux systèmes de deux équations.

Explication

Les applications linéaires de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ sont de la forme $f(x)=ax$. Le terme constant non nul des fonctions affines fait notamment que leur image de zéro n’est pas zéro ; la fonction quadratique ne respecte pas non plus la linéarité.

Explication

La représentation matricielle d’une application linéaire donne les coordonnées de l’image par le produit $Y=AX$ ; une matrice $3\times2$ agit ici à gauche sur le vecteur-colonne $X$. Le produit $XA$ inverse l’ordre, tandis que la transposée et l’addition ne décrivent pas la règle donnée.