Fiche de révision : Matrices et transformations géométriques

📋 Plan du Cours

1. Matrices et dimensions
2. Opérations sur les matrices
3. Matrices inversibles et systèmes
4. Opérations et produits matriciels
5. Déterminants et méthode de Cramer
6. Mineurs, cofacteurs et matrice inverse
7. Déterminants et systèmes linéaires
8. Bases et coordonnées vectorielles
9. Déterminants et géométrie
10. Matrices de passage
11. Coordonnées dans une nouvelle base
12. Matrice d’une fonction linéaire
13. Transformations linéaires du plan
14. Rotations élémentaires dans l’espace
15. Transformations géométriques de l’espace
16. Modèle du sténopé et coordonnées homogènes
17. Changements de base et diagonalisation
18. Exemple de diagonalisation en dimension deux

📖 1. Matrices et dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice réelle : Tableau de nombres réels organisé en lignes et en colonnes, dont le coefficient a_{ij} se trouve à la ligne i et à la colonne j.
• Matrice carrée : Matrice de dimension (n,n), qui possède autant de lignes que de colonnes.

📝 Points essentiels

📌 Un vecteur colonne de m composantes est une matrice de dimension (m,1), tandis qu’un vecteur ligne de n composantes est une matrice de dimension (1,n).

📖 2. Opérations sur les matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice identité : Matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent 1; pour toute matrice carrée A de même dimension, AI=IA=A.
• Matrice transposée : Matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A; si A est de dimension (m,n), {}^tA est de dimension (n,m).

★ À maîtriser

• Le produit AB est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B; si A est de dimension (m,n) et B de dimension (n,p), AB est de dimension (m,p) et ses coefficients vérifient $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

📌 Le produit matriciel n’est généralement pas commutatif, car AB ne vaut pas nécessairement BA.

• Si g va de ℝᵐ vers ℝᵏ avec matrice B et f de ℝᵏ vers ℝⁿ avec matrice A, la matrice de f∘g est $AB$.

Compléments

📌 La somme de deux matrices de même dimension s’obtient en additionnant leurs coefficients correspondants.

• La multiplication matricielle est associative et distributive par rapport à l’addition à gauche comme à droite : (AB)C=A(BC), A(B+C)=AB+AC et (B+C)A=BA+CA.

• La transposition vérifie {}^t(A+B)={}^tA+{}^tB, {}^t({}^tA)=A et {}^t(AB)={}^tB,{}^tA.

• Pour deux fonctions linéaires f et g de mêmes espaces de départ et d’arrivée, de matrices A et B, les matrices de f+g et de λf sont respectivement A+B et λA.

• Le facteur d’échelle 2 selon l’axe (O,e₁) a pour matrice $\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ dans la base B.

• La rotation de centre O et d’angle −π/2 a pour matrice $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ dans la base B.

• La composée f∘r, où f est le facteur d’échelle 2 selon e₁ et r la rotation d’angle −π/2, a pour matrice $\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}$.

• Pour le point (1,−2), f∘r donne les coordonnées (−4,−1), tandis que r∘f donne (−2,−2).

💡 Astuce mémo

Dans une composée, l’ordre compte : la matrice de f∘g est A·B, celle de g∘f est B·A.

📖 3. Matrices inversibles et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même dimension telle que AB=BA=I; B est alors l’inverse de A, noté A^{-1}.

★ À maîtriser

• Un système de n équations linéaires à n inconnues s’écrit matriciellement AX=B, où A est la matrice carrée des coefficients et X et B sont les vecteurs colonnes des inconnues et du second membre.

📌 Si A est inversible, le système AX=B admet un unique vecteur solution donné par $X=A^{-1}B$.

Compléments

• 🔄 La recherche d’un inverse par résolution suit ces étapes. :
  1. Poser les coefficients inconnus dans une matrice B.
  2. Développer AB=I en systèmes linéaires.
  3. Résoudre les systèmes obtenus.
  4. Vérifier que le produit obtenu vaut I.

📖 4. Opérations et produits matriciels

📝 Points essentiels

📌 La multiplication matricielle n’est pas commutative en général : deux matrices peuvent vérifier $AB\ne BA$.

• Le produit matriciel est associatif : pour des matrices de dimensions compatibles, $(AB)C=A(BC)$.

• La transposée d’un produit de matrices s’obtient en inversant l’ordre des facteurs : ${}^{t}(ABC)={}^{t}C\,{}^{t}B\,{}^{t}A$.

💡 Astuce mémo

AB et BA peuvent différer, tandis que (AB)C et A(BC) coïncident.

📖 5. Déterminants et méthode de Cramer

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant : Le déterminant d’une matrice carrée à coefficients réels est un nombre réel, pas nécessairement positif, noté $\det(A)$ ou $|A|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une matrice d’ordre 2, $\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

📌 Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

• Pour résoudre un système carré par la méthode de Cramer, on remplace successivement chaque colonne de la matrice des coefficients par le vecteur second membre, puis on divise le déterminant de chaque matrice obtenue par le déterminant de la matrice des coefficients.

📐 Formule - Si $\det(A)\ne0$, le système $AX=B$ possède un unique vecteur solution et, pour chaque $i\in\{1,\ldots,n\}$, $x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$, où $A_i$ est obtenue en remplaçant la ième colonne de A par B.

Compléments

📌 Si $\det(A)=0$, le système n’a soit aucune solution, soit une infinité de solutions, et la méthode de Cramer ne permet pas de conclure.

📖 6. Mineurs, cofacteurs et matrice inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Mineur : Le mineur $M_{ij}$ d’une matrice carrée d’ordre n est la matrice carrée d’ordre n−1 obtenue en supprimant sa ième ligne et sa jème colonne.
• Cofacteur : Le cofacteur associé à la position $(i,j)$ est le scalaire $A_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$.
• Comatrice : La comatrice L d’une matrice carrée A est la matrice de ses cofacteurs $L=(A_{ij})$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le déterminant peut se développer selon la ligne i par $\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ ou selon la colonne j par $\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$.

📐 Formule - Pour une matrice carrée inversible A de comatrice L, $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,{}^{t}L$.

Compléments

• Les signes des cofacteurs suivent un motif en échiquier commençant par + en position (1,1), puis alternant à chaque ligne et à chaque colonne.

📐 Formule - Pour A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} avec $ad-bc\ne0$, $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Un échiquier de signes alterne les signes des cofacteurs.

📖 7. Déterminants et systèmes linéaires

★ À maîtriser

📌 Un système linéaire carré dont la matrice des coefficients a un déterminant non nul admet une unique solution, calculable par la méthode de Cramer.

📐 Formule - La solution du système paramétré est $x=a-2b+\frac32c$, $y=b-c$ et $z=-a+3b-2c$.

Compléments

• Le déterminant de la matrice d’ordre 4 du système donné vaut $-4$.

• Pour le système donné, la solution est $x_1=\frac14$, $x_2=\frac{15}{4}$, $x_3=\frac94$ et $x_4=-\frac34$.

📐 Formule - Pour le système de matrice des coefficients $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-1&2\\2&-2&2\end{pmatrix}$ et de second membre $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$, $\det(A)=2$ et $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&\frac32\\0&1&-1\\-1&3&-2\end{pmatrix}$.

📖 8. Bases et coordonnées vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de ℝ² : Une famille de deux vecteurs non colinéaires de $\mathbb{R}^2$ est une base, et tout vecteur du plan s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs.
• Base de ℝ³ : Trois vecteurs non coplanaires de $\mathbb{R}^3$ forment une base, et tout vecteur de l’espace s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
• Base orthogonale : Une base de $\mathbb{R}^2$ est orthogonale lorsque ses deux vecteurs sont orthogonaux.
• Base orthonormale : Une base orthogonale est orthonormale lorsque chacun de ses vecteurs est de norme 1.

📝 Points essentiels

• Les coordonnées d’un vecteur dépendent généralement de la base choisie, tandis que le vecteur nul a les coordonnées $(0{,}0)$ dans toute base de $\mathbb{R}^2$.

📖 9. Déterminants et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de vecteurs : Le déterminant de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est celui de la matrice carrée dont les colonnes sont les coordonnées de ces vecteurs dans une base.

★ À maîtriser

• Dans une base orthonormée directe de $\mathbb{R}^2$, la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l’aire du parallélogramme qu’ils définissent.

• Dans une base orthonormée directe de $\mathbb{R}^3$, la valeur absolue du déterminant de trois vecteurs est le volume du parallélépipède qu’ils définissent.

📌 Une famille de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est une base si et seulement si le déterminant de ces vecteurs est non nul.

Compléments

• Dans $\mathbb{R}^2$, deux vecteurs colinéaires ont un déterminant nul, et le signe du déterminant indique leur orientation : positif dans le sens direct et négatif dans le sens indirect.

• Dans $\mathbb{R}^3$, trois vecteurs coplanaires ont un déterminant nul, et le signe du déterminant indique si leur orientation est directe ou indirecte.

• Dans une base orthonormée directe, le déterminant des vecteurs de base dans leur ordre vaut $1$, et l’échange de deux vecteurs donne un déterminant égal à $-1$.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → parallélogramme ou parallélépipède plat

📖 10. Matrices de passage

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : La matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ a pour colonnes les coordonnées, dans $\mathcal B$, des vecteurs de la base $\mathcal B'$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $X$ et $X'$ sont les colonnes des coordonnées d’un même vecteur respectivement dans $\mathcal B$ et $\mathcal B'$, alors $X=P_{\mathcal B,\mathcal B'}X'$.

📐 Formule - La matrice de passage est inversible et les coordonnées vérifient $X'=P_{\mathcal B,\mathcal B'}^{-1}X$.

Compléments

• La matrice inverse de passage vérifie $P_{\mathcal B,\mathcal B'}^{-1}=P_{\mathcal B',\mathcal B}$.

💡 Astuce mémo

De B′ vers B : P ; de B vers B′ : P⁻¹

📖 11. Coordonnées dans une nouvelle base

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le vecteur de coordonnées (−4,5) dans B et la matrice de passage $P=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$, ses coordonnées dans B′ sont $P^{-1}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\9/2\end{pmatrix}$, avec $P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$.

Compléments

• Les vecteurs de coordonnées (1,1) et (−1,1) dans la base B′ ont pour déterminant 2 ; comme ce déterminant est non nul, ils forment une base de ℝ².

• La vérification des coordonnées de ce vecteur dans B′ donne $\vec v=\frac12\vec e'_1+\frac92\vec e'_2=-4\vec e_1+5\vec e_2$.

📖 12. Matrice d’une fonction linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction f de ℝᵐ dans ℝⁿ est linéaire si f(v+w)=f(v)+f(w) pour tous v,w∈ℝᵐ et si f(λv)=λf(v) pour tout λ∈ℝ et v∈ℝᵐ.

★ À maîtriser

📌 Les seules fonctions linéaires de ℝ vers ℝ sont les fonctions de la forme f(x)=ax, tandis que f(x)=ax+b avec b non nul n’est pas linéaire.

📐 Formule - Pour une fonction linéaire de ℝᵐ vers ℝⁿ représentée par la matrice A de dimension (n,m), les coordonnées de l’image vérifient $Y=AX$.

Compléments

• Toute fonction linéaire vérifie f(0⃗)=0⃗.

• La matrice A d’une fonction linéaire de ℝᵐ vers ℝⁿ se construit en plaçant en colonnes les coordonnées dans la base d’arrivée des images des vecteurs de la base de départ.

📖 13. Transformations linéaires du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation linéaire : Une transformation linéaire du plan ou de l’espace est une fonction linéaire de ℝ² vers ℝ² ou de ℝ³ vers ℝ³, respectivement.

★ À maîtriser

• Dans la base orthonormée directe B du plan, la matrice d’une rotation de centre O et d’angle θ est $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.

Compléments

• Les transformations linéaires usuelles du plan comprennent : les rotations de centre O, les symétries selon une droite passant par O, les projections selon une droite passant par O, les facteurs d’échelle selon une droite passant par O

• Les transformations linéaires usuelles de l’espace comprennent : les rotations autour d’un axe passant par O, les symétries selon un axe ou un plan contenant O, les projections selon un axe ou un plan contenant O, les facteurs d’échelle selon un axe ou un plan contenant O

📖 14. Rotations élémentaires dans l’espace

📝 Points essentiels

• Dans la base orthonormée directe $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$, la rotation d’angle $\theta$ autour de $(O,\vec e_1)$, orientée de $\vec e_2$ vers $\vec e_3$, a pour matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.

📖 15. Transformations géométriques de l’espace

📝 Points essentiels

📐 Formule - La matrice de la rotation autour de $\vec e_1$ d’angle $\frac{\pi}{2}$ suivie de celle autour de $\vec e_2$ d’angle $-\frac{\pi}{3}$ s’obtient en multipliant, dans l’ordre de composition, les matrices correspondantes.

• La symétrie par rapport au plan $(O,\vec e_1,\vec e_3)$ selon la direction $\vec e_2$ a pour matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ dans la base $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$.

• La projection sur l’axe $(O,\vec e_1)$ selon le plan vectoriel $(\vec e_2,\vec e_3)$ a pour matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ dans la base $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$.

• L’application $f_2$ qui multiplie par $\frac13$ selon l’axe $(O,\vec e_2)$ et laisse inchangées les autres coordonnées a pour matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac13&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

• Les applications $f_2$ et $f_3$ agissent sur des coordonnées distinctes, donc leur composition commute : $f_2\circ f_3=f_3\circ f_2$.

📖 16. Modèle du sténopé et coordonnées homogènes

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle du sténopé : Modèle simple décrivant la formation des images.
• Coordonnées homogènes : Coordonnées ajoutant une quatrième coordonnée $w$ aux trois coordonnées spatiales, avec valeur par défaut $1$, afin de représenter linéairement notamment une translation.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation homogène entre le point du monde réel $(x,y,z)$ et son image écran $(u,v)$ est $\begin{pmatrix}su\sv\s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_u&0&c_u\\0&k_v&c_v\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}R&t_x\\&t_y\\&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\\1\end{pmatrix}$.

Compléments

• Le repère $R_O$ est associé au monde réel, le repère $R_C$ à la caméra de centre optique $C$, et le repère image $R_i$ à la caméra avec origine $I$ au coin inférieur gauche de l’écran.

• Si un calcul en coordonnées homogènes donne $w\ne1$, les coordonnées spatiales s’obtiennent par normalisation, c’est-à-dire en divisant les trois premières coordonnées par $w$.

📐 Formule - La translation de vecteur $\vec t=(t_x,t_y,t_z)$ s’écrit en coordonnées homogènes $\begin{pmatrix}wx'\wy'\wz'\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\\1\end{pmatrix}$.

📐 Formule - La composition d’une rotation de matrice $R$ suivie d’une translation de vecteur $(t_x,t_y,t_z)$ s’écrit $\begin{pmatrix}wx_C\wy_C\wz_C\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}R&t_x\\&t_y\\&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\\1\end{pmatrix}$.

📐 Formule - La projection perspective de coordonnées caméra $(x_C,y_C,z_C)$ sur le plan situé à la distance focale $f$ est représentée par $\begin{pmatrix}wx'_C\wy'_C\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_C\y_C\z_C\\1\end{pmatrix}$.

• Dans la transformation des coordonnées projetées vers l’écran, $k_u$ et $k_v$ sont les facteurs d’agrandissement de l’image, tandis que $c_u$ et $c_v$ sont les coordonnées de la projection du centre optique $C$ sur le plan image.

💡 Astuce mémo

Monde réel → caméra → projection → écran

📖 17. Changements de base et diagonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrices semblables : Deux matrices représentant la même application linéaire dans deux bases différentes.
• Diagonalisation : Recherche d’une base dans laquelle la matrice d’une application linéaire est diagonale.
• Valeur propre : Un scalaire réel λ est une valeur propre de l’application linéaire f s’il existe un vecteur non nul v tel que f(v)=λv.
• Vecteur propre : Un vecteur non nul v vérifiant f(v)=λv est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ.

★ À maîtriser

• La matrice d’une application linéaire dépend de la base choisie ; dans l’exemple, la projection orthogonale sur l’axe dirigé par $\vec e_1+\vec e_2$ a pour matrice $\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\frac12&\frac12\end{pmatrix}$ dans la base $(\vec e_1,\vec e_2)$ et $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ dans la base $(\vec e'_1,\vec e'_2)$.

📐 Formule - Si $P$ est la matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal B'$, les matrices de la même application vérifient $A'=P^{-1}AP\quad\Longleftrightarrow\quad A=PA'P^{-1}$.

📐 Formule - Le polynôme caractéristique de f est $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$, où A est la matrice de f et I la matrice identité de ℝⁿ.

📌 Si une base constituée uniquement de vecteurs propres de f peut être formée, alors la matrice de f dans cette base est diagonale et A est diagonalisable.

Compléments

• Pour les coordonnées d’un vecteur $X'$ dans $\mathcal B'$, on a $X=PX'$ dans $\mathcal B$, puis son image a pour coordonnées $Y=AX=APX'$ dans $\mathcal B$ et $Y'=P^{-1}Y=P^{-1}APX'$ dans $\mathcal B'$, d’où $A'=P^{-1}AP$.

• Pour diagonaliser une application linéaire de $\mathbb R^2$ dans une base $\mathcal B'$, il faut trouver deux vecteurs non colinéaires $\vec e'_1,\vec e'_2$ et deux scalaires $\lambda_1,\lambda_2$ tels que $f(\vec e'_1)=\lambda_1\vec e'_1$ et $f(\vec e'_2)=\lambda_2\vec e'_2$.

📌 Les valeurs propres de f sont les racines de son polynôme caractéristique p(λ)=det(A−λI).

• La condition d’existence d’un vecteur propre non nul associé à λ équivaut à det(A−λI)=0, car (A−λI)X=0 doit admettre une solution non nulle.

💡 Astuce mémo

Une même application, des matrices différentes selon la base

📖 18. Exemple de diagonalisation en dimension deux

★ À maîtriser

• Pour la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$, le polynôme caractéristique est $p(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10$ et ses racines sont 2 et 5.

• Pour la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$, les vecteurs (1,−1) et (1,2) sont respectivement associés aux valeurs propres 2 et 5.

• Dans la base formée des vecteurs (1,−1) et (1,2), la matrice de f est $A'=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$.

Compléments

• Les vecteurs propres (1,−1) et (1,2) ne sont pas colinéaires, car le déterminant de la matrice qui les a pour colonnes vaut 3.

• Dans cette base propre, f applique un facteur d’échelle 2 selon (1,−1) et un facteur d’échelle 5 selon (1,2).

📐 Formule - Avec les vecteurs propres pour colonnes de $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$, la matrice diagonale vérifie $A'=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$.