Flashcards : Matrices et transformations géométriques (87 cartes)

Qu’est-ce qu’une matrice réelle ?

Où se trouve le coefficient $a_{ij}$ d’une matrice réelle ?

Quand le produit matriciel $AB$ est-il défini ?

Quelle propriété caractérise généralement le produit matriciel ?

À quelle condition une matrice carrée A est-elle inversible ?

Comment note-t-on l’inverse d’une matrice inversible A ?

Comment s’écrit matriciellement un système de n équations à n inconnues ?

Si $A$ est inversible, quelle expression donne l’unique solution de $AX=B$ ?

Quelle propriété vérifie le produit de matrices de dimensions compatibles ?

Comment obtenir la transposée d’un produit de trois matrices ?

Qu’est-ce que le déterminant d’une matrice carrée réelle ?

Quelle formule donne le déterminant d’une matrice d’ordre 2 ?

Comment obtient-on chaque numérateur dans la méthode de Cramer ?

Quelle formule donne la solution $x_i$ par la méthode de Cramer ?

Comment obtient-on le mineur $M_{ij}$ d’une matrice carrée d’ordre $n$ ?

Quelle formule définit le cofacteur $A_{ij}$ associé à la position $(i,j)$ ?

Quelle formule développe $\det(A)$ selon la ligne $i$ ?

Quelle formule donne l’inverse d’une matrice carrée inversible $A$ à partir de sa comatrice $L$ ?

Quelle méthode calcule l’unique solution d’un système carré dont la matrice des coefficients a un déterminant non nul ?

Quelle est l’expression de $x$ dans la solution du système paramétré par $a,b,c$ ?

Quelles propriétés caractérisent une base de $\mathbb{R}^2$ ?

Quelles propriétés caractérisent une base de $\mathbb{R}^3$ ?

Que représente la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée directe de $\mathbb{R}^2$ ?

Que représente la valeur absolue du déterminant de trois vecteurs dans une base orthonormée directe de $\mathbb{R}^3$ ?

Quelles colonnes composent la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ ?

Comment calculer $X$ à partir de $X'$ et de $P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ ?

Comment calculer $X'$ à partir de $X$ et de $P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ ?

Quelle propriété possède la matrice de passage entre deux bases ?

Quelle matrice inverse permet de convertir les coordonnées de $B$ en coordonnées de $B'$ ?

Quelles sont les coordonnées dans $B'$ du vecteur de coordonnées $(-4,5)$ dans $B$ ?

Quelles propriétés définissent une fonction linéaire de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^n$ ?

Quelle forme ont les fonctions linéaires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ?

Quelle relation relie les coordonnées $X$ et $Y$ avec la matrice $A$ ?

Quelle matrice représente une rotation plane d’angle $\theta$ dans la base orthonormée directe B ?

Quelle matrice représente la rotation d’angle $\theta$ autour de $(O,\vec e_1)$, orientée de $\vec e_2$ vers $\vec e_3$ ?

Que décrit le modèle du sténopé, ou modèle pin-hole ?

Quelle relation homogène relie le point réel $(x,y,z)$ à son image écran $(u,v)$ ?

Qu’ajoutent les coordonnées homogènes aux coordonnées spatiales, et dans quel but ?

Dans l’exemple de la projection sur l’axe de $\vec e_1+\vec e_2$, quelle est sa matrice dans $(\vec e_1,\vec e_2)$ ?

Comment appelle-t-on deux matrices représentant la même application dans deux bases différentes ?

Quelle relation relie les matrices $A$ et $A'$ avec la matrice de passage $P$ ?

Que cherche-t-on lors de la diagonalisation d’une application linéaire ?

Quelle équation caractérise une valeur propre $\lambda$ de $f$ ?

Quel est le polynôme caractéristique de la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ ?

Quelle valeur propre correspond au vecteur $(1,-1)$ de la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ ?

Quelle est la matrice de $f$ dans la base $(1,-1),(1,2)$ ?

Quelle est la dimension d’un vecteur colonne de $m$ composantes ?

Quelle est la dimension d’un vecteur ligne de $n$ composantes ?

Quelle est la dimension d’une matrice carrée ?

Que possède une matrice carrée en nombres de lignes et de colonnes ?

Comment calcule-t-on la somme de deux matrices de même dimension ?

Quelle égalité exprime l’associativité du produit matriciel ?

Comment obtient-on la transposée d’une matrice $A$ ?

Comment la transposition transforme-t-elle un produit $AB$ ?

Quelle est la première étape pour calculer l’inverse d’une matrice par systèmes ?

Après avoir résolu les systèmes pour calculer un inverse, que faut-il vérifier ?

Que peut-on conclure sur un système lorsque $\det(A)=0$ ?

Quel motif suivent les signes des cofacteurs, en commençant en position $(1,1)$ ?

Comment définit-on la comatrice $L$ d’une matrice carrée $A$ ?

Quelle est la valeur du déterminant de la matrice d’ordre 4 du système donné ?

Quelles sont les valeurs de $x_1,x_2,x_3,x_4$ pour le système donné ?

Quand une base de $\mathbb{R}^2$ est-elle orthogonale ?

Quand une base orthogonale est-elle orthonormale ?

Comment les coordonnées d’un vecteur varient-elles généralement selon la base de $\mathbb{R}^2$ ?

Quelles sont les coordonnées du vecteur nul dans toute base de $\mathbb{R}^2$ ?

Comment définit-on le déterminant de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ dans une base ?

Quel est le déterminant de deux vecteurs colinéaires de $\mathbb{R}^2$ ?

Quel est le déterminant de trois vecteurs coplanaires de $\mathbb{R}^3$ ?

À quelle matrice correspond $P_{\mathcal B,\mathcal B'}^{-1}$ ?

Quel est le déterminant des vecteurs de coordonnées $(1,1)$ et $(-1,1)$ dans $B'$ ?

Quelle égalité vérifie les coordonnées de $\vec v$ dans les bases $B'$ et $B$ ?

Quelle valeur prend une fonction linéaire en $\vec{0}$ ?

Comment construit-on les colonnes de la matrice d’une fonction linéaire ?

Qu’est-ce qu’une transformation linéaire du plan ?

Quelles transformations linéaires usuelles du plan sont définies par un centre O ?

Selon quelle droite les symétries, projections et facteurs d’échelle du plan sont-ils usuels ?

Quel axe définit les rotations linéaires usuelles de l’espace ?

Comment obtenir la matrice de deux rotations composées autour de $\vec e_1$ et $\vec e_2$ ?

Quelle est la matrice de la symétrie par rapport au plan $(O,\vec e_1,\vec e_3)$ selon $\vec e_2$ ?

Quelle est la matrice de la projection sur $(O,\vec e_1)$ selon $(\vec e_2,\vec e_3)$ ?

Quelle est la matrice de $f_2$, qui multiplie la coordonnée selon $\vec e_2$ par $\frac13$ ?

Pourquoi la composition de $f_2$ et $f_3$ commute-t-elle ?

À quoi sont associés les repères $R_O$, $R_C$ et $R_i$ ?

Comment normaliser des coordonnées homogènes lorsque $w\ne1$ ?

Quel déterminant montre que les vecteurs propres $(1,-1)$ et $(1,2)$ ne sont pas colinéaires ?

Quel facteur d’échelle $f$ applique-t-elle selon le vecteur $(1,2)$ dans la base propre ?

Quelle est la matrice inverse de $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-1&2\\2&-2&2\end{pmatrix}$ ?