Fiche de révision : Géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Coplanarité des vecteurs
2. Bases et repères de l’espace
3. Coordonnées et colinéarité
4. Droites et représentation paramétrique
5. Positions relatives dans l’espace

📖 1. Coplanarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs non nuls dont on peut choisir pour chacun un représentant dont les points appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si l’un d’eux peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres, par exemple $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ avec deux réels $a$ et $b$.

Compléments

• Deux vecteurs sont toujours coplanaires, tandis que trois vecteurs ayant la même origine ne le sont pas nécessairement.

📌 Trois vecteurs non nuls sont non coplanaires si et seulement si $a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}$ implique $a=b=c=0$.

• Pour $\vec{u}=(1;2;3)$, $\vec{v}=(3;5;-2)$ et $\vec{w}=(1;1;-8)$, la relation $-2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$ montre que ces vecteurs sont coplanaires.

📖 2. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non nuls et non coplanaires.
• Repère de l’espace : Constitué d’un point et d’une base de l’espace ; le point est appelé l’origine du repère.

★ À maîtriser

📌 Dans une base de l’espace $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$, tout vecteur $\vec{t}$ s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire $\vec{t}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$, et $x$, $y$, $z$ sont ses coordonnées dans cette base.

Compléments

📌 Dans le repère $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$, tout point $M$ possède un unique triplet de coordonnées $(x;y;z)$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$.

💡 Astuce mémo

La base contient trois vecteurs ; le repère ajoute un point origine.

📖 3. Coordonnées et colinéarité

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📌 Deux vecteurs de coordonnées $(x;y;z)$ et $(a;b;c)$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Compléments

• Dans les coordonnées d’un point de l’espace, $x$ est l’abscisse, $y$ l’ordonnée et $z$ la cote.

📐 Formule - Le milieu $I$ de $[AB]$, pour $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, a pour coordonnées $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📖 4. Droites et représentation paramétrique

★ À maîtriser

📌 Pour une droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$, un point $M$ appartient à la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$.

📐 Formule - La droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ admet la représentation paramétrique $\begin{cases}x=ak+x_A\y=bk+y_A\z=ck+z_A\end{cases}\quad k\in\mathbb{R}$.

Compléments

• Une droite est déterminée soit par deux points distincts, soit par un point et un vecteur directeur.

📖 5. Positions relatives dans l’espace

★ À maîtriser

📌 Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires ; si elles sont coplanaires, elles sont parallèles ou sécantes.

📌 Une droite par rapport à un plan est parallèle au plan — incluse dans celui-ci ou strictement parallèle — ou sécante au plan.

Compléments

• Il existe des méthodes directes pour montrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, mais aucune méthode directe n’est donnée pour montrer qu’elles sont non coplanaires.

• Un point peut appartenir ou ne pas appartenir à une droite, et il peut appartenir ou ne pas appartenir à un plan.

📌 La position relative d’un point et d’un plan peut être étudiée en testant la coplanarité.