QCM : Géométrie dans l’espace (10 questions)

Question 1

1. Dans une configuration, trois vecteurs non nuls vérifient $\vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur ces vecteurs ?

Ils sont colinéaires.

Ils ont nécessairement la même origine.

Ils sont non coplanaires.

Ils sont coplanaires.

Explication

Un vecteur exprimé comme combinaison linéaire des deux autres caractérise la coplanarité. La colinéarité exige une relation plus restrictive, des coefficients positifs ne sont pas requis, et l’origine commune ne définit pas la coplanarité.

Answer

Ils sont coplanaires.

Question 2

2. Quel critère décrit la coplanarité de trois vecteurs non nuls ?

On peut choisir des représentants portés par une même droite.

On peut choisir des représentants dont les points appartiennent à un même plan.

On peut choisir des représentants deux à deux parallèles.

On peut choisir des représentants ayant tous la même origine.

Explication

Trois vecteurs non nuls sont coplanaires lorsqu’on peut choisir pour chacun un représentant dont les points appartiennent à un même plan. Avoir une origine commune ne suffit pas, et la colinéarité ou le parallélisme sont des conditions plus fortes.

Answer

On peut choisir des représentants dont les points appartiennent à un même plan.

Question 3

3. Un triplet de vecteurs est proposé comme base de l’espace. Quelles propriétés doit-il réunir ?

Les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

Les trois vecteurs sont non nuls et coplanaires.

Les trois vecteurs sont non nuls et non coplanaires.

Les trois vecteurs sont colinéaires et non nuls.

Explication

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non nuls et non coplanaires. La coplanarité et la colinéarité ne conviennent pas, tandis que l’orthogonalité n’est pas requise.

Answer

Les trois vecteurs sont non nuls et non coplanaires.

Question 4

4. Dans une base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ , un vecteur $\vec{t}$ s’écrit $\vec{t}=4\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}$ . Quelles sont ses coordonnées dans cette base ?

(\vec{u};\vec{v};\vec{w})

(4;1;2)

(4;-1;2)

(2;-1;4)

Explication

Les coordonnées sont les coefficients de la combinaison linéaire dans l’ordre des vecteurs de la base : $4$ , $-1$ et $2$ . L’ordre inversé, l’oubli du signe et la reprise des vecteurs de base ne donnent pas les coordonnées de $\vec{t}$ .

Answer

$$(4;-1;2)$$

Question 5

5. Un repère de l’espace est défini par un point et une base. Quel nom porte ce point ?

Le premier vecteur de la base.

L’origine du repère.

Le point dont on cherche les coordonnées.

Le point de coordonnées quelconques.

Explication

Le repère de l’espace comprend un point et une base, et le point qui le définit est appelé l’origine du repère. Un vecteur de base n’est pas un point, et le point étudié peut être différent de l’origine.

Answer

L’origine du repère.

Question 6

6. Dans l’espace, on considère les points $A(3;-2;5)$ et $B(-1;4;2)$ . Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

(-4;2;7)

(4;-6;3)

(-4;6;-3)

(2;2;7)

Explication

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s’obtiennent en soustrayant celles de $A$ à celles de $B$ : $(-1-3;4-(-2);2-5)=(-4;6;-3)$ . Le triplet $(4;-6;3)$ inverse le sens du vecteur, tandis que les autres résultats ne respectent pas les différences coordonnées par coordonnées.

Answer

$$(-4;6;-3)$$

Question 7

7. Les vecteurs $\vec{u}(6;-9;12)$ et $\vec{v}(-2;3;-4)$ sont-ils colinéaires ?

Non, car les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas égales.

Oui, car chaque coordonnée de

\vec{u}

est

-3

fois la coordonnée correspondante de

\vec{v}

.

Non, car les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas toutes de même signe.

Oui, car les coordonnées correspondantes diffèrent de la même quantité.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ; ici, le même facteur $-3$ relie les trois coordonnées. Des signes différents n’empêchent pas la proportionnalité, une différence constante ne la garantit pas et l’égalité des coordonnées n’est pas nécessaire.

Answer

Oui, car chaque coordonnée de $$\vec{u}$$ est $$-3$$ fois la coordonnée correspondante de $$\vec{v}$$.

Question 8

8. Une droite passe par $A(-2;3;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(4;-1;2)$ . Quelle représentation paramétrique décrit cette droite ?

\begin{cases}x=4k-2\y=-k+3\z=2k+1\end{cases},\quad k\in\mathbb{R}

\begin{cases}x=-4k-2\y=k+3\z=-2k+1\end{cases},\quad k\in\mathbb{R}

\begin{cases}x=2k-2\y=4k+3\z=-k+1\end{cases},\quad k\in\mathbb{R}

\begin{cases}x=4k\y=-k\z=2k\end{cases},\quad k\in\mathbb{R}

Explication

La représentation paramétrique s’obtient en ajoutant au point de passage un multiple du vecteur directeur : $(x,y,z)=(-2,3,1)+k(4,-1,2)$ . Changer le signe du vecteur donne une autre paramétrisation seulement si le paramètre est adapté, omettre le point de passage déplace la droite et permuter les coefficients associe les mauvaises directions aux axes.

Answer

$$\begin{cases}x=4k-2\y=-k+3\z=2k+1\end{cases},\quad k\in\mathbb{R}$$

Question 9

9. Dans l’espace, deux droites distinctes ne se coupent pas. Quelle classification de leur position relative est correcte ?

Elles sont non coplanaires, ou coplanaires et parallèles.

Elles sont coplanaires et sécantes.

Elles sont coplanaires et parallèles.

Elles sont non coplanaires et sécantes.

Explication

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires ; dans le cas coplanaire, elles sont parallèles ou sécantes. Dire qu’elles ne se coupent pas laisse donc ouvertes les deux possibilités de la réponse correcte ; « nécessairement parallèles » suppose à tort qu’elles sont coplanaires, tandis que les droites sécantes se coupent.

Answer

Elles sont non coplanaires, ou coplanaires et parallèles.

Question 10

10. Une droite et un plan sont étudiés dans l’espace : la droite n’est pas parallèle à ce plan. Quelle position relative ont-ils ?

La droite est incluse dans le plan.

La droite est non coplanaire au plan.

La droite est sécante au plan.

La droite est strictement parallèle au plan.

Explication

Une droite par rapport à un plan est parallèle — soit incluse dans celui-ci, soit strictement parallèle — ou sécante ; si elle n’est pas parallèle, elle est donc sécante. La parallélité stricte et l’inclusion sont deux formes de parallélité, tandis que la non-coplanarité n’est pas une catégorie indiquée pour cette relation.

Answer

La droite est sécante au plan.

QCM : Géométrie dans l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une configuration, trois vecteurs non nuls vérifient $\vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur ces vecteurs ?

2. Quel critère décrit la coplanarité de trois vecteurs non nuls ?

3. Un triplet de vecteurs est proposé comme base de l’espace. Quelles propriétés doit-il réunir ?

4. Dans une base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ , un vecteur $\vec{t}$ s’écrit $\vec{t}=4\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}$ . Quelles sont ses coordonnées dans cette base ?

5. Un repère de l’espace est défini par un point et une base. Quel nom porte ce point ?

6. Dans l’espace, on considère les points $A(3;-2;5)$ et $B(-1;4;2)$ . Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

7. Les vecteurs $\vec{u}(6;-9;12)$ et $\vec{v}(-2;3;-4)$ sont-ils colinéaires ?

8. Une droite passe par $A(-2;3;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(4;-1;2)$ . Quelle représentation paramétrique décrit cette droite ?

9. Dans l’espace, deux droites distinctes ne se coupent pas. Quelle classification de leur position relative est correcte ?

10. Une droite et un plan sont étudiés dans l’espace : la droite n’est pas parallèle à ce plan. Quelle position relative ont-ils ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Environnement et handicap

Reproduction des plantes à fleurs

De l’atome aux composés ioniques

Structure et fonctions des protéines

Système solaire et distances spatiales

Contraception

Crée tes propres QCM

QCM : Géométrie dans l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une configuration, trois vecteurs non nuls vérifient w⃗=3u⃗−2v⃗\vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}w=3u−2v. Quelle conclusion peut-on tirer sur ces vecteurs ?

2. Quel critère décrit la coplanarité de trois vecteurs non nuls ?

3. Un triplet de vecteurs est proposé comme base de l’espace. Quelles propriétés doit-il réunir ?

4. Dans une base (u⃗,v⃗,w⃗) (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) (u,v,w), un vecteur t⃗\vec{t}t s’écrit t⃗=4u⃗−v⃗+2w⃗\vec{t}=4\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}t=4u−v+2w. Quelles sont ses coordonnées dans cette base ?

5. Un repère de l’espace est défini par un point et une base. Quel nom porte ce point ?

6. Dans l’espace, on considère les points A(3;−2;5)A(3;-2;5)A(3;−2;5) et B(−1;4;2)B(-1;4;2)B(−1;4;2). Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB ?

7. Les vecteurs u⃗(6;−9;12)\vec{u}(6;-9;12)u(6;−9;12) et v⃗(−2;3;−4)\vec{v}(-2;3;-4)v(−2;3;−4) sont-ils colinéaires ?

8. Une droite passe par A(−2;3;1)A(-2;3;1)A(−2;3;1) et a pour vecteur directeur u⃗(4;−1;2)\vec{u}(4;-1;2)u(4;−1;2). Quelle représentation paramétrique décrit cette droite ?

9. Dans l’espace, deux droites distinctes ne se coupent pas. Quelle classification de leur position relative est correcte ?

10. Une droite et un plan sont étudiés dans l’espace : la droite n’est pas parallèle à ce plan. Quelle position relative ont-ils ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Environnement et handicap

Reproduction des plantes à fleurs

De l’atome aux composés ioniques

Structure et fonctions des protéines

Système solaire et distances spatiales

Contraception

Crée tes propres QCM

1. Dans une configuration, trois vecteurs non nuls vérifient $\vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur ces vecteurs ?

4. Dans une base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ , un vecteur $\vec{t}$ s’écrit $\vec{t}=4\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}$ . Quelles sont ses coordonnées dans cette base ?

6. Dans l’espace, on considère les points $A(3;-2;5)$ et $B(-1;4;2)$ . Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

7. Les vecteurs $\vec{u}(6;-9;12)$ et $\vec{v}(-2;3;-4)$ sont-ils colinéaires ?

8. Une droite passe par $A(-2;3;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(4;-1;2)$ . Quelle représentation paramétrique décrit cette droite ?