Fiche de révision : Identités, fonctions et équations

📋 Plan du Cours

1. Identités remarquables
2. Ensembles de nombres réels
3. Intervalles et droite numérique
4. Notions générales sur les fonctions
5. Fonctions affines et cas particuliers
6. Graphique et variations affines
7. Résolution des équations du premier degré
8. Antécédents et modélisation

📖 1. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels a et b, les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour factoriser avec une identité remarquable, on compte les termes, on repère les carrés et le double produit s’il y en a un, on vérifie les signes, puis on écrit la factorisation.

Compléments

• Pour développer avec une identité remarquable, on reconnaît sa forme, on identifie a et b, on applique la formule correspondante, puis on réduit l’expression.

💡 Astuce mémo

Carrés : le double produit reste ; différence de carrés : les termes croisés s’annulent.

📖 2. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des réels : Ensemble des nombres représentables sur une droite graduée.
• Nombre décimal : Nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule et sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres selon $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

📌 Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, tandis qu’un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers ; $\sqrt2$ et $\pi$ sont des exemples d’irrationnels.

💡 Astuce mémo

Inclusions emboîtées : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 3. Intervalles et droite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.
• Abscisse : Nombre réel qui correspond à un point sur la droite numérique, où chaque réel correspond réciproquement à un point.

★ À maîtriser

• Sur une droite numérique, si $a<b$, alors a est placé à gauche de b.

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet tourné vers l’intérieur indique que la borne est incluse, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur indique qu’elle est exclue.

Compléments

• Les notations usuelles sont $\mathbb R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ pour les réels non nuls, $\mathbb R^+$ pour les réels positifs et $\mathbb R^-$ pour les réels négatifs.

💡 Astuce mémo

Crochet vers l’intérieur : borne incluse ; crochet vers l’extérieur : borne exclue.

📖 4. Notions générales sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à tout nombre x de son ensemble de définition un unique nombre noté f(x).

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction f, f(x) est l’image de x et x est un antécédent de f(x).

Compléments

• Pour $f(x)=2x+3$, l’image de 1 est 5 et l’image de −2 est −1.

• Pour trouver un antécédent de 7 par $f(x)=2x+3$, on résout $2x+3=7$, d’où $x=2$.

💡 Astuce mémo

L’image part de x ; l’antécédent se cherche à partir de l’image.

📖 5. Fonctions affines et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=mx+p$, où m et p sont réels, m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine, égale à f(0).

★ À maîtriser

📌 Si $m=0$, la fonction affine $f(x)=p$ est constante et tous les nombres ont la même image.

📌 Si $p=0$, la fonction affine $f(x)=mx$ est linéaire et correspond à une situation de proportionnalité.

Compléments

• La fonction $h(x)=4$ est constante, avec $m=0$ et $p=4$, tandis que $f(x)=-3x$ est linéaire, avec $m=-3$ et $p=0$.

💡 Astuce mémo

m = 0 donne une constante ; p = 0 donne une fonction linéaire.

📖 6. Graphique et variations affines

★ À maîtriser

• La représentation graphique de la fonction affine $f(x)=mx+p$ est la droite d’équation $y=mx+p$, qui passe par le point $(0;p)$.

• Pour une fonction affine, quand x augmente de 1, f(x) augmente de m ; la droite passe donc notamment par $(1;p+m)$.

📐 Formule - Pour une fonction affine et deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$, le coefficient directeur est le taux d’accroissement $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

📌 Pour $f(x)=mx+p$, si $m>0$ la fonction est strictement croissante sur $\mathbb R$, si $m<0$ elle est strictement décroissante, et si $m=0$ elle est constante.

Compléments

• Pour tracer la droite d’une fonction affine, deux points suffisent ; pour $f(x)=2x+1$, les points $(0;1)$ et $(1;3)$ la déterminent.

💡 Astuce mémo

Le signe de m détermine le sens de variation : positif → croissante, négatif → décroissante.

📖 7. Résolution des équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation qui peut s’écrire $ax+b=0$, où a et b sont réels et x est l’inconnue réelle.
• Résoudre une équation : Trouver l’ensemble S des valeurs de x qui vérifient l’égalité.

★ À maîtriser

• Pour transformer une équation, on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres, ou multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

• Pour $ax+b=0$, si $a\ne0$, l’unique solution est $x=-\frac ba$.

• Pour $ax+b=0$, si a = 0 et b = 0, tout réel est solution ; si a = 0 et b ≠ 0, l’équation n’a aucune solution.

Compléments

• Graphiquement, résoudre $f(x)=0$ revient à chercher l’abscisse du point d’intersection de la droite représentant f avec l’axe des abscisses d’équation $y=0$.

📖 8. Antécédents et modélisation

📝 Points essentiels

📌 Chercher un antécédent de k par une fonction f revient à résoudre l’équation $f(x)=k$.

• Résoudre $ax+b=cx+d$ revient à résoudre $f(x)=g(x)$, avec $f(x)=ax+b$ et $g(x)=cx+d$ ; graphiquement, les solutions sont les abscisses des intersections de leurs droites.

• Pour modéliser un problème par une équation, on choisit x pour la quantité cherchée, on traduit l’énoncé en égalité, on résout l’équation, puis on répond par une phrase.

💡 Astuce mémo

Modéliser : choisir x → traduire → résoudre → répondre.