QCM : Identités, fonctions et équations (23 questions)

Question 1

1. Quelle égalité exprime le développement de $(a-b)^2$ pour tous réels $a$ et $b$ ?

a^2-ab+b^2

a^2+2ab+b^2

a^2-b^2

a^2-2ab+b^2

Explication

Le carré d’une différence comporte le terme double produit négatif et les carrés des deux termes. L’expression $a^2-b^2$ correspond plutôt au produit de la somme par la différence.

Answer

$$a^2-2ab+b^2$$

Question 2

2. Pour factoriser une expression qui semble relever d’une identité remarquable, quelle démarche est appropriée ?

Identifier les coefficients, calculer leur quotient, puis réduire l’expression.

Regrouper les termes semblables, supprimer le terme du milieu, puis écrire les facteurs.

Repérer les termes, reconnaître les carrés et le double produit éventuel, vérifier les signes, puis factoriser.

Chercher deux termes opposés, remplacer leur somme par un carré, puis développer.

Explication

La factorisation repose sur l’identification de la forme remarquable, des carrés et du double produit éventuel, en vérifiant les signes. Réduire les termes semblables ne permet pas à lui seul de reconnaître et d’écrire la factorisation.

Answer

Repérer les termes, reconnaître les carrés et le double produit éventuel, vérifier les signes, puis factoriser.

Question 3

3. Que désigne l’ensemble $\mathbb R$ ?

L’ensemble des nombres représentables sur une droite graduée.

L’ensemble des nombres qui possèdent une écriture décimale finie.

L’ensemble des nombres entiers positifs et de leurs opposés.

L’ensemble des nombres qui s’écrivent comme quotient de deux entiers.

Explication

Les réels sont tous les nombres représentables sur une droite graduée. Les nombres écrits comme quotient de deux entiers forment l’ensemble des rationnels, qui ne contient pas tous les réels.

Answer

L’ensemble des nombres représentables sur une droite graduée.

Question 4

4. Quelle chaîne d’inclusions ordonne correctement les ensembles de nombres indiqués ?

\mathbb N\subset\mathbb D\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R

\mathbb Z\subset\mathbb N\subset\mathbb D\subset\mathbb R\subset\mathbb Q

\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R

\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb D\subset\mathbb R

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers, puis les décimaux dans les rationnels, eux-mêmes inclus dans les réels. La chaîne qui place les décimaux avant les entiers inverse ces deux ensembles.

Answer

$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$$

Question 5

5. Comment distingue-t-on un nombre rationnel d’un nombre irrationnel ?

Un rationnel est un quotient de deux entiers, tandis qu’un irrationnel ne peut pas s’écrire ainsi.

Un rationnel possède une écriture décimale finie, tandis qu’un irrationnel possède une écriture infinie.

Un rationnel est positif, tandis qu’un irrationnel est négatif.

Un rationnel appartient à la droite numérique, tandis qu’un irrationnel n’y correspond à aucun point.

Explication

Un rationnel peut s’écrire comme quotient de deux entiers, contrairement à un irrationnel ; $\sqrt2$ et $\pi$ sont des exemples d’irrationnels. Une écriture décimale finie caractérise les nombres décimaux, et non tous les rationnels.

Answer

Un rationnel est un quotient de deux entiers, tandis qu’un irrationnel ne peut pas s’écrire ainsi.

Question 6

6. Sur une droite numérique, où se trouve $a$ par rapport à $b$ lorsque $a<b$ ?

À une distance de

b

égale à

a

.

À gauche de

b

.

Au même point que

b

.

À droite de

b

.

Explication

Sur une droite numérique, les nombres plus petits sont placés à gauche des nombres plus grands. L’inégalité n’indique pas que les deux nombres occupent le même point.

Answer

À gauche de $$b$$.

Question 7

7. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb R$ ?

Un ensemble de points qui ne peuvent pas être situés sur une droite.

Une suite de réels rangés dans l’ordre croissant.

Un ensemble composé de deux réels distincts seulement.

Un ensemble de réels compris entre deux bornes.

Explication

Un intervalle rassemble des nombres réels compris entre deux bornes. Il ne se réduit donc pas aux deux bornes elles-mêmes.

Answer

Un ensemble de réels compris entre deux bornes.

Question 8

8. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet tourné vers l’intérieur au voisinage d’une borne ?

La borne appartient à l’intervalle.

La borne est remplacée par une valeur approchée.

La borne est exclue de l’intervalle.

La borne est nécessairement égale à zéro.

Explication

Un crochet tourné vers l’intérieur indique que la borne est incluse dans l’intervalle. Un crochet tourné vers l’extérieur signale au contraire une borne exclue.

Answer

La borne appartient à l’intervalle.

Question 9

9. Quelle propriété caractérise une fonction définie sur un ensemble de nombres ?

À chaque nombre de son ensemble de définition, elle associe au moins deux nombres.

À chaque nombre de son ensemble de définition, elle associe un nombre qui lui est supérieur.

À chaque nombre de son ensemble de définition, elle associe un nombre entier.

À chaque nombre de son ensemble de définition, elle associe un unique nombre.

Explication

Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une seule image. L’association de plusieurs images à un même nombre ne respecte pas cette définition.

Answer

À chaque nombre de son ensemble de définition, elle associe un unique nombre.

Question 10

10. Si $f(4)=9$ , comment désigne-t-on respectivement 9 et 4 ?

9 est un antécédent de 4, et 4 est l’image de 9.

9 est un antécédent de 4, et 4 est un antécédent de 9.

9 est l’image de 4, et 4 est l’image de 9.

9 est l’image de 4, et 4 est un antécédent de 9.

Explication

Dans l’écriture $f(4)=9$ , la valeur obtenue, 9, est l’image de 4, tandis que 4 est un antécédent de 9. Inverser ces rôles confond l’entrée de la fonction avec le résultat.

Answer

9 est l’image de 4, et 4 est un antécédent de 9.

Question 11

11. La fonction $g(x)=-2x+5$ est affine : que représentent ses coefficients et quelle est sa valeur en 0 ?

Son coefficient directeur est

-2

, son ordonnée à l’origine est 5 et

g(0)=5

.

Son coefficient directeur est 5, son ordonnée à l’origine est

-2

et

g(0)=-2

.

Son coefficient directeur est 2, son ordonnée à l’origine est 5 et

g(0)=5

.

Son coefficient directeur est

-2

, son ordonnée à l’origine est 5 et

g(0)=-2

.

Explication

Dans une expression de la forme $mx+p$ , le coefficient directeur est $m$ et l’ordonnée à l’origine est $p=f(0)$ . Prendre le coefficient directeur pour 5 inverse le rôle des deux paramètres.

Answer

Son coefficient directeur est $$-2$$, son ordonnée à l’origine est 5 et $$g(0)=5$$.

Question 12

12. Une fonction affine a pour coefficient directeur $m=0$ et pour ordonnée à l’origine $p=-3$ . Quelle propriété en découle ?

Elle est croissante et chaque nombre a pour image

-3

.

Elle est décroissante et chaque nombre a pour image son opposé.

Elle est constante et chaque nombre a pour image

-3

.

Elle est linéaire et chaque nombre a pour image 0.

Explication

Lorsque $m=0$ , l’expression $mx+p$ se réduit à $p$ : la fonction est constante et toutes ses images valent ici $-3$ . Une fonction linéaire correspond plutôt au cas où $p=0$ .

Answer

Elle est constante et chaque nombre a pour image $$-3$$.

Question 13

13. Un modèle de proportionnalité est représenté par une fonction affine $f(x)=mx+p$ . Quelle condition sur ses paramètres traduit ce modèle ?

p=1

, de sorte que la fonction s’écrit

f(x)=mx+1

.

m=p

, de sorte que la fonction s’écrit

f(x)=2mx

.

m=0

, de sorte que la fonction est constante et s’écrit

f(x)=p

.

p=0

, de sorte que la fonction est linéaire et s’écrit

f(x)=mx

.

Explication

Une fonction affine représente une situation de proportionnalité lorsqu’elle est linéaire, c’est-à-dire lorsque $p=0$ . Si $m=0$ , la fonction est constante, ce qui ne caractérise pas une relation de proportionnalité.

Answer

$$p=0$$, de sorte que la fonction est linéaire et s’écrit $$f(x)=mx$$.

Question 14

14. Pour $f(x)=3x-2$ , quelle affirmation décrit sa représentation graphique et un point qu’elle contient ?

C’est la droite d’équation

y=3x+2

, qui passe par

(0;2)

.

C’est la droite d’équation

y=3x-2

, qui passe par

(0;-2)

.

C’est la droite d’équation

y=-2x+3

, qui passe par

(0;3)

.

C’est la droite d’équation

y=3x-2

, qui passe par

(0;3)

.

Explication

La représentation graphique de $f(x)=mx+p$ est la droite d’équation $y=mx+p$ et passe par $(0;p)$ . Le point $(0;3)$ confondrait l’ordonnée à l’origine avec le coefficient directeur.

Answer

C’est la droite d’équation $$y=3x-2$$, qui passe par $$(0;-2)$$.

Question 15

15. Une fonction affine a un coefficient directeur négatif. Comment varie-t-elle lorsque $x$ augmente sur $\mathbb R$ ?

Elle est constante.

Elle est strictement décroissante.

Elle varie d’abord dans un sens, puis dans l’autre.

Elle est strictement croissante.

Explication

Un coefficient directeur négatif implique que la fonction affine est strictement décroissante sur $\mathbb R$ . Un coefficient directeur positif correspond au contraire à une fonction strictement croissante.

Answer

Elle est strictement décroissante.

Question 16

16. On connaît deux points distincts $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ d’une droite représentant une fonction affine. Quelle expression permet de calculer son coefficient directeur ?

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

\frac{f(x_1)+f(x_2)}{x_2-x_1}

\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_1+x_2}

Explication

Le coefficient directeur est le taux d’accroissement : la variation des images divisée par la variation des antécédents. L’expression réciproque inverse ces deux variations et ne donne pas, en général, le coefficient directeur.

Answer

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Question 17

17. Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ , on passe de $x=0$ à $x=1$ . Quelle variation de l’image observe-t-on, et quel point de la droite obtient-on ?

L’image augmente de

m+p

, et la droite passe par

(1;2m+p)

.

L’image augmente de

p

, et la droite passe par

(1;m+p)

.

L’image diminue de

m

, et la droite passe par

(1;p-m)

.

L’image augmente de

m

, et la droite passe par

(1;p+m)

.

Explication

Quand l’antécédent augmente de 1, l’image d’une fonction affine augmente de $m$ ; comme $f(0)=p$ , on a donc $f(1)=p+m$ . L’ordonnée à l’origine est la valeur de départ, pas l’augmentation associée à un pas de 1.

Answer

L’image augmente de $$m$$, et la droite passe par $$(1;p+m)$$.

Question 18

18. Que cherche-t-on lorsqu’on résout une équation en $x$ ?

La valeur de l’expression à gauche pour

x=0

Le coefficient de

x

dans l’expression de gauche

L’ensemble des nombres qui rendent les deux membres différents

L’ensemble des valeurs de

x

qui rendent l’égalité vraie

Explication

Résoudre une équation consiste à déterminer l’ensemble $S$ des valeurs de $x$ qui vérifient l’égalité. Évaluer le membre de gauche en $x=0$ ne permet pas, en général, de trouver toutes les solutions.

Answer

L’ensemble des valeurs de $$x$$ qui rendent l’égalité vraie

Question 19

19. Quelle transformation conserve les solutions d’une équation ?

Ajouter un nombre à un seul membre, ou diviser les deux membres par zéro

Multiplier les deux membres par des nombres différents, ou soustraire un nombre à un seul membre

Diviser les deux membres par des nombres différents, ou multiplier un membre par zéro

Ajouter le même nombre aux deux membres, ou les diviser par un même nombre non nul

Explication

On conserve les solutions en ajoutant ou soustrayant le même nombre aux deux membres, ou en multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul. Diviser par zéro n’est pas une transformation autorisée.

Answer

Ajouter le même nombre aux deux membres, ou les diviser par un même nombre non nul

Question 20

20. Pour l’équation $ax+b=0$ avec $a=0$ , quelle conclusion distingue les cas selon la valeur de $b$ ?

Si

b=0

, tout réel est solution ; si

b\ne0

, il n’y a aucune solution

Si

b=0

, il n’y a aucune solution ; si

b\ne0

, tout réel est solution

Si

b=0

, la solution est

x=0

; si

b\ne0

, la solution est

x=-b

Si

b=0

, la solution est

x=1

; si

b\ne0

, la solution est

x=b

Explication

Lorsque $a=0$ , l’équation devient $b=0$ : elle est vérifiée par tout réel si $b=0$ , et n’est vérifiée par aucun réel si $b\ne0$ . Dans ce dernier cas, elle n’a donc pas une solution unique.

Answer

Si $$b=0$$, tout réel est solution ; si $$b\ne0$$, il n’y a aucune solution

Question 21

21. Pour trouver un antécédent de $k$ par une fonction $f$ , quelle équation faut-il résoudre ?

f(x)=k

, car l’antécédent est une valeur de

x

dont l’image vaut

k

x=k

, car l’antécédent est égal à la valeur de l’image

f(k)=x

, car l’antécédent est l’image de

k

par la fonction

f(x)=0

, car tout antécédent correspond à une image nulle

Explication

Un antécédent de $k$ est une valeur de $x$ telle que $f(x)=k$ ; il faut donc résoudre cette équation. L’égalité $f(k)=x$ inverse les rôles de l’antécédent et de l’image.

Answer

$$f(x)=k$$, car l’antécédent est une valeur de $$x$$ dont l’image vaut $$k$$

Question 22

22. Pour déterminer graphiquement les solutions de $ax+b=cx+d$ , que faut-il repérer ?

Les ordonnées à l’origine des droites

y=ax+b

et

y=cx+d

Les pentes des droites

y=ax+b

et

y=cx+d

Les abscisses des points d’intersection des droites

y=ax+b

et

y=cx+d

Les abscisses des points où la droite

y=ax+b

coupe l’axe des abscisses

Explication

L’égalité revient à chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles les deux fonctions affines ont la même valeur, c’est-à-dire les intersections de leurs droites. Les ordonnées à l’origine ne donnent pas, à elles seules, les solutions de cette égalité.

Answer

Les abscisses des points d’intersection des droites $$y=ax+b$$ et $$y=cx+d$$

Question 23

23. Quelle démarche permet de modéliser un problème par une équation et de répondre au problème ?

Traduire l’énoncé en égalité, donner une valeur à

x

, puis vérifier si elle semble convenir

Résoudre une équation au hasard, choisir ensuite la quantité cherchée, puis rédiger une réponse

Choisir

x

pour la quantité cherchée, traduire l’énoncé en égalité, résoudre, puis formuler une réponse

Choisir une valeur de

x

, calculer les deux membres, puis conserver leur différence comme réponse

Explication

La démarche consiste à représenter la quantité cherchée par $x$ , traduire les informations en égalité, résoudre cette équation et répondre par une phrase. Choisir une valeur de $x$ avant de traduire et de résoudre ne garantit pas qu’elle satisfasse les données du problème.

Answer

Choisir $$x$$ pour la quantité cherchée, traduire l’énoncé en égalité, résoudre, puis formuler une réponse

QCM : Identités, fonctions et équations (23 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle égalité exprime le développement de $(a-b)^2$ pour tous réels $a$ et $b$ ?

2. Pour factoriser une expression qui semble relever d’une identité remarquable, quelle démarche est appropriée ?

3. Que désigne l’ensemble $\mathbb R$ ?

4. Quelle chaîne d’inclusions ordonne correctement les ensembles de nombres indiqués ?

5. Comment distingue-t-on un nombre rationnel d’un nombre irrationnel ?

6. Sur une droite numérique, où se trouve $a$ par rapport à $b$ lorsque $a<b$ ?

7. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb R$ ?

8. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet tourné vers l’intérieur au voisinage d’une borne ?

9. Quelle propriété caractérise une fonction définie sur un ensemble de nombres ?

10. Si $f(4)=9$ , comment désigne-t-on respectivement 9 et 4 ?

11. La fonction $g(x)=-2x+5$ est affine : que représentent ses coefficients et quelle est sa valeur en 0 ?

12. Une fonction affine a pour coefficient directeur $m=0$ et pour ordonnée à l’origine $p=-3$ . Quelle propriété en découle ?

13. Un modèle de proportionnalité est représenté par une fonction affine $f(x)=mx+p$ . Quelle condition sur ses paramètres traduit ce modèle ?

14. Pour $f(x)=3x-2$ , quelle affirmation décrit sa représentation graphique et un point qu’elle contient ?

15. Une fonction affine a un coefficient directeur négatif. Comment varie-t-elle lorsque $x$ augmente sur $\mathbb R$ ?

16. On connaît deux points distincts $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ d’une droite représentant une fonction affine. Quelle expression permet de calculer son coefficient directeur ?

17. Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ , on passe de $x=0$ à $x=1$ . Quelle variation de l’image observe-t-on, et quel point de la droite obtient-on ?

18. Que cherche-t-on lorsqu’on résout une équation en $x$ ?

19. Quelle transformation conserve les solutions d’une équation ?

20. Pour l’équation $ax+b=0$ avec $a=0$ , quelle conclusion distingue les cas selon la valeur de $b$ ?

21. Pour trouver un antécédent de $k$ par une fonction $f$ , quelle équation faut-il résoudre ?

22. Pour déterminer graphiquement les solutions de $ax+b=cx+d$ , que faut-il repérer ?

23. Quelle démarche permet de modéliser un problème par une équation et de répondre au problème ?

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QCM : Identités, fonctions et équations (23 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle égalité exprime le développement de (a−b)2(a-b)^2(a−b)2 pour tous réels aaa et bbb ?

2. Pour factoriser une expression qui semble relever d’une identité remarquable, quelle démarche est appropriée ?

3. Que désigne l’ensemble R\mathbb RR ?

4. Quelle chaîne d’inclusions ordonne correctement les ensembles de nombres indiqués ?

5. Comment distingue-t-on un nombre rationnel d’un nombre irrationnel ?

6. Sur une droite numérique, où se trouve aaa par rapport à bbb lorsque a<ba<ba<b ?

7. Qu’est-ce qu’un intervalle de R\mathbb RR ?

8. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet tourné vers l’intérieur au voisinage d’une borne ?

9. Quelle propriété caractérise une fonction définie sur un ensemble de nombres ?

10. Si f(4)=9f(4)=9f(4)=9, comment désigne-t-on respectivement 9 et 4 ?

11. La fonction g(x)=−2x+5g(x)=-2x+5g(x)=−2x+5 est affine : que représentent ses coefficients et quelle est sa valeur en 0 ?

12. Une fonction affine a pour coefficient directeur m=0m=0m=0 et pour ordonnée à l’origine p=−3p=-3p=−3. Quelle propriété en découle ?

13. Un modèle de proportionnalité est représenté par une fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+pf(x)=mx+p. Quelle condition sur ses paramètres traduit ce modèle ?

14. Pour f(x)=3x−2f(x)=3x-2f(x)=3x−2, quelle affirmation décrit sa représentation graphique et un point qu’elle contient ?

15. Une fonction affine a un coefficient directeur négatif. Comment varie-t-elle lorsque xxx augmente sur R\mathbb RR ?

16. On connaît deux points distincts (x1;f(x1))(x_1;f(x_1))(x1​;f(x1​)) et (x2;f(x2))(x_2;f(x_2))(x2​;f(x2​)) d’une droite représentant une fonction affine. Quelle expression permet de calculer son coefficient directeur ?

17. Pour une fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+pf(x)=mx+p, on passe de x=0x=0x=0 à x=1x=1x=1. Quelle variation de l’image observe-t-on, et quel point de la droite obtient-on ?

18. Que cherche-t-on lorsqu’on résout une équation en xxx ?

19. Quelle transformation conserve les solutions d’une équation ?

20. Pour l’équation ax+b=0ax+b=0ax+b=0 avec a=0a=0a=0, quelle conclusion distingue les cas selon la valeur de bbb ?

21. Pour trouver un antécédent de kkk par une fonction fff, quelle équation faut-il résoudre ?

22. Pour déterminer graphiquement les solutions de ax+b=cx+dax+b=cx+dax+b=cx+d, que faut-il repérer ?

23. Quelle démarche permet de modéliser un problème par une équation et de répondre au problème ?

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3. Que désigne l’ensemble $\mathbb R$ ?

6. Sur une droite numérique, où se trouve $a$ par rapport à $b$ lorsque $a<b$ ?

7. Qu’est-ce qu’un intervalle de $\mathbb R$ ?

10. Si $f(4)=9$ , comment désigne-t-on respectivement 9 et 4 ?

11. La fonction $g(x)=-2x+5$ est affine : que représentent ses coefficients et quelle est sa valeur en 0 ?

12. Une fonction affine a pour coefficient directeur $m=0$ et pour ordonnée à l’origine $p=-3$ . Quelle propriété en découle ?

13. Un modèle de proportionnalité est représenté par une fonction affine $f(x)=mx+p$ . Quelle condition sur ses paramètres traduit ce modèle ?

14. Pour $f(x)=3x-2$ , quelle affirmation décrit sa représentation graphique et un point qu’elle contient ?

15. Une fonction affine a un coefficient directeur négatif. Comment varie-t-elle lorsque $x$ augmente sur $\mathbb R$ ?

16. On connaît deux points distincts $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ d’une droite représentant une fonction affine. Quelle expression permet de calculer son coefficient directeur ?

17. Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ , on passe de $x=0$ à $x=1$ . Quelle variation de l’image observe-t-on, et quel point de la droite obtient-on ?

18. Que cherche-t-on lorsqu’on résout une équation en $x$ ?

20. Pour l’équation $ax+b=0$ avec $a=0$ , quelle conclusion distingue les cas selon la valeur de $b$ ?

21. Pour trouver un antécédent de $k$ par une fonction $f$ , quelle équation faut-il résoudre ?

22. Pour déterminer graphiquement les solutions de $ax+b=cx+d$ , que faut-il repérer ?