Fiche de révision : Identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Les trois identités remarquables
2. Démonstrations algébriques et géométriques
3. Développer avec une identité remarquable
4. Factoriser avec une identité remarquable
5. Facteur commun et calcul mental

📖 1. Les trois identités remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous réels a et b, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

💡 Astuce mémo

Les carrés gardent b² et ajoutent ±2ab ; les conjugués donnent a² − b².

📖 2. Démonstrations algébriques et géométriques

📝 Points essentiels

• La première identité se démontre en développant $(a+b)(a+b)$ par double distributivité, puis en utilisant $ab=ba$ pour regrouper les deux termes $ab$.

• La démonstration de $(a-b)^2$ réécrit $a-b$ comme $a+(-b)$ et applique l’identité du carré d’une somme.

• Dans le développement de $(a+b)(a-b)$, les termes croisés $-ab$ et $ba$ s’annulent car $ab=ba$.

• Un carré de côté $a+b$ se partage en deux carrés de côtés a et b et deux rectangles de dimensions $a\times b$, ce qui donne $(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$.

💡 Astuce mémo

Un grand carré découpé en deux petits carrés et deux rectangles identiques.

📖 3. Développer avec une identité remarquable

★ À maîtriser

• Pour développer avec une identité remarquable, on reconnaît l’une des formes $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$, on identifie a et b, on applique la formule correspondante, puis on réduit.

Compléments

• Le développement de $(x+3)^2$ est $x^2+6x+9$.

📌 Un développement peut être vérifié en remplaçant x par une valeur simple, comme $x=1$, dans l’expression initiale et dans l’expression développée, puis en comparant les résultats.

💡 Astuce mémo

Reconnaître, identifier a et b, appliquer, réduire.

📖 4. Factoriser avec une identité remarquable

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec une identité remarquable, on repère le nombre de termes, on identifie les carrés et le double produit éventuel, on vérifie les signes, puis on écrit la factorisation.

📌 Une expression à trois termes peut être un carré parfait si ses premier et dernier termes sont des carrés et si le terme du milieu est leur double produit, avec le signe approprié.

📌 Une différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Compléments

• L’expression $x^2+6x+9$ se factorise en $(x+3)^2$.

📌 Une somme de carrés comme $x^2+4$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ avec les identités remarquables.

💡 Astuce mémo

Trois termes évoquent un carré parfait ; deux carrés séparés par − évoquent des conjugués.

📖 5. Facteur commun et calcul mental

📝 Points essentiels

• La factorisation par facteur commun donne $ax^2+bx=x(ax+b)$.

• Le cours propose d’utiliser les identités remarquables pour effectuer mentalement des calculs tels que $101\times99$, $49^2$ et $103^2$.

• Le cours demande également de factoriser certaines expressions en mettant d’abord un facteur constant en évidence, puis en reconnaissant une identité remarquable.