Identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Les trois identités remarquables
2. Démonstrations algébriques et géométriques
3. Développer avec une identité remarquable
4. Factoriser avec une identité remarquable
5. Facteur commun et calcul mental

📖 1. Les trois identités remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous réels a et b, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

💡 Astuce mémo

Les carrés gardent b² et ajoutent ±2ab ; les conjugués donnent a² − b².

📖 2. Démonstrations algébriques et géométriques

📝 Points essentiels

• La première identité se démontre en développant $(a+b)(a+b)$ par double distributivité, puis en utilisant $ab=ba$ pour regrouper les deux termes $ab$.

• La démonstration de $(a-b)^2$ réécrit $a-b$ comme $a+(-b)$ et applique l’identité du carré d’une somme.

• Dans le développement de $(a+b)(a-b)$, les termes croisés $-ab$ et $ba$ s’annulent car $ab=ba$.

• Un carré de côté $a+b$ se partage en deux carrés de côtés a et b et deux rectangles de dimensions $a\times b$, ce qui donne $(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$.

💡 Astuce mémo

Un grand carré découpé en deux petits carrés et deux rectangles identiques.

📖 3. Développer avec une identité remarquable