QCM : Identités remarquables (9 questions)

Question 1

1. Quelle identité développe le carré d’une somme de deux réels $a$ et $b$ ?

(a+b)^2=a^2+ab+b^2

(a+b)^2=a^2+2a+b^2

(a+b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Explication

Le développement du carré d’une somme contient les deux carrés et deux produits $ab$ , qui se regroupent en $2ab$ . L’expression avec un seul terme $ab$ omet l’un des deux produits croisés.

Answer

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Question 2

2. Pour $a=3$ et $b=2$ , quelle valeur obtient-on en utilisant l’identité du carré d’une somme pour calculer $(a+b)^2$ ?

17

13

25

19

Explication

L’identité donne $a^2+2ab+b^2$ , soit $9+12+4=25$ . La valeur $19$ résulte de l’oubli d’un des deux produits croisés.

Answer

Regrouper $$ab$$ et $$ba$$ en utilisant $$ab=ba$$

Answer

$$a^2+ab+ab+b^2$$

Answer

Reconnaître une forme connue, identifier ses termes, appliquer la formule correspondante puis réduire.

Answer

$$ (x+3)^2 $$

Answer

Transformer une somme de termes en un produit faisant apparaître leur facteur commun

Answer

Le terme croisé est négatif dans le carré d’une différence et positif dans le carré d’une somme.

Answer

Parce que $$-ab$$ et $$ba$$ sont opposés puisque $$ab=ba$$.

Question 3

3. Lorsqu’on développe $(a+b)(a+b)$ par double distributivité, quelle étape permet d’obtenir le terme $2ab$ ?

Soustraire

ba

de

ab

avant de réduire l’expression

Remplacer

a^2

et

b^2

par des produits croisés

Remplacer l’un des facteurs

a+b

par

a-b

Regrouper

ab

et

ba

en utilisant

ab=ba

Explication

La double distributivité fait apparaître deux termes croisés, $ab$ et $ba$ , qui sont égaux et se regroupent en $2ab$ . Les soustraire supposerait à tort qu’ils portent des signes opposés.

Question 4

4. Un carré de côté $a+b$ est partagé en deux carrés de côtés $a$ et $b$ , ainsi qu’en deux rectangles de dimensions $a\times b$ . Quelle somme représente son aire totale ?

a^2+ab+b^2

a^2+2a+2b+b^2

a^2+ab+ab+b^2

a^2-ab-ab+b^2

Explication

Les deux carrés ont pour aires $a^2$ et $b^2$ , et chacun des deux rectangles a une aire $ab$ . L’expression qui ne compte qu’un rectangle omet une partie de l’aire découpée.

Question 5

5. Que signifie développer une expression à l’aide d’une identité remarquable ?

Repérer les termes communs, les mettre en facteur puis écrire un produit équivalent.

Reconnaître une forme connue, identifier ses termes, appliquer la formule correspondante puis réduire.

Regrouper les termes de même degré, déterminer leurs coefficients puis factoriser le résultat.

Remplacer les variables par des nombres, calculer les deux expressions puis comparer leurs valeurs.

Explication

Développer avec une identité remarquable consiste à reconnaître une forme comme un carré de somme ou de différence, puis à appliquer sa formule et à réduire. Mettre les termes en facteur correspond à une démarche de factorisation, et non de développement.

Question 6

6. Quelle factorisation correspond à l’expression $x^2+6x+9$ ?

(x+3)(x-3)

(x+6)^2

(x-3)^2

(x+3)^2

Explication

Les termes extrêmes sont les carrés $x^2$ et $3^2$ , et le terme du milieu est leur double produit, $2\times x\times 3=6x$ . La différence de deux carrés donnerait un terme du milieu nul, et ne convient donc pas.

Question 7

7. Quel est le rôle de la mise en évidence d’un facteur commun dans une expression comme $ax^2+bx$ ?

Développer un carré de somme en regroupant les termes croisés

Calculer mentalement un produit en arrondissant ses deux facteurs

Transformer une somme de termes en un produit faisant apparaître leur facteur commun

Remplacer une différence de carrés par une somme de deux carrés

Explication

Mettre le facteur commun en évidence réécrit $ax^2+bx$ sous la forme $x(ax+b)$ , ce qui transforme une somme en produit. La différence de carrés relève d’une autre identité remarquable et ne décrit pas cette mise en facteur.

Question 8

8. Comment l’identité du carré d’une différence se distingue-t-elle de celle du carré d’une somme au niveau du terme croisé ?

Le terme croisé est positif dans le carré d’une différence et négatif dans le carré d’une somme.

Le terme croisé disparaît dans le carré d’une différence et reste positif dans le carré d’une somme.

Le terme croisé est négatif dans les deux identités, mais les termes carrés changent de signe.

Le terme croisé est négatif dans le carré d’une différence et positif dans le carré d’une somme.

Explication

Dans les deux développements, les termes carrés restent positifs, tandis que le terme croisé vaut $-2ab$ pour une différence et $+2ab$ pour une somme. L’idée que le terme croisé disparaît confond ces identités avec le produit de deux expressions conjuguées.

Question 9

9. Pourquoi les termes croisés disparaissent-ils dans le développement de $(a+b)(a-b)$ ?

Parce que

-ab

et

ba

sont opposés puisque

ab=ba

.

Parce que le produit de deux termes de signes contraires vaut zéro.

Parce que les termes

a^2

et

b^2

se compensent par distributivité.

Parce que la distributivité transforme les termes croisés en carrés.

Explication

La commutativité du produit donne $ab=ba$ , donc les termes croisés $-ab$ et $ba$ s’annulent. Les carrés $a^2$ et $b^2$ ne se compensent pas : ils restent dans le résultat.

QCM : Identités remarquables (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle identité développe le carré d’une somme de deux réels $a$ et $b$ ?

2. Pour $a=3$ et $b=2$ , quelle valeur obtient-on en utilisant l’identité du carré d’une somme pour calculer $(a+b)^2$ ?

3. Lorsqu’on développe $(a+b)(a+b)$ par double distributivité, quelle étape permet d’obtenir le terme $2ab$ ?

4. Un carré de côté $a+b$ est partagé en deux carrés de côtés $a$ et $b$ , ainsi qu’en deux rectangles de dimensions $a\times b$ . Quelle somme représente son aire totale ?

5. Que signifie développer une expression à l’aide d’une identité remarquable ?

6. Quelle factorisation correspond à l’expression $x^2+6x+9$ ?

7. Quel est le rôle de la mise en évidence d’un facteur commun dans une expression comme $ax^2+bx$ ?

8. Comment l’identité du carré d’une différence se distingue-t-elle de celle du carré d’une somme au niveau du terme croisé ?

9. Pourquoi les termes croisés disparaissent-ils dans le développement de $(a+b)(a-b)$ ?

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QCM : Identités remarquables (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle identité développe le carré d’une somme de deux réels aaa et bbb ?

2. Pour a=3a=3a=3 et b=2b=2b=2, quelle valeur obtient-on en utilisant l’identité du carré d’une somme pour calculer (a+b)2(a+b)^2(a+b)2 ?

3. Lorsqu’on développe (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) par double distributivité, quelle étape permet d’obtenir le terme 2ab2ab2ab ?

4. Un carré de côté a+ba+ba+b est partagé en deux carrés de côtés aaa et bbb, ainsi qu’en deux rectangles de dimensions a×ba\times ba×b. Quelle somme représente son aire totale ?

5. Que signifie développer une expression à l’aide d’une identité remarquable ?

6. Quelle factorisation correspond à l’expression x2+6x+9x^2+6x+9x2+6x+9 ?

7. Quel est le rôle de la mise en évidence d’un facteur commun dans une expression comme ax2+bxax^2+bxax2+bx ?

8. Comment l’identité du carré d’une différence se distingue-t-elle de celle du carré d’une somme au niveau du terme croisé ?

9. Pourquoi les termes croisés disparaissent-ils dans le développement de (a+b)(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)(a−b) ?

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1. Quelle identité développe le carré d’une somme de deux réels $a$ et $b$ ?

2. Pour $a=3$ et $b=2$ , quelle valeur obtient-on en utilisant l’identité du carré d’une somme pour calculer $(a+b)^2$ ?

3. Lorsqu’on développe $(a+b)(a+b)$ par double distributivité, quelle étape permet d’obtenir le terme $2ab$ ?

4. Un carré de côté $a+b$ est partagé en deux carrés de côtés $a$ et $b$ , ainsi qu’en deux rectangles de dimensions $a\times b$ . Quelle somme représente son aire totale ?

6. Quelle factorisation correspond à l’expression $x^2+6x+9$ ?

7. Quel est le rôle de la mise en évidence d’un facteur commun dans une expression comme $ax^2+bx$ ?

9. Pourquoi les termes croisés disparaissent-ils dans le développement de $(a+b)(a-b)$ ?