QCM : Arithmétique et divisibilité (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. La division euclidienne de 35 par 7 donne un reste nul. Quelle relation entre 35 et 7 en découle ?

35 est un multiple de 7 et 7 est un diviseur de 35.
35 et 7 sont des diviseurs l’un de l’autre.
35 est un diviseur de 7, mais 7 n’est pas un multiple de 35.
7 est un multiple de 35 et 35 est un diviseur de 7.

35 est un multiple de 7 et 7 est un diviseur de 35.

Explication

Un reste nul signifie que 35 s’écrit comme 7 multiplié par un entier, donc 35 est un multiple de 7 et 7 divise 35. L’inversion de ces rôles confond le nombre divisé avec le diviseur.

2. Pour un entier non nul, quelle comparaison entre ses multiples et ses diviseurs est correcte ?

Il possède un nombre fini de multiples et une infinité de diviseurs.
Il possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs.
Il possède une infinité de multiples et une infinité de diviseurs.
Il possède un nombre fini de multiples et un nombre fini de diviseurs.

Il possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs.

Explication

Les multiples d’un entier non nul se poursuivent sans fin, tandis que ses diviseurs sont en nombre fini. L’idée d’une infinité de diviseurs inverse la propriété des diviseurs.

3. Quel entier est divisible à la fois par 2 et par 5 ?

Le nombre 3 475, dont le chiffre des unités est 5.
Le nombre 3 472, dont le chiffre des unités est 2.
Le nombre 3 478, dont le chiffre des unités est 8.
Le nombre 3 470, dont le chiffre des unités est 0.

Le nombre 3 470, dont le chiffre des unités est 0.

Explication

Un entier divisible par 2 et par 5 doit avoir un chiffre des unités qui satisfait les deux critères, ce qui est le cas de 0. Un chiffre des unités égal à 5 convient à la divisibilité par 5, mais pas à celle par 2.

4. Quel nombre est divisible par 9 d’après la somme de ses chiffres ?

725, car la somme de ses chiffres vaut 14.
729, car la somme de ses chiffres vaut 18.
728, car la somme de ses chiffres vaut 17.
726, car la somme de ses chiffres vaut 15.

729, car la somme de ses chiffres vaut 18.

Explication

La somme des chiffres de 729 est 18, qui est divisible par 9. Une somme divisible par 3, comme 15, ne suffit pas à établir la divisibilité par 9.

5. Lequel de ces nombres est divisible par 4 selon ses deux derniers chiffres ?

1 322, car 22 est divisible par 4.
1 316, car 16 est divisible par 4.
1 318, car 18 est divisible par 4.
1 326, car 26 est divisible par 4.

1 316, car 16 est divisible par 4.

Explication

Pour tester la divisibilité par 4, on examine les deux derniers chiffres : 16 est divisible par 4, donc 1 316 l’est aussi. La divisibilité du chiffre des unités ou la parité du nombre ne suffit pas à satisfaire ce critère.

6. Quel entier est divisible par 6 ?

49, car il n’est divisible ni par 2 ni par 3.
42, car il est divisible à la fois par 2 et par 3.
44, car il est divisible par 2 mais pas par 3.
45, car il est divisible par 3 mais pas par 2.

42, car il est divisible à la fois par 2 et par 3.

Explication

La divisibilité par 6 exige que le nombre soit divisible à la fois par 2 et par 3, ce qui est vrai pour 42. Être divisible par un seul de ces deux nombres ne suffit pas.

7. Quelle propriété définit un nombre premier ?

Il possède au moins deux diviseurs, sans restriction sur leur nombre.
Il possède exactement trois diviseurs, dont 1 et lui-même.
Il possède un seul diviseur, qui est lui-même.
Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Avoir au moins deux diviseurs ne suffit pas, car un nombre composé peut en avoir davantage.

8. Pourquoi ni 0 ni 1 ne sont-ils des nombres premiers ?

0 et 1 n’ont aucun diviseur entier.
0 et 1 ont chacun exactement deux diviseurs.
0 a une infinité de diviseurs, tandis que 1 n’en a qu’un seul.
0 n’a qu’un diviseur, tandis que 1 possède une infinité de diviseurs.

0 a une infinité de diviseurs, tandis que 1 n’en a qu’un seul.

Explication

Le nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs : 0 en a une infinité et 1 n’en a qu’un. L’affirmation selon laquelle ils auraient chacun deux diviseurs ne respecte donc pas leur nombre réel de diviseurs.

9. Quelle propriété caractérise la décomposition en facteurs premiers d’un entier strictement supérieur à 1 ?

Elle est unique seulement lorsque l’entier est pair.
Elle existe, mais plusieurs décompositions distinctes sont possibles.
Elle peut inclure des facteurs qui ne sont pas premiers.
Elle existe et est unique, à l’ordre des facteurs près.

Elle existe et est unique, à l’ordre des facteurs près.

Explication

Tout entier strictement supérieur à 1 possède une décomposition en facteurs premiers unique, à l’ordre des facteurs près. La possibilité de plusieurs décompositions distinctes confond cette unicité avec la diversité des écritures d’un entier sous forme de produits quelconques.

10. Comment la décomposition en facteurs premiers aide-t-elle à rendre une fraction irréductible ?

Elle permet de supprimer les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur.
Elle permet de supprimer les facteurs premiers présents au numérateur, même s’ils ne figurent pas au dénominateur.
Elle permet de remplacer le dénominateur par le plus grand facteur premier du numérateur.
Elle permet d’ajouter au numérateur les facteurs premiers présents au dénominateur.

Elle permet de supprimer les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur.

Explication

La décomposition fait apparaître les facteurs premiers communs, que l’on peut supprimer au numérateur et au dénominateur pour simplifier la fraction. Supprimer un facteur du seul numérateur modifierait la valeur de la fraction au lieu de la réduire correctement.

11. On veut répartir deux quantités d’objets en lots identiques, sans reste, en formant le plus grand nombre de lots possible : quelle notion faut-il calculer ?

Le plus petit multiple commun des deux quantités.
Le produit des deux quantités réparties.
Le plus grand diviseur commun des deux quantités.
La somme des deux quantités réparties.

Le plus grand diviseur commun des deux quantités.

Explication

Le PGCD donne le nombre maximal de lots identiques permettant de partager entièrement les deux quantités. Le PPCM concerne plutôt la recherche d’un multiple commun minimal, et non celle du nombre maximal de lots.

12. Pour calculer le PGCD de deux nombres à partir de leurs décompositions en facteurs premiers, quelle méthode faut-il appliquer ?

Multiplier tous les facteurs premiers présents avec leurs exposants les plus élevés.
Multiplier les facteurs premiers non communs avec leurs exposants les plus élevés.
Additionner les facteurs premiers communs avec leurs exposants les plus faibles.
Multiplier les facteurs premiers communs avec leurs exposants les plus faibles.

Multiplier les facteurs premiers communs avec leurs exposants les plus faibles.

Explication

Le PGCD se calcule en multipliant les facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant pris avec son plus petit exposant. Prendre les exposants les plus élevés correspond à une méthode associée à la recherche du PPCM, pas du PGCD.

13. Pour déterminer le premier nombre de dents parcourues avant que deux roues dentées retrouvent simultanément leur position initiale, quelle grandeur faut-il chercher ?

Le plus grand diviseur commun du nombre de dents des deux roues.
Le plus petit multiple commun du nombre de dents des deux roues.
La différence entre le nombre de dents des deux roues.
Le produit du nombre de dents des deux roues.

Le plus petit multiple commun du nombre de dents des deux roues.

Explication

Le PPCM donne le plus petit nombre de dents qui est un multiple du nombre de dents de chacune des roues, et correspond ainsi au premier retour simultané. Le PGCD est un diviseur commun maximal et ne mesure pas ce retour synchronisé.

14. Pour trouver le premier retour simultané de deux roues dentées à leur position initiale, quel nombre faut-il déterminer ?

Le nombre de dents obtenu en additionnant celles des deux roues.
Le plus petit nombre de dents qui est un multiple du nombre de dents de chaque roue.
Le plus grand nombre de dents qui divise le nombre de dents de chaque roue.
Le nombre de dents obtenu en soustrayant celles de la petite roue à celles de la grande.

Le plus petit nombre de dents qui est un multiple du nombre de dents de chaque roue.

Explication

Un retour simultané correspond à un nombre de dents parcourues divisible par le nombre de dents de chaque roue; le premier retour est donc le plus petit multiple commun. Le plus grand diviseur commun décrit une relation de divisibilité différente et ne détermine pas ce retour.

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Quand a est-il un multiple de b et b un diviseur de a ?

Lorsque la division euclidienne de a par b donne un reste nul.

Combien de multiples possède tout entier non nul ?

Une infinité.

Combien de diviseurs possède tout entier non nul ?

Un nombre fini.

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