Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers
4. Décomposition en facteurs premiers
5. Plus grand diviseur commun
6. Plus petit multiple commun

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Lorsque la division euclidienne de a par b, avec a > b et b non nul, donne un reste nul, a est un multiple de b et b est un diviseur de a, car a = b × q.

★ À maîtriser

📌 Tout entier non nul possède une infinité de multiples, mais seulement un nombre fini de diviseurs.

Compléments

• 1 est un diviseur de tous les nombres, et tout entier non nul est un diviseur de zéro ainsi que de lui-même.

💡 Astuce mémo

Le multiple est le résultat ; le diviseur est le nombre qui le partage.

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et par 5 si ce chiffre est 0 ou 5.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 si cette somme est divisible par 9.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Un entier est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 8 s’il est divisible par 2 trois fois de suite.

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur.

Compléments

• Il existe une infinité de nombres premiers.

• Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

📖 4. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout entier strictement supérieur à 1 se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers.

• La décomposition en facteurs premiers permet de rendre une fraction irréductible en supprimant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 112 est $112 = 2^4 \times 7$.

• La fraction $\frac{441}{756}$ se réduit à $\frac{7}{12}$, car 441 = 3 × 3 × 7 × 7 et 756 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7.

📖 5. Plus grand diviseur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun ; il donne le nombre maximal de lots identiques pouvant partager entièrement deux quantités d’objets.

★ À maîtriser

• Pour calculer le PGCD de deux nombres par décomposition en facteurs premiers, on multiplie les facteurs premiers communs avec leurs exposants les plus faibles.

Compléments

• Le PGCD de 288 et 540 est $2^2 \times 3^2 = 36$.

• Avec 288 stylos noirs et 540 stylos bleus répartis en 36 lots identiques, chaque lot contient 8 stylos noirs et 15 stylos bleus.

📖 6. Plus petit multiple commun

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le PPCM de plusieurs entiers est leur plus petit multiple commun ; il permet de déterminer le premier nombre de dents parcourues pour que deux roues dentées reviennent simultanément à leur position initiale.

★ À maîtriser

• Pour trouver le retour simultané des roues, on cherche le plus petit nombre de dents qui soit un multiple du nombre de dents de chaque roue.

Compléments

• Pour des roues de 8 et 14 dents, le PPCM est 56 ; la petite roue effectue 7 tours et la grande roue 4 tours avant le premier retour à la position initiale.