Fiche de révision : Inégalités et valeur absolue

📋 Plan du Cours

1. Propriétés des inégalités
2. Manipulation des inégalités
3. Variations des fonctions
4. Encadrements de fonctions
5. Résolution des inéquations
6. Valeur absolue et distance
7. Encadrement et approximation
8. Majorants et minorants

📖 1. Propriétés des inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Transitivité : La relation d’inégalité est transitive : si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z.

📝 Points essentiels

📌 La négation de x ≤ y est x > y, tandis que la négation de x < y est x ≥ y.

📖 2. Manipulation des inégalités

📝 Points essentiels

• Ajouter un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son sens : si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z.

• Multiplier les deux membres par un réel strictement positif conserve le sens de l’inégalité, tandis que les multiplier par un réel strictement négatif inverse son sens.

• Si 0 ≤ x ≤ y et 0 ≤ z ≤ t, alors la multiplication membre à membre donne 0 ≤ xz ≤ yt.

• L’addition membre à membre est valide : si x ≤ y et z ≤ t, alors x + z ≤ y + t, mais la soustraction membre à membre ne permet aucune conclusion générale sur x − z et y − t.

💡 Astuce mémo

Signe positif : le sens reste ; signe négatif : le sens s’inverse.

📖 3. Variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction f est croissante si x ≤ y implique f(x) ≤ f(y), et elle est strictement croissante si x < y implique f(x) < f(y).
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante si x ≤ y implique f(x) ≥ f(y), et elle est strictement décroissante si x < y implique f(x) > f(y).

★ À maîtriser

• La fonction carré est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0], mais elle n’est pas croissante sur ℝ.

Compléments

• La fonction affine f(x)=ax+b est strictement croissante si a>0 et strictement décroissante si a<0.

💡 Astuce mémo

Croissante : le sens reste ; décroissante : le sens s’inverse.

📖 4. Encadrements de fonctions

★ À maîtriser

• Pour encadrer une expression, on encadre séparément ses sous-expressions, on applique les variations adaptées, puis on recombine les encadrements en respectant les signes.

• Si 2 ≤ x ≤ 5, alors 7/4 ≤ (x²+3)/(x−1) ≤ 28.

Compléments

📌 L’encadrement obtenu en évaluant une expression seulement aux bornes peut être faux lorsque la fonction n’est pas monotone sur l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Encadrer, transformer, recombiner.

📖 5. Résolution des inéquations

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution d’une inéquation rationnelle consiste à:
  1. exclure les dénominateurs nuls
  2. étudier les signes des dénominateurs
  3. transformer l’inégalité sur chaque intervalle
  4. réunir les intervalles solutions

📌 Pour mettre au carré une inégalité, il faut notamment vérifier que les deux membres sont non négatifs sur le domaine considéré.

Compléments

📐 Formule — Pour l’inéquation rationnelle étudiée, le polynôme obtenu est $x^2-8x-11$, dont le discriminant vaut $\Delta=108=(6\sqrt{3})^2$ et les racines sont $4-3\sqrt{3}$ et $4+3\sqrt{3}$.

💡 Astuce mémo

Domaine, signes, transformation, solutions.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : vaut x si x ≥ 0 et −x si x ≤ 0 ; elle est aussi égale à max(x,−x).
• Distance réelle : La distance entre deux réels x et y est d(x,y)=|x−y|=|y−x|.

📝 Points essentiels

📌 L’équation |x|=a n’a aucune solution si a<0, une seule solution x=0 si a=0 et deux solutions x=−a ou x=a si a>0.

📌 Pour a>0, |x|≤a équivaut à −a≤x≤a, tandis que |x|≥a équivaut à x≤−a ou x≥a.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro.

📖 7. Encadrement et approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur approchée : Un réel α est une valeur approchée de x à ε près si |x−α|≤ε, avec ε strictement positif.

★ À maîtriser

• La condition |x−α|≤ε équivaut à α−ε≤x≤α+ε, donc l’intervalle d’encadrement a pour amplitude $2\varepsilon$.

Compléments

📌 Si α≤x≤α+ε, α est une valeur approchée par défaut, tandis que si α−ε≤x≤α, α est une valeur approchée par excès.

• L’encadrement 3,14≤π≤3,15 a une amplitude de 0,01.

💡 Astuce mémo

Par défaut : approximation en dessous ; par excès : approximation au-dessus.

📖 8. Majorants et minorants

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’un ensemble E si tout élément x de E vérifie x≤M.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’un ensemble E si tout élément x de E vérifie x≥m.
• Ensemble borné : Un ensemble E est borné lorsqu’il possède à la fois un majorant M et un minorant m, ce qui implique E⊂[m,M].

★ À maîtriser

📌 Une suite croissante est minorée par son premier terme U_0, tandis qu’une suite décroissante est majorée par son premier terme U_0.

Compléments

• La suite définie par U_n=1/(n+1) est bornée car 0<U_n≤1 pour tout n.

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous.

📊 Tableaux de synthèse

Effet des transformations sur une inégalité