QCM : Inégalités et valeur absolue — 23 questions

Question 1

1. Quelle conclusion découle de la transitivité de la relation d’inégalité si $x \le y$ et $y \le z$ ?

On a

x \ge z

.

On a

x \le z

.

On a

z \le x

.

On a

x < z

.

Explication

La transitivité permet de relier directement le premier et le troisième terme lorsque $x \le y$ et $y \le z$ , d’où $x \le z$ . Elle ne permet pas d’affirmer une inégalité stricte sans information supplémentaire.

Answer

On a $$x \le z$$.

Question 2

2. Quelle est la négation logique de l’inégalité $x < y$ ?

x = y

x > y

x \le y

x \ge y

Explication

La négation de $x < y$ regroupe les cas où $x$ est égal ou supérieur à $y$ , soit $x \ge y$ . L’expression $x > y$ nie plutôt l’inégalité large $x \le y$ .

Answer

$$x \ge y$$

Question 3

3. Quelle transformation conserve le sens de l’inégalité $x \le y$ ?

Soustraire deux réels différents aux membres

Ajouter le même réel aux deux membres

Échanger les deux membres sans modifier le signe

Multiplier les membres par un réel négatif

Explication

Ajouter un même réel $z$ aux deux membres donne $x+z \le y+z$ , car l’écart entre les membres reste inchangé. Une multiplication par un réel négatif, en revanche, inverse le sens de l’inégalité.

Answer

Ajouter le même réel aux deux membres

Question 4

4. Que devient le sens de l’inégalité $x \le y$ lorsque ses deux membres sont multipliés par un réel strictement négatif ?

Il s’inverse.

Il disparaît lorsque les membres sont différents.

Il reste inchangé.

Il devient nécessairement strict.

Explication

La multiplication par un réel strictement négatif inverse le sens : si $x \le y$ et $k<0$ , alors $kx \ge ky$ . Le sens resterait conservé avec un facteur strictement positif.

Answer

Il s’inverse.

Question 5

5. Dans quelles conditions peut-on conclure que $xz \le yt$ à partir de $x \le y$ et $z \le t$ ?

Lorsque les quatre termes sont strictement négatifs

Lorsque les deux inégalités ont des sens opposés

Lorsque

x \le y

et

z \le t

sans autre condition

Lorsque

0 \le x \le y

et

0 \le z \le t

Explication

La multiplication membre à membre s’applique ici lorsque les termes sont positifs ou nuls : $0 \le x \le y$ et $0 \le z \le t$ entraînent $0 \le xz \le yt$ . Des inégalités quelconques ne suffisent pas à garantir cette conclusion.

Answer

Lorsque $$0 \le x \le y$$ et $$0 \le z \le t$$

Question 6

6. Quelle affirmation distingue correctement l’addition et la soustraction membre à membre ?

Aucune des deux opérations ne permet de comparer les résultats.

Les deux opérations donnent une conclusion générale dans les mêmes conditions.

La soustraction donne une conclusion générale, contrairement à l’addition.

L’addition donne une conclusion générale, contrairement à la soustraction.

Explication

De $x \le y$ et $z \le t$ , on peut déduire $x+z \le y+t$ . La soustraction membre à membre ne fournit pas, en général, de comparaison déterminée entre $x-z$ et $y-t$ .

Answer

L’addition donne une conclusion générale, contrairement à la soustraction.

Question 7

7. Quelle condition caractérise une fonction strictement croissante sur un intervalle ?

Si

x\le y

, alors

f(x)\ge f(y)

.

Si

x\le y

, alors

f(x)=f(y)

.

Si

x<y

, alors

f(x)>f(y)

.

Si

x<y

, alors

f(x)<f(y)

.

Explication

Une fonction strictement croissante préserve l’ordre strict : $x<y$ entraîne $f(x)<f(y)$ . La relation $f(x)>f(y)$ correspond à une fonction strictement décroissante.

Answer

Si $$x<y$$, alors $$f(x)<f(y)$$.

Question 8

8. Pour une fonction décroissante, que peut-on déduire de $x\le y$ ?

f(x)>f(y)

dans tous les cas

f(x)\le f(y)

f(x)=f(y)

dans tous les cas

f(x)\ge f(y)

Explication

Une fonction décroissante inverse l’ordre large : $x\le y$ implique $f(x)\ge f(y)$ . L’inégalité stricte entre les images nécessiterait que la fonction soit strictement décroissante et que $x<y$ .

Answer

$$f(x)\ge f(y)$$

Question 9

9. Quelle description correcte de la fonction carré permet d’étudier ses variations ?

Elle croît sur

]−\infty,0]

et décroît sur

[0,+\infty[

.

Elle croît sur l’ensemble de

\mathbb{R}

.

Elle croît sur

[0,+\infty[

et décroît sur

]−\infty,0]

.

Elle décroît sur l’ensemble de

\mathbb{R}

.

Explication

La fonction carré est décroissante sur la partie négative puis croissante sur la partie positive, ce qui explique qu’elle ne soit pas croissante sur tout $\mathbb{R}$ . Les variations s’inversent de part et d’autre de zéro.

Answer

Elle croît sur $$[0,+\infty[$$ et décroît sur $$]−\infty,0]$$.

Question 10

10. Pour encadrer correctement une expression composée sur un intervalle, quelle démarche faut-il suivre ?

Encadrer les sous-expressions, appliquer les variations puis recombiner les résultats

Remplacer chaque variable par sa valeur moyenne puis calculer l’expression

Évaluer l’expression aux bornes puis retenir les deux valeurs obtenues

Développer l’expression avant d’ignorer les signes des différents termes

Explication

Il faut traiter séparément les sous-expressions, utiliser les variations adaptées et recombiner les encadrements en tenant compte des signes. L’évaluation aux bornes peut être insuffisante lorsque l’expression n’est pas monotone sur l’intervalle.

Answer

Encadrer les sous-expressions, appliquer les variations puis recombiner les résultats

Question 11

11. Si $2\leq x\leq 5$ , quel encadrement est valable pour $\frac{x^2+3}{x-1}$ ?

\frac{7}{2}\leq\frac{x^2+3}{x-1}\leq 28

\frac{3}{4}\leq\frac{x^2+3}{x-1}\leq 14

\frac{7}{4}\leq\frac{x^2+3}{x-1}\leq 28

2\leq\frac{x^2+3}{x-1}\leq 5

Explication

Sur l’intervalle considéré, l’expression est encadrée par $\frac{7}{4}$ et $28$ . Les autres bornes ne correspondent pas à l’encadrement établi pour cette expression.

Answer

$$\frac{7}{4}\leq\frac{x^2+3}{x-1}\leq 28$$

Question 12

12. Quelle méthode permet de résoudre correctement une inéquation rationnelle ?

Résoudre séparément numérateur et dénominateur puis conserver leurs solutions communes

Multiplier par le dénominateur sans vérifier son signe puis résoudre l’inégalité obtenue

Exclure les dénominateurs nuls, étudier les signes et réunir les intervalles solutions

Étudier le numérateur sur l’ensemble des réels sans tenir compte des valeurs interdites

Explication

La résolution exige d’identifier les valeurs interdites, de construire l’étude de signes et de traiter l’inégalité sur chaque intervalle avant de réunir les solutions. Multiplier directement par un dénominateur de signe inconnu peut inverser l’inégalité et produire une conclusion fausse.

Answer

Exclure les dénominateurs nuls, étudier les signes et réunir les intervalles solutions

Question 13

13. Avant de mettre au carré une inégalité, quelle vérification est nécessaire ?

Vérifier que les deux membres ont le même degré après simplification

Vérifier que le membre de gauche est inférieur à celui de droite aux bornes

Vérifier que les deux membres sont positifs et non nuls en tout point

Vérifier que les deux membres sont non négatifs sur le domaine étudié

Explication

Le passage au carré demande notamment de savoir que les deux membres sont non négatifs sur le domaine considéré, afin de préserver l’équivalence. La positivité stricte n’est pas exigée, car la valeur zéro peut être admise.

Answer

Vérifier que les deux membres sont non négatifs sur le domaine étudié

Question 14

14. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel $x$ lorsque $x<0$ ?

|x|=x

, car le signe de

x

est conservé

|x|=0

, puisque

x

se trouve à gauche de zéro

|x|=x^2

, car le carré supprime le signe

|x|=-x

, tandis que

x

reste négatif

Explication

Pour un réel négatif, la valeur absolue est son opposé, donc $|x|=-x$ , ce qui donne un nombre positif. La confusion fréquente consiste à identifier $|x|$ à $x$ , alors que $x$ reste négatif.

Answer

$$|x|=-x$$, tandis que $$x$$ reste négatif

Question 15

15. Combien de solutions l’équation $|x|=a$ possède-t-elle lorsque $a<0$ ?

Elle n’a aucune solution réelle, car une valeur absolue est non négative

Elle possède une solution réelle, donnée par

x=0

Elle possède une solution réelle, donnée par

x=a

Elle possède deux solutions réelles, données par

x=-a

et

x=a

Explication

Une valeur absolue ne peut pas être négative, donc l’équation $|x|=a$ est impossible lorsque $a<0$ . Il faut la distinguer de l’inéquation $|x|\geq a$ , qui est vraie pour tout réel dans ce cas.

Answer

Elle n’a aucune solution réelle, car une valeur absolue est non négative

Question 16

16. Pour $a>0$ , quelle condition caractérise la solution de l’inéquation $|x|\geq a$ ?

x\leq-a

ou

x\geq a

x<-a

ou

x>a

-a<x<a

-a\leq x\leq a

Explication

La condition $|x|\geq a$ signifie que la distance de $x$ à zéro est au moins égale à $a$ , d’où les deux intervalles extérieurs $x\leq-a$ ou $x\geq a$ . L’intervalle central correspond plutôt à $|x|\leq a$ .

Answer

$$x\leq-a$$ ou $$x\geq a$$

Question 17

17. Quelle égalité représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

d(x,y)=|x+y|=|y+x|

d(x,y)=x-y=y-x

d(x,y)=x^2-y^2=y^2-x^2

d(x,y)=|x-y|=|y-x|

Explication

La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence, et l’ordre de la soustraction ne change pas cette valeur : $d(x,y)=|x-y|=|y-x|$ . Une différence non valorisée par la valeur absolue peut être négative et ne représente donc pas une distance.

Answer

$$d(x,y)=|x-y|=|y-x|$$

Question 18

18. Pour qu’un réel α soit une valeur approchée de x à ε près, quelle condition doit être vérifiée ?

ε doit être négatif et

|x-α|\geq ε

ε peut avoir n’importe quel signe et

|x-α|=ε

ε doit être nul et

|x-α|<ε

ε doit être strictement positif et

|x-α|\leq ε

Explication

La définition impose que ε soit strictement positif et que l’écart entre x et α soit inférieur ou égal à ε. La possibilité d’un ε nul ou négatif ne correspond pas à cette définition de la précision.

Answer

ε doit être strictement positif et $$|x-α|\leq ε$$

Question 19

19. Si $|x-α|\leq 0,2$ , quelle est l’amplitude de l’intervalle d’encadrement de x centré en α ?

2

0,4

0,2

0,1

Explication

La condition s’écrit $α-0,2\leq x\leq α+0,2$ , dont l’amplitude vaut $2ε=2\times0,2=0,4$ . La valeur $0,2$ représente la précision de chaque côté, pas la largeur totale de l’intervalle.

Answer

Tout élément x de E vérifie $$x\leq M$$.

Answer

Tout élément x de E vérifie $$x\geq m$$.

Answer

E est majoré mais n’est pas borné.

Answer

$$U_0$$ est un minorant de la suite.

Question 20

20. Quel énoncé caractérise un majorant M d’un ensemble E ?

Le nombre M appartient nécessairement à l’ensemble E.

Tout élément x de E vérifie

x\geq M

.

Tout élément x de E vérifie

x\leq M

.

Il existe un élément x de E tel que

x=M

.

Explication

M est un majorant lorsque chaque élément de E est inférieur ou égal à M. Il n’est pas nécessaire que M appartienne à E, ni qu’il soit atteint par un élément de l’ensemble.

Question 21

21. Quel énoncé caractérise un minorant m d’un ensemble E ?

Tout élément x de E vérifie

x\leq m

.

Il existe un élément x de E tel que

x=m

.

Tout élément x de E vérifie

x\geq m

.

Le nombre m est nécessairement le plus petit élément de E.

Explication

m est un minorant lorsque chaque élément de E est supérieur ou égal à m. Un minorant peut ne pas appartenir à E et ne constitue pas forcément le plus petit élément de l’ensemble.

Question 22

22. Un ensemble E possède un majorant M mais aucun minorant. Quelle conclusion peut-on tirer ?

E est minoré mais n’est pas majoré.

E est majoré mais n’est pas borné.

E est borné et vérifie

E\subseteq[m,M]

.

E possède nécessairement un plus grand élément égal à M.

Explication

Un ensemble est borné lorsqu’il possède à la fois un majorant et un minorant ; ici, E n’est donc pas borné. Le fait d’être majoré ne garantit pas que M soit un élément maximal de E.

Question 23

23. Pour une suite croissante commençant par $U_0$ , quelle borne peut-on utiliser directement ?

U_0

est un minorant de la suite.

U_0

est un majorant de la suite.

U_0

est nécessairement le plus grand terme de la suite.

U_0

est nécessairement la limite de la suite.

Explication

Dans une suite croissante, chaque terme est supérieur ou égal au premier terme, donc $U_0$ constitue un minorant. Il joue le rôle opposé pour une suite décroissante, où il fournit un majorant.

QCM : Inégalités et valeur absolue — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle conclusion découle de la transitivité de la relation d’inégalité si $x \le y$ et $y \le z$ ?

2. Quelle est la négation logique de l’inégalité $x < y$ ?

3. Quelle transformation conserve le sens de l’inégalité $x \le y$ ?

4. Que devient le sens de l’inégalité $x \le y$ lorsque ses deux membres sont multipliés par un réel strictement négatif ?

5. Dans quelles conditions peut-on conclure que $xz \le yt$ à partir de $x \le y$ et $z \le t$ ?

6. Quelle affirmation distingue correctement l’addition et la soustraction membre à membre ?

7. Quelle condition caractérise une fonction strictement croissante sur un intervalle ?

8. Pour une fonction décroissante, que peut-on déduire de $x\le y$ ?

9. Quelle description correcte de la fonction carré permet d’étudier ses variations ?

10. Pour encadrer correctement une expression composée sur un intervalle, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Si $2\leq x\leq 5$ , quel encadrement est valable pour $\frac{x^2+3}{x-1}$ ?

12. Quelle méthode permet de résoudre correctement une inéquation rationnelle ?

13. Avant de mettre au carré une inégalité, quelle vérification est nécessaire ?

14. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel $x$ lorsque $x<0$ ?

15. Combien de solutions l’équation $|x|=a$ possède-t-elle lorsque $a<0$ ?

16. Pour $a>0$ , quelle condition caractérise la solution de l’inéquation $|x|\geq a$ ?

17. Quelle égalité représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

18. Pour qu’un réel α soit une valeur approchée de x à ε près, quelle condition doit être vérifiée ?

19. Si $|x-α|\leq 0,2$ , quelle est l’amplitude de l’intervalle d’encadrement de x centré en α ?

20. Quel énoncé caractérise un majorant M d’un ensemble E ?

21. Quel énoncé caractérise un minorant m d’un ensemble E ?

22. Un ensemble E possède un majorant M mais aucun minorant. Quelle conclusion peut-on tirer ?

23. Pour une suite croissante commençant par $U_0$ , quelle borne peut-on utiliser directement ?

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QCM : Inégalités et valeur absolue — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle conclusion découle de la transitivité de la relation d’inégalité si x≤yx \le yx≤y et y≤zy \le zy≤z ?

2. Quelle est la négation logique de l’inégalité x<yx < yx<y ?

3. Quelle transformation conserve le sens de l’inégalité x≤yx \le yx≤y ?

4. Que devient le sens de l’inégalité x≤yx \le yx≤y lorsque ses deux membres sont multipliés par un réel strictement négatif ?

5. Dans quelles conditions peut-on conclure que xz≤ytxz \le ytxz≤yt à partir de x≤yx \le yx≤y et z≤tz \le tz≤t ?

6. Quelle affirmation distingue correctement l’addition et la soustraction membre à membre ?

7. Quelle condition caractérise une fonction strictement croissante sur un intervalle ?

8. Pour une fonction décroissante, que peut-on déduire de x≤yx\le yx≤y ?

9. Quelle description correcte de la fonction carré permet d’étudier ses variations ?

10. Pour encadrer correctement une expression composée sur un intervalle, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Si 2≤x≤52\leq x\leq 52≤x≤5, quel encadrement est valable pour x2+3x−1\frac{x^2+3}{x-1}x−1x2+3​ ?

12. Quelle méthode permet de résoudre correctement une inéquation rationnelle ?

13. Avant de mettre au carré une inégalité, quelle vérification est nécessaire ?

14. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel xxx lorsque x<0x<0x<0 ?

15. Combien de solutions l’équation ∣x∣=a|x|=a∣x∣=a possède-t-elle lorsque a<0a<0a<0 ?

16. Pour a>0a>0a>0, quelle condition caractérise la solution de l’inéquation ∣x∣≥a|x|\geq a∣x∣≥a ?

17. Quelle égalité représente la distance entre deux réels xxx et yyy ?

18. Pour qu’un réel α soit une valeur approchée de x à ε près, quelle condition doit être vérifiée ?

19. Si ∣x−α∣≤0,2|x-α|\leq 0,2∣x−α∣≤0,2, quelle est l’amplitude de l’intervalle d’encadrement de x centré en α ?

20. Quel énoncé caractérise un majorant M d’un ensemble E ?

21. Quel énoncé caractérise un minorant m d’un ensemble E ?

22. Un ensemble E possède un majorant M mais aucun minorant. Quelle conclusion peut-on tirer ?

23. Pour une suite croissante commençant par U0U_0U0​, quelle borne peut-on utiliser directement ?

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Crée tes propres QCM

1. Quelle conclusion découle de la transitivité de la relation d’inégalité si $x \le y$ et $y \le z$ ?

2. Quelle est la négation logique de l’inégalité $x < y$ ?

3. Quelle transformation conserve le sens de l’inégalité $x \le y$ ?

4. Que devient le sens de l’inégalité $x \le y$ lorsque ses deux membres sont multipliés par un réel strictement négatif ?

5. Dans quelles conditions peut-on conclure que $xz \le yt$ à partir de $x \le y$ et $z \le t$ ?

8. Pour une fonction décroissante, que peut-on déduire de $x\le y$ ?

11. Si $2\leq x\leq 5$ , quel encadrement est valable pour $\frac{x^2+3}{x-1}$ ?

14. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel $x$ lorsque $x<0$ ?

15. Combien de solutions l’équation $|x|=a$ possède-t-elle lorsque $a<0$ ?

16. Pour $a>0$ , quelle condition caractérise la solution de l’inéquation $|x|\geq a$ ?

17. Quelle égalité représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

19. Si $|x-α|\leq 0,2$ , quelle est l’amplitude de l’intervalle d’encadrement de x centré en α ?

23. Pour une suite croissante commençant par $U_0$ , quelle borne peut-on utiliser directement ?