QCM : Calcul algébrique — 24 questions

Question 1

1. Quelle écriture représente une somme indexée de termes $u_k$ allant de $k=0$ à $k=n$ ?

\prod_{k=0}^{n}u_k

\sum_{k=0}^{n}u_k

avec multiplication des termes

\prod_{k=0}^{n}(u_k+1)

\sum_{k=0}^{n}u_k

Explication

Une somme indexée s’écrit avec le symbole $\sum$ et additionne les termes $u_k$ pour les indices compris entre les deux bornes. Le symbole $\prod$ désigne au contraire un produit indexé.

Answer

$$\sum_{k=0}^{n}u_k$$

Question 2

2. Combien de termes contient la somme $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

6

8

11

5

Explication

Le nombre de termes se calcule par $8-3+1=6$ , car les bornes sont incluses. La variable $k$ sert uniquement à parcourir les indices et n’influence pas ce décompte.

Answer

$$\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}u_k+\sum_{k=0}^{n}v_k$$

Answer

$$5(n+1)$$

Answer

$$\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$$

Answer

Le télescopage

Answer

$$u_n-u_0$$

Answer

$$\frac{q^{n+1}-q^p}{q-1}$$

Answer

Une addition où deux indices varient sur un domaine donné

Answer

Parce que les indices sont indépendants et forment un domaine rectangulaire

Answer

Réécrire le domaine avec un seul signe somme avant de permuter les sommes

Answer

$$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$$

Answer

Pour $$a,b\in\mathbb R$$ et $$n\geq1$$

Answer

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Answer

$$\prod_{k=0}^{n}u_k$$

Answer

$$\frac{u_{n+1}}{u_p}$$

Answer

$$\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

Answer

$$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$ et $$\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$$

Answer

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

Answer

$$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$

Answer

$$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

Answer

La remplacer par la puissance $$ (a+b)^n$$

Question 3

3. Quelle décomposition exprime correctement la linéarité d’une somme ?

\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}(u_kv_k)

\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}u_k+\sum_{k=0}^{n}v_k

\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\left(\sum_{k=0}^{n}u_k\right)\left(\sum_{k=0}^{n}v_k\right)

\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}u_k-\sum_{k=0}^{n}v_k

Explication

La linéarité permet de distribuer la somme sur une addition terme à terme. Elle ne transforme pas cette addition en produit, en produit terme à terme ou en différence.

Question 4

4. Quelle est la valeur de $\sum_{k=0}^{n}5$ ?

n+5

5n

\frac{5(n+1)}{2}

5(n+1)

Explication

La constante $5$ apparaît pour chacun des $n+1$ indices compris entre $0$ et $n$ , donc la somme vaut $5(n+1)$ . La formule triangulaire ne s’applique pas à une constante répétée.

Question 5

5. Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique de $u_p$ à $u_n$ ?

(n-p+1)u_pu_n

\frac{(n-p)(u_p+u_n)}{2}

\frac{u_n-u_p}{n-p+1}

\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}

Explication

Une suite arithmétique se somme en multipliant le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme. Le nombre de termes est $n-p+1$ , ce qui donne la formule indiquée.

Question 6

6. Quelle méthode consiste à faire apparaître des annulations entre termes successifs ?

La reconnaissance d’une constante

Le regroupement par puissances

Le changement d’indice

Le télescopage

Explication

Le télescopage exploite des différences ou des formes voisines pour annuler des termes successifs. Un changement d’indice modifie plutôt la manière d’écrire les termes sans provoquer nécessairement ces annulations.

Question 7

7. Pour une suite quelconque, à quelle expression se réduit $\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})$ ?

u_0-u_1

u_n-u_0

u_n+u_0

u_1-u_n

Explication

En développant la somme, les termes intermédiaires se compensent deux à deux, ce qui laisse le dernier terme moins le premier. Cette propriété est précisément l’effet du télescopage.

Question 8

8. Quelle formule donne $\sum_{k=p}^{n}q^k$ lorsque $q\neq1$ ?

\frac{q^{n+1}+q^p}{q-1}

\frac{q^{n+1}-q^p}{q-1}

\frac{q^{n-p+1}}{q-1}

\frac{q^n-q^p}{q-1}

Explication

La somme géométrique comprise entre les puissances $q^p$ et $q^n$ vaut $\frac{q^{n+1}-q^p}{q-1}$ . L’exposant $n+1$ provient du décalage entre la dernière puissance et le facteur obtenu après multiplication par $q$ .

Question 9

9. Que désigne une somme double portant sur les termes $u_{i,j}$ ?

Une soustraction entre deux sommes de termes simples

Une multiplication où deux indices varient sur un domaine donné

Une addition où deux indices varient sur un domaine donné

Une addition d’un seul indice répété deux fois

Explication

Une somme double additionne des termes dépendant de deux indices, généralement notés $i$ et $j$ , qui parcourent un domaine défini. Elle se distingue ainsi d’une somme simple, qui ne fait varier qu’un indice.

Question 10

10. Pourquoi peut-on permuter les signes somme dans $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}$ ?

Parce que les indices sont liés et forment un domaine triangulaire

Parce que les bornes deviennent identiques après permutation

Parce que chaque terme est nécessairement nul lorsque

i=j

Parce que les indices sont indépendants et forment un domaine rectangulaire

Explication

Des indices indépendants décrivent toutes les combinaisons de $i$ et de $j$ dans un rectangle, ce qui permet d’inverser l’ordre des sommations. Des indices liés imposeraient au contraire une réécriture du domaine avant toute permutation.

Question 11

11. Comment traiter une somme double dont les bornes des indices sont liées ?

Transformer chaque terme en produit de deux sommes simples

Réécrire le domaine avec un seul signe somme avant de permuter les sommes

Remplacer les deux indices par une seule borne indépendante

Permuter les signes somme en conservant les bornes telles quelles

Explication

Lorsque les bornes dépendent l’une de l’autre, le domaine n’est pas rectangulaire et il faut d’abord le décrire correctement avec un seul signe somme. On peut ensuite permuter les sommations ou effectuer le calcul direct.

Question 12

12. Quelle identité développe correctement le carré de la somme $\sum_{i=1}^{n}a_i$ ?

\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j

\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2-2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j

\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+2\sum_{i=1}^{n}a_i

\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j

Explication

Le développement du carré contient les carrés de chaque terme et deux copies de chaque produit entre deux termes distincts. La condition $i<j$ évite de compter deux fois les mêmes paires avant l’apparition du facteur $2$ .

Question 13

13. Pour quelles valeurs de $a$ , $b$ et $n$ l’identité $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ est-elle valable ?

Pour

a,b\in\mathbb N

et

n<1

Pour

a,b\in\mathbb R

et

n=0

Pour

a,b>0

et

n\leq1

Pour

a,b\in\mathbb R

et

n\geq1

Explication

L’identité est valable pour deux réels $a$ et $b$ et tout entier $n\geq1$ . La restriction aux entiers naturels positifs serait plus étroite que la condition donnée, tandis que $n=0$ n’est pas admis ici.

Question 14

14. Quelle factorisation correcte représente une différence de cubes ?

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3-b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab-b^2)

Explication

La différence de cubes se factorise par $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ , avec un dernier signe positif. Le signe négatif au terme final correspondrait à une confusion avec une autre identité remarquable.

Question 15

15. Quelle notation désigne le produit des termes $u_0,u_1,\ldots,u_n$ ?

\sum_{k=0}^{n}u_k

\prod_{k=0}^{n}u_k

u_0+u_1+\cdots+u_n

\prod_{k=1}^{n}u_k

Explication

Le symbole $\prod_{k=0}^{n}u_k$ indique la multiplication de tous les termes allant de $u_0$ à $u_n$ . Le symbole $\sum$ désigne une addition, tandis qu’un indice initial égal à $1$ omettrait $u_0$ .

Question 16

16. Quelle valeur faut-il attribuer à $0!$ selon la convention usuelle ?

0!=−1

0!=1

0!=0

0!=n

Explication

Par convention, $0!=1$ , ce qui rend notamment cohérente la définition générale de la factorielle. La valeur zéro ne respecte pas cette convention, et $n$ dépendrait d’une variable absente de l’expression.

Question 17

17. Combien vaut le produit $\prod_{k=1}^{n}a$ lorsque le même facteur constant $a$ apparaît $n$ fois ?

na

a^n

a+n

a^{n+1}

Explication

Un produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ vaut $a^n$ . L’expression $na$ représente la somme de $n$ copies de $a$ , et non leur produit.

Question 18

18. Si tous les termes sont non nuls, comment se simplifie le produit télescopique $\prod_{k=p}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k}$ ?

\frac{u_p}{u_{n+1}}

\frac{u_{n+1}}{u_p}

\frac{u_{p+1}}{u_n}

\frac{u_n}{u_{p+1}}

Explication

Les facteurs intermédiaires se simplifient deux à deux, laissant le dernier numérateur et le premier dénominateur, soit $\frac{u_{n+1}}{u_p}$ . L’expression inverse échangerait les termes conservés et ne correspondrait pas au télescopage multiplicatif.

Question 19

19. Quelle expression définit $\binom{n}{k}$ lorsque $0\leq k\leq n$ ?

\frac{(n-k)!k!}{n!}

\frac{n!}{(n-k)!k!}

\frac{n!}{(n+k)!}

\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}

Explication

Pour $0\leq k\leq n$ , on a $\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ . L’inversion du quotient ou le remplacement de $n-k$ par $n+k$ modifie la définition du coefficient binomial.

Question 20

20. Quelle propriété décrit correctement les coefficients binomiaux situés aux extrémités et juste à côté des extrémités ?

\binom{n}{0}=\binom{n}{1}=1

et

\binom{n}{n-1}=\binom{n}{n}=n

\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1

et

\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n

\binom{n}{0}=\binom{n}{n-1}=1

et

\binom{n}{1}=\binom{n}{n}=n

\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=n

et

\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=1

Explication

Les coefficients extrêmes valent $1$ , tandis que leurs voisins valent $n$ . Intervertir ces deux valeurs confond précisément les positions extrêmes avec les positions adjacentes.

Question 21

21. Quelle égalité exprime la formule du complémentaire des coefficients binomiaux ?

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

\binom{n}{k}=\binom{n-k}{n}

\binom{n}{k}=\binom{k}{n-k}

\binom{n}{k}=\binom{n+k}{k}

Explication

La formule du complémentaire affirme que choisir $k$ éléments parmi $n$ revient, pour le coefficient, à choisir le complément de taille $n-k$ . Les autres égalités changent la première ligne ou les indices de façon incompatible avec cette symétrie.

Question 22

22. Quelle relation permet de calculer un coefficient binomial intérieur à partir de la ligne précédente du triangle de Pascal ?

\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n}{k-1}

\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}

\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-1}{k}

\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k-1}+\binom{n+1}{k}

Explication

La formule de Pascal additionne les deux coefficients situés au-dessus : $\binom{n-1}{k-1}$ et $\binom{n-1}{k}$ . Une soustraction, une ligne supérieure ou un mélange de lignes ne donne pas la relation de Pascal.

Question 23

23. Quelle expression correspond à la formule du binôme de Newton pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$ ?

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^nb^k

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

Explication

La formule associe à chaque terme le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ainsi que les puissances complémentaires $a^{n-k}$ et $b^k$ . Une expression qui omet ces coefficients ou modifie les exposants ne donne pas le développement général de la puissance.

Question 24

24. Quelle transformation permet de simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ ?

La remplacer par la puissance

(ab)^n

La remplacer par la somme

a^n+b^n

La remplacer par la puissance

(a-b)^n

La remplacer par la puissance

(a+b)^n

Explication

La formule du binôme s’applique dans les deux sens : cette somme est précisément le développement de $(a+b)^n$ . La puissance $(a-b)^n$ introduirait des signes alternés, tandis que les deux autres expressions ne correspondent pas à la structure de la somme.

QCM : Calcul algébrique — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture représente une somme indexée de termes $u_k$ allant de $k=0$ à $k=n$ ?

2. Combien de termes contient la somme $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

3. Quelle décomposition exprime correctement la linéarité d’une somme ?

4. Quelle est la valeur de $\sum_{k=0}^{n}5$ ?

5. Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique de $u_p$ à $u_n$ ?

6. Quelle méthode consiste à faire apparaître des annulations entre termes successifs ?

7. Pour une suite quelconque, à quelle expression se réduit $\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})$ ?

8. Quelle formule donne $\sum_{k=p}^{n}q^k$ lorsque $q\neq1$ ?

9. Que désigne une somme double portant sur les termes $u_{i,j}$ ?

10. Pourquoi peut-on permuter les signes somme dans $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}$ ?

11. Comment traiter une somme double dont les bornes des indices sont liées ?

12. Quelle identité développe correctement le carré de la somme $\sum_{i=1}^{n}a_i$ ?

13. Pour quelles valeurs de $a$ , $b$ et $n$ l’identité $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ est-elle valable ?

14. Quelle factorisation correcte représente une différence de cubes ?

15. Quelle notation désigne le produit des termes $u_0,u_1,\ldots,u_n$ ?

16. Quelle valeur faut-il attribuer à $0!$ selon la convention usuelle ?

17. Combien vaut le produit $\prod_{k=1}^{n}a$ lorsque le même facteur constant $a$ apparaît $n$ fois ?

18. Si tous les termes sont non nuls, comment se simplifie le produit télescopique $\prod_{k=p}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k}$ ?

19. Quelle expression définit $\binom{n}{k}$ lorsque $0\leq k\leq n$ ?

20. Quelle propriété décrit correctement les coefficients binomiaux situés aux extrémités et juste à côté des extrémités ?

21. Quelle égalité exprime la formule du complémentaire des coefficients binomiaux ?

22. Quelle relation permet de calculer un coefficient binomial intérieur à partir de la ligne précédente du triangle de Pascal ?

23. Quelle expression correspond à la formule du binôme de Newton pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$ ?

24. Quelle transformation permet de simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ ?

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QCM : Calcul algébrique — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture représente une somme indexée de termes uku_kuk​ allant de k=0k=0k=0 à k=nk=nk=n ?

2. Combien de termes contient la somme ∑k=38uk\sum_{k=3}^{8}u_k∑k=38​uk​ ?

3. Quelle décomposition exprime correctement la linéarité d’une somme ?

4. Quelle est la valeur de ∑k=0n5\sum_{k=0}^{n}5∑k=0n​5 ?

5. Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique de upu_pup​ à unu_nun​ ?

6. Quelle méthode consiste à faire apparaître des annulations entre termes successifs ?

7. Pour une suite quelconque, à quelle expression se réduit ∑k=1n(uk−uk−1)\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})∑k=1n​(uk​−uk−1​) ?

8. Quelle formule donne ∑k=pnqk\sum_{k=p}^{n}q^k∑k=pn​qk lorsque q≠1q\neq1q=1 ?

9. Que désigne une somme double portant sur les termes ui,ju_{i,j}ui,j​ ?

10. Pourquoi peut-on permuter les signes somme dans ∑i=1n∑j=1pui,j\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}∑i=1n​∑j=1p​ui,j​ ?

11. Comment traiter une somme double dont les bornes des indices sont liées ?

12. Quelle identité développe correctement le carré de la somme ∑i=1nai\sum_{i=1}^{n}a_i∑i=1n​ai​ ?

13. Pour quelles valeurs de aaa, bbb et nnn l’identité an−bn=(a−b)∑k=0n−1an−1−kbka^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^kan−bn=(a−b)∑k=0n−1​an−1−kbk est-elle valable ?

14. Quelle factorisation correcte représente une différence de cubes ?

15. Quelle notation désigne le produit des termes u0,u1,…,unu_0,u_1,\ldots,u_nu0​,u1​,…,un​ ?

16. Quelle valeur faut-il attribuer à 0!0!0! selon la convention usuelle ?

17. Combien vaut le produit ∏k=1na\prod_{k=1}^{n}a∏k=1n​a lorsque le même facteur constant aaa apparaît nnn fois ?

18. Si tous les termes sont non nuls, comment se simplifie le produit télescopique ∏k=pnuk+1uk\prod_{k=p}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k}∏k=pn​uk​uk+1​​ ?

19. Quelle expression définit (nk)\binom{n}{k}(kn​) lorsque 0≤k≤n0\leq k\leq n0≤k≤n ?

20. Quelle propriété décrit correctement les coefficients binomiaux situés aux extrémités et juste à côté des extrémités ?

21. Quelle égalité exprime la formule du complémentaire des coefficients binomiaux ?

22. Quelle relation permet de calculer un coefficient binomial intérieur à partir de la ligne précédente du triangle de Pascal ?

23. Quelle expression correspond à la formule du binôme de Newton pour a,b∈Ra,b\in\mathbb Ra,b∈R et n∈Nn\in\mathbb Nn∈N ?

24. Quelle transformation permet de simplifier la somme ∑k=0n(nk)an−kbk\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^kk=0∑n​(kn​)an−kbk ?

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1. Quelle écriture représente une somme indexée de termes $u_k$ allant de $k=0$ à $k=n$ ?

2. Combien de termes contient la somme $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

4. Quelle est la valeur de $\sum_{k=0}^{n}5$ ?

5. Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique de $u_p$ à $u_n$ ?

7. Pour une suite quelconque, à quelle expression se réduit $\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})$ ?

8. Quelle formule donne $\sum_{k=p}^{n}q^k$ lorsque $q\neq1$ ?

9. Que désigne une somme double portant sur les termes $u_{i,j}$ ?

10. Pourquoi peut-on permuter les signes somme dans $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}$ ?

12. Quelle identité développe correctement le carré de la somme $\sum_{i=1}^{n}a_i$ ?

13. Pour quelles valeurs de $a$ , $b$ et $n$ l’identité $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ est-elle valable ?

15. Quelle notation désigne le produit des termes $u_0,u_1,\ldots,u_n$ ?

16. Quelle valeur faut-il attribuer à $0!$ selon la convention usuelle ?

17. Combien vaut le produit $\prod_{k=1}^{n}a$ lorsque le même facteur constant $a$ apparaît $n$ fois ?

18. Si tous les termes sont non nuls, comment se simplifie le produit télescopique $\prod_{k=p}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k}$ ?

19. Quelle expression définit $\binom{n}{k}$ lorsque $0\leq k\leq n$ ?

23. Quelle expression correspond à la formule du binôme de Newton pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$ ?

24. Quelle transformation permet de simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ ?