Flashcards : Calcul algébrique (41 cartes)

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1Question

Comment s'écrit une somme de termes en notation sommatoire ?

Réponse

Elle s'écrit $\sum_{k=0}^{n}u_k$ ou $\sum_{0\leq k\leq n}u_k$ .

2Question

Qu'est-ce que la variable sommatoire dans une somme ?

Réponse

C'est une variable muette.

3Question

Comment calcule-t-on le nombre de termes dans une somme ?

Réponse

C'est la borne supérieure moins la borne inférieure plus 1.

4Question

Quelle propriété exprime la linéarité des sommes ?

Réponse

La somme d'une somme est la somme des sommes et on peut sortir un scalaire.

5Question

Comment découper une somme selon la relation de Chasles ?

Réponse

On peut écrire $\sum_{k=0}^{n}u_k=\sum_{k=0}^{p}u_k+\sum_{k=p+1}^{n}u_k$ pour $0\leq p<n$ .

6Question

Quelle est la formule de la somme d'une constante ?

Réponse

Elle vaut $(n+1)a$ pour $\sum_{k=0}^{n}a$ .

7Question

Quelle formule donne la somme des entiers consécutifs de $k=p$ à $n$ ?

Réponse

Elle est $\frac{(n-p+1)(p+n)}{2}$.

8Question

Quelles sont les formules pour $\sum_{k=1}^{n}k$ et $\sum_{k=1}^{n}k^2$ ?

Réponse

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

9Question

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite arithmétique de raison $r$ ?

Réponse

$\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$

10Question

Quelles méthodes peut-on utiliser pour calculer une somme ?

Réponse

Changer l'indice, télescopage, somme géométrique, ou regrouper les termes.

11Question

Quelle est la formule pour $\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})$ ?

Réponse

$\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})=u_n-u_0$

12Question

Quelle formule donne la somme géométrique si $q \neq 1$ entre $k=p$ et $k=n$ ?

Réponse

$\sum_{k=p}^{n}q^k=\frac{q^{n+1}-q^p}{q-1}$

13Question

Quelle formule donne la somme d'une suite géométrique de premier terme $u_p$ et raison $q \neq 1$ ?

Réponse

$\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$

14Question

Qu'est-ce qu'une somme double ?

Réponse

Une somme double additionne les termes $u_{i,j}$ sur deux indices variables.

15Question

Que permet la permutation des signes somme pour des indices indépendants ?

Réponse

Elle permet de réécrire une somme rectangulaire en inversant l'ordre des sommes.

16Question

Quelle égalité exprime la permutation des sommes pour des indices indépendants ?

Réponse

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}=\sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j}$ .

17Question

Que faut-il faire pour calculer une somme double à indices liés ?

Réponse

Il faut calculer directement ou permuter les sommes après réécrire le domaine avec un seul signe somme.

18Question

Quelle formule donne le carré d'une somme $\sum_{i=1}^n a_i$ ?

Réponse

$\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2=\sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} a_i a_j$ .

19Question

Quelle est la formule de la différence des puissances pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\geq1$ ?

Réponse

$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ .

20Question

Quelle est la factorisation de $a^2-b^2$ ?

Réponse

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .

21Question

Quelle est la factorisation de $a^3-b^3$ ?

Réponse

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ .

22Question

À quelles applications s'applique l'identité de la différence des puissances ?

Réponse

Elle s'applique à la factorisation, au calcul de limites et à l'arithmétique.

23Question

Comment note-t-on le produit des termes $u_0,u_1,\ldots,u_n$ ?

Réponse

On note ce produit $\prod_{k=0}^{n}u_k$ .

24Question

Quelle est la valeur conventionnelle de $0!$ ?

Réponse

Par convention, $0! = 1$ .

25Question

Comment s'exprime $n!$ en produit ?

Réponse

$n! = \prod_{k=1}^{n} k$ .

26Question

Comment décomposer $\prod_{k=0}^{n}(u_kv_k)$ ?

Réponse

$\prod_{k=0}^{n}(u_kv_k) = \left(\prod_{k=0}^{n}u_k\right)\left(\prod_{k=0}^{n}v_k\right)$ .

27Question

Quelle est la valeur de $\prod_{k=1}^{n} a$ pour une constante $a$ ?

Réponse

$\prod_{k=1}^{n} a = a^n$ .

28Question

Quelle formule donne le télescopage multiplicatif si tous les termes sont non nuls ?

Réponse

$\prod_{k=p}^{n} \frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{u_{n+1}}{u_p}$ .

29Question

Quand le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est-il nul ?

Réponse

Il est nul si $k > n$ .

30Question

Quelle est la formule du coefficient binomial $\binom{n}{k}$ pour $0 \leq k \leq n$ ?

Réponse

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ .

31Question

Quelle valeur prend $\binom{n}{0}$ ?

Réponse

$\binom{n}{0} = 1$ .

32Question

Quelle valeur prend $\binom{n}{1}$ ?

Réponse

$\binom{n}{1} = n$ .

33Question

Quelle est la formule du complémentaire des coefficients binomiaux ?

Réponse

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

34Question

Quelle est la formule de Pascal pour $\binom{n}{k}$ ?

Réponse

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .

35Question

À quoi sert le triangle de Pascal ?

Réponse

Il permet de trouver les coefficients binomiaux à partir de la formule de Pascal.

36Question

Quelle est la formule du binôme de Newton pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$ ?

Réponse

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ .

37Question

Dans quel sens s'utilise la formule du binôme de Newton ?

Réponse

Pour développer une puissance ou simplifier une somme.

38Question

Que donne la formule du binôme en posant $a=b=1$ ?

Réponse

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ .

39Question

Quel est le développement de $(a+b)^4$ selon la formule du binôme ?

Réponse

$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ .

40Question

Quel est le développement de $(a-b)^3$ selon la formule du binôme ?

Réponse

$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ .

41Question

Qui a formulé la formule du binôme de Newton ?

Réponse

Isaac Newton.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 24 questions sur Calcul algébrique.

1. Quelle écriture représente une somme indexée de termes $u_k$ allant de $k=0$ à $k=n$ ?

2. Combien de termes contient la somme $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

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