Fiche de révision : Calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Notation et propriétés des sommes
2. Méthodes de calcul des sommes
3. Sommes doubles et indices
4. Identité de la différence des puissances
5. Notation et calcul des produits
6. Coefficients binomiaux
7. Formule du binôme de Newton

📖 1. Notation et propriétés des sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : Une somme de termes s’écrit $\sum_{k=0}^{n}u_k$ ou $\sum_{0\leq k\leq n}u_k$.

★ À maîtriser

• Dans une somme, la variable sommatoire est une variable muette et le nombre de termes vaut borne supérieure − borne inférieure + 1.

📌 La linéarité donne $\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}u_k+\sum_{k=0}^{n}v_k$ et $\sum_{k=0}^{n}\lambda u_k=\lambda\sum_{k=0}^{n}u_k$.

📐 Formule — La somme d’une constante vaut $\sum_{k=0}^{n}a=(n+1)a$.

📐 Formule — La somme des entiers consécutifs vérifie $\sum_{k=p}^{n}k=\frac{(n-p+1)(p+n)}{2}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel $n$, $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Compléments

📌 La relation de Chasles permet de découper une somme selon $\sum_{k=0}^{n}u_k=\sum_{k=0}^{p}u_k+\sum_{k=p+1}^{n}u_k$ pour $0\leq p<n$.

📖 2. Méthodes de calcul des sommes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des termes d’une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$.

• 🔄 Les méthodes principales sont:
  1. effectuer un changement d’indice
  2. utiliser un télescopage
  3. reconnaître une somme géométrique
  4. regrouper les termes

📐 Formule — Pour toute suite $u_k$ et tout entier naturel non nul $n$, $\sum_{k=1}^{n}(u_k-u_{k-1})=u_n-u_0$.

📐 Formule — Si $q\neq1$, une somme géométrique de premier terme $q^p$ et de dernier terme $q^n$ vérifie $\sum_{k=p}^{n}q^k=\frac{q^{n+1}-q^p}{q-1}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme $u_p$ et de raison $q\neq1$, $\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Indice → télescopage → géométrique → regroupement

📖 3. Sommes doubles et indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme double : Une somme double additionne les termes $u_{i,j}$ lorsque deux indices varient sur un domaine donné.

📝 Points essentiels

📌 Pour des indices indépendants, une somme rectangulaire peut être réécrite et les signes somme peuvent être permutés : $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}u_{i,j}=\sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j}$.

• 🔄 Le traitement des indices liés consiste à:
  1. calculer directement la somme double
  2. réécrire le domaine avec un seul signe somme
  3. permuter les sommes
  4. réajuster les bornes

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_i a_j$.

💡 Astuce mémo

Indices indépendants : rectangle ; indices liés : triangle

📖 4. Identité de la différence des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\geq1$, $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$.

📐 Formule — Les cas particuliers sont $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Compléments

• L’identité de la différence des puissances s’applique notamment à la factorisation, au calcul de limites et à l’arithmétique.

💡 Astuce mémo

Différence de puissances → factorisation

📖 5. Notation et calcul des produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit : Le produit des termes $u_0,u_1,\ldots,u_n$ se note $\prod_{k=0}^{n}u_k$.

★ À maîtriser

• Par convention, $0!=1$ et $n!=\prod_{k=1}^{n}k$.

📌 Pour toute constante $a$ et tout entier naturel $n$, $\prod_{k=1}^{n}a=a^n$.

📐 Formule — Si tous les termes sont non nuls, le télescopage multiplicatif donne $\prod_{k=p}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{u_{n+1}}{u_p}$.

Compléments

📌 Un produit peut être décomposé selon $\prod_{k=0}^{n}(u_kv_k)=\left(\prod_{k=0}^{n}u_k\right)\left(\prod_{k=0}^{n}v_k\right)$.

💡 Astuce mémo

Notation → propriétés → calcul direct → télescopage

📖 6. Coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est nul si $k>n$ et vaut $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ si $0\leq k\leq n$.

★ À maîtriser

• Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$.

📐 Formule — La formule du complémentaire est $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

📐 Formule — La formule de Pascal est $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$.

Compléments

• Le triangle de Pascal permet de trouver les coefficients binomiaux à partir de la formule de Pascal.

💡 Astuce mémo

Le triangle de Pascal comme une pyramide de coefficients

📖 7. Formule du binôme de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $a,b\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$, la formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. — Isaac Newton

• La formule du binôme s’utilise dans les deux sens, pour développer une puissance ou simplifier une somme.

📐 Formule — En prenant $a=b=1$ dans la formule du binôme, on obtient $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$.

Compléments

• Les développements particuliers sont $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ et $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

💡 Astuce mémo

Développer une puissance ou simplifier une somme

📊 Tableaux de synthèse

Principales méthodes de sommation