Calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Notation et propriétés des sommes
2. Méthodes de calcul des sommes
3. Sommes doubles et indices
4. Identité de la différence des puissances
5. Notation et calcul des produits
6. Coefficients binomiaux
7. Formule du binôme de Newton

📖 1. Notation et propriétés des sommes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : Une somme de termes s’écrit $\sum_{k=0}^{n}u_k$ ou $\sum_{0\leq k\leq n}u_k$.

★ À maîtriser

• Dans une somme, la variable sommatoire est une variable muette et le nombre de termes vaut borne supérieure − borne inférieure + 1.

📌 La linéarité donne $\sum_{k=0}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=0}^{n}u_k+\sum_{k=0}^{n}v_k$ et $\sum_{k=0}^{n}\lambda u_k=\lambda\sum_{k=0}^{n}u_k$.

📐 Formule — La somme d’une constante vaut $\sum_{k=0}^{n}a=(n+1)a$.

📐 Formule — La somme des entiers consécutifs vérifie $\sum_{k=p}^{n}k=\frac{(n-p+1)(p+n)}{2}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel $n$, $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Compléments

📌 La relation de Chasles permet de découper une somme selon $\sum_{k=0}^{n}u_k=\sum_{k=0}^{p}u_k+\sum_{k=p+1}^{n}u_k$ pour $0\leq p<n$.