Fiche de révision : Proportions et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Évolution réciproque
2. Évolutions successives
3. Taux d’évolution
4. Pourcentages et proportions

📖 1. Évolution réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolution réciproque : L’évolution réciproque d’un coefficient multiplicateur $CM=1+t$ a pour coefficient multiplicateur $\frac{1}{CM}=\frac{1}{1+t}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une valeur finale $VF$ issue d’une valeur initiale $VI$ par un taux $t$, on a $VF=(1+t)\times VI$ et $VI=\frac{1}{1+t}\times VF$.

Compléments

• Un article soldé à 20 % et affiché à 79 € avait un prix initial de 98,75 €, car son coefficient multiplicateur est 0,8 et le prix initial vaut $79/0{,}8=98{,}75$.

💡 Astuce mémo

Évolution directe : ×CM ; évolution réciproque : ×1/CM.

📖 2. Évolutions successives

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque plusieurs évolutions successives de taux $t_1,t_2,\ldots$ sont appliquées, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs : $CM=CM_1\times CM_2\times\cdots=(1+t_1)(1+t_2)\cdots$.

📐 Formule — Pour une augmentation de 20 % suivie d’une diminution de 10 %, le coefficient multiplicateur global est $CM=1{,}2\times0{,}9=1{,}08$.

📐 Formule — Le taux global d’évolution $T$ est défini par $CM=1+T$ ; lorsque $CM=1{,}08$, on obtient $T=0{,}08$, soit une augmentation globale de 8 %.

💡 Astuce mémo

Chaque évolution multiplie : CM1 × CM2 × …

📖 3. Taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : La variation absolue entre une valeur initiale $VI$ et une valeur finale $VF$ est $VF-VI$.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution entre une valeur initiale $VI$ et une valeur finale $VF$ est $\frac{VF-VI}{VI}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un taux d’évolution $t$, le coefficient multiplicateur est $CM=1+t=\frac{VF}{VI}$ et la valeur finale vérifie $VF=(1+t)VI$.

Compléments

• Une population passant de 215 à 253 augmente de 38 personnes, soit un taux d’évolution de $\frac{38}{215}\approx0{,}1767$, c’est-à-dire environ 17,67 %.

💡 Astuce mémo

Variation absolue : différence ; variation relative : différence rapportée à VI.

📖 4. Pourcentages et proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion d’une partie A d’une quantité B est le rapport $\frac{A}{B}$.
• Pourcentage : Le pourcentage d’une partie A d’une quantité B exprime la proportion $A/B$ en centièmes, par exemple $13{,}2\%=13{,}2/100=0{,}132$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour calculer le pourcentage correspondant à A parmi B, on utilise $\frac{A\times100}{B}$ et on n’emploie pas simultanément le symbole % et la multiplication par 100.

📐 Formule — Pour appliquer une proportion p à une quantité A, on multiplie la quantité par la proportion : $p\times A$, par exemple $\frac{2}{5}\times A$.

• Si B est une partie de A et C une partie de B, avec $C\subset B\subset A$, alors la proportion de C dans A est le produit de la proportion de B dans A par celle de C dans B.

Compléments

• Si les smartphones représentent 90 % des ventes d’une boutique et que 4 smartphones sur 5 sont sous Android, Android représente $\frac45\times90\%=72\%$ des ventes de la boutique.

💡 Astuce mémo

Proportion de proportion : emboîtement des ensembles → multiplication des proportions.